О модуле непрерывности оператора m-кратного дифференцирования и оптимальности метода регуляризации нулевого порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.51:519.642.8

Г. В. Хромова

О МОДУЛЕ НЕПРЕРЫВНОСТИ ОПЕРАТОРА Ш-КРАТНОГО ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ И ОПТИМАЛЬНОСТИ МЕТОДА РЕГУЛЯРИЗАЦИИ НУЛЕВОГО ПОРЯДКА*

Данная статья представляет собой обобщение результата, полученного в [1].

Пусть /(х) - функция, удовлетворяющая условиям:

f(2m\x)sL2[ 0,1]; (1)

/(0) = /'(0) =... = /(тЧ)(0) = /(т)( 1) =... = /(2т-|)(1) = о.

Рассмотрим следующий модуль непрерывности:

со(5,1) = sup{||/(m)(x)|| :!¡/(2m)(x)|| <l,||/(jc)|l <5,

Д0) = /'(0)=...=0)=/(m) (i) =... =/(2тЧ)( i) = 0}.

ТЕОРЕМА 1. Для модуля непрерывности (2) справедлива двусторонняя оценка, точная по порядку, асимптотическая по S при 5 —> 0 :

2т-\ 2т-1

С25 4т -fy^SJácúíS.OSC^ 4m +^i(5), (3)

где константа С, совпадает с константой Сп из теоремы 3 в [2],

2т-\

ÍTV ---

С2 =——, vj/ ] (5) и >|/2(S) суть о(5 4т ), константа К0 определена ниже. 2К0

Доказательство. Величину ш(5,1) можно рассматривать как модуль непрерывности оператора, обратного к оператору

Аи = pí—í¿-u{t)dt

¿ (rn-iy.

на классе функций Мл> = {и(х) е С[0,1] :и(х) = y4*v,¡¡vjj£ <1}.

В работе [2] исследован вопрос о приближенном решении уравнения Аи = / методом регуляризации Тихонова нулевого порядка и получена порядковая оценка величины

A(5,i?ete),^.) = sup{||jíe(e)/6-«Кс^ц A/v,í/6 - ^иЦ^юд, ¿5},

где Ra - семейство регуляризирующих операторов, /й - приближение к / в среднеквадратичной метрике, а(5) — согласование параметра регуляризации с погрешностью исходных данных, обеспечивающее наименьший порядок по 5 в оценке Д(5

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 06-01-00003).

149

Поскольку ю(8,1)< A(8,Äa(5),M ,) [3, с. 115], то отсюда получаем оценку сверху в (3). Для получения оценки снизу построим функцию

/о(ж), удовлетворяющую условиям (1), условию /о(*) <5 и имею-

II 11Л2[0,1]

2т-]

щую оценку: jj/0(m)(х)||с[0 - CS 4т , где С не зависит от 5.

2m-l _J_

Возьмем f0(x) = xm8 4т е"5 2'"х + С,хга + ... + Стх2т~\ Константы Сь...,Ст определим из краевых условий в точке х = 1, То, что /о (х) удовлетворяет остальным указанным выше условиям, базируется на следующих фактах:

1) коэффициенты Ск, к = 1 ,...,т стремятся к нулю при 5 —» 0 быстрее любой степени 5;

2m~l 2m-i

2) ||/o(m)H|G[0 ^1/^(0)1 = ^5 - + о(8 4'» );

3) |Л^С[о,.]=2Ч2"+1)52+о(82)-

Теперь рассмотрим норму |/0'2т'(х)| Имеем:

1 „ ___L

/oNW = 8^ Y.CL(xm)S(e-Vx)2m s, ß = 5 2т .

s=0

При подсчете нормы обращаем внимание, что все отрицательные степени 5 погасятся положительными, откуда следует, что

|7о-(4 ron = ^0+V(8).

N IIL2LU,1J

где К0 не зависит от 5, a у(5) стремится к нулю быстрее любой степени 5.

/о «

Если теперь положить /0(х) = , то для этой функции при доста-

2 К0

точно малых 5 будет выполняться условие ] <1 и тогда, оче-

видно, ш(6,1)>!/0(т)(ф-

Щ ЮЛ]

2К0

ТЕОРЕМА 2. Метод регуляризации нулевого порядка является оптимальным по порядку для уравнения Аи = / на классе Af , .

Доказательство следует из того что порядок по 5 величины А(5,), приведенный в теореме 2 из [2], совпадает с порядком

модуля непрерывности га(5,1).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Хромова Г. В. О модулях непрерывности неограниченных операторов и оптимальности методов приближенного решения уравнений первого рода // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2005. Вып. 7. С. 132 - 134.

2. Советникова С. Ю. О точной по порядку оценке погрешности приближенного решения одного интегрального уравнения первого рода // Математика. Механика: Сб науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2006. Вып. 8. С. 124- 127.

3. Иванов В. К., Васин В. В., Танана В. П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. М.: Наука, 1978. 206 с

УДК 517.984

Д. Г, Шал ты ко

О СХОДИМОСТИ СПЕКТРАЛЬНЫХ РАЗЛОЖЕНИЙ ОДНОЙ ТРЕХТОЧЕЧНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ*

Рассмотрим на отрезке [о,1] краевую задачу, порожденную простейшим дифференциальным уравнением

1\у] = уМ-ку = 0, (1)

и трехточечными распадающимися краевыми условиями

Я0)=... = /*Ч)(0)=0, (2)

у(а) = 0, (0 < а < 1) (3)

Я1) = ... = /^1)(1)=0, (4)

где п -2к + 1, к = 2и, X - спектральный параметр.

Краевые условия (2) - (4) являются нерегулярными, т.е. функция Грина данной задачи имеет экспоненциальный рост при больших . Это представляет собой существенную трудность при исследовании вопроса о сходимости разложений по собственным и присоединенным функциям данной краевой задачи. Заметим, что задача о сходимости спектральных разложений в случае а = 0 (и для более общих дифференциальных операторов с произвольными распадающимися краевыми условиями) получила окончательное решение в работе А. П. Хромова [1]. Исследованием же задач вида (1) - (4) и даже более общими многоточечными краевыми задачами занимался Г. Фрайлинг [2]. Им были получены достаточные условия разложимости функций в ряды по собственным и присоединенным функциям таких задач. К сожалению, эти условия налагают серьезные требования на аналитичность разлагаемых функций и далеки от необходимых условий. В настоящей статье приводятся достаточные условия для сходимости спектральных разложений, усиливающее результат Фрайлинга для случая задачи (1) - (4).

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 06-01-00003).

151