Об условиях сходимости спектральных разложений одной краевой задачи Текст научной статьи по специальности «Математика»

Последний интеграл при х = ~ принимает значения 1 или -1, причём при

возрастании г оба этих значения все время сменяют друг друга. Значит,

при х = ~ (2) не имеет место даже для любой абсолютно непрерывной

функции f(x), для которой /'(x)eZ,2[0,l], í/(/)*0, /(0)=/(1). Обычный же ряд Фурье такой функции всегда сходится, а по с.п.ф. оператора L расходится.

Приведём еще обобщение теоремы 1.

TROPHMA 2. Предположим, что р(х) т раз непрерывно дифференцируема на [0,11, причём /><m)(»eV[0,l] и p(s)(0) = p(s)(l) = 0

(s = 0,...,/я -1), p(m)(0)p(ffl)(l)*0. Тогда, если /(*)е /,(0,11 и 1

Jp(í)(0/(0Л = о (í = 0,...,ш), то имеет место (2). о

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Молодецкое В.Л., Хромов Л.Г1. Разложение по собственным функциям одной краевой задачи для оператора дифференцирования // Дифференциальные уравнения и вычислительная математика. Саратов, 1972. Вып. 1. С. 17-26.

2. Молодеиков И.А. Равносуммируемость по М. Риссу разложений по некоторым системам показательных функций // Мат. заметки. 1974. Т. 15, №3. С. 381 - 386.

3. Седлецкий A.M. Биортогональные разложения функции в ряды экспонент на интервалах вещественной оси // УМН. 1982. Т. 37, № 5. С. 51 -95.

4. Седлецкий A.M. О равномерной сходимости негармонических рядов Фурье // Тр. Мат. ин-та им. В. А. Стеклова АН СССР. 1991. Т. 200. С. 299 - 309.

5. Седлецкий A.M. О суммируемости и сходимости негармонических рядов Фурье// ИЛИ. Серия математическая. 2000. Т. 64, № 3. С.152- 168.

УДК 517.927.25

А. П. Хромов, Д. Г. Шалтыко

ОБ УСЛОВИЯХ СХОДИМОСТИ СПЕКТРАЛЬНЫХ РАЗЛОЖЕНИЙ ОДНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ'

В данной статье исследуется вопрос о сходимости рядов по собственным и присоединенным функциям краевой задачи, определяемой дифференциальным уравнением

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 03-01-00169) и гранта Президента РФ на поддержку ведущих научных школ на выполнение научных исследований (проект НШ-1295.2003.1).'

У + Ху = 0, (1)

и трёхточечными распадающимися краевыми условиями

Я0) = У(а) = >-(1) = 0 (0 < а < 1). (2)

Отметим, что задача о сходимости спектральных разложений в случае а = 0 (и для более обших дифференциальных операторов п -го порядка с произвольными распадающимися краевыми условиями) получила окончательное решение в работе А. П. Хромова [1]. Исследованием же задач вида (1) - (2) и даже более общими многоточечными краевыми задачами л-го порядка занимался Г. Фрайлинг [2]. Им были получены достаточные условия разложимости функций в ряды по собственным функциям таких задач.

В настоящей статье приводятся необходимые и достаточные условия разложения произвольной функции в равномерно сходящиеся ряды по собственным функциям задачи (1) - (2), что усиливает результаты [2] для случая краевой задачи (1) — (2). Тем самым даётся окончательное решение вопроса о разложении произвольной функции в ряды по собственным и присоединенным функциям задачи (1)- (2) на (0,1).

ТЕОРЕМА 1. Краевая задача (1) - (2) имеет бесконечно много собственных значений, которые можно разложить в две серии:

271

2кп + — ,л

2кп + — /.Ч

^+/,г,2=-Р*,2> Рк,2= в к = 1>2>->

где Л,, - некоторые целые числа. При этом все собственные значения, достаточно большие по модулю, простые.

Предположим, что {<р4д(*)} и {фа,2С-*7)} - соответствующие этим сериям собственные и присоединенные функции и {у*,^*)}. (ч^.гС*)} — со~ ответствующие биортогональные системы. Обозначим через Та ь правильный треугольник в комплексной плоскости с центром в точке а и одной из вершин в точке Ь.

Справедливы следующие утверждения.

ТЕОРЕМА 2. Если ряд ^акук1(х) сходится равномерно на [х,,,^] (0 < л:0 < х1 < 1), то он сходится абсолютно и равномерно в области Т0 Х[ и его сумма /¿(х) удовлетворяет условиям

/1(ЗА)(0> = 0 и /,(3*+1)(а) = 0 (если а еТ0Х]), к = 0,1,2,...

ТЕОРЕМА 3. Если ряд сходится равномерно па [*o>*i]

(О < < х\ < 1). то он сходится абсолютно и равномерно в области i(j и его сумма f2(x) удовлетворяет условиям

/2(3*>( 1) = 0 и /2(3*+1)(а) = 0 (если а е T1xq ), к = 0,1,2,...

ТЕОРЕМА 4. Предположим, что ряд + Х^Ф/^гОО схо"

дится равномерно на [0,1] к /(*) и его части Х^АФтОО и Х^аФа 2 С*) сходятся к f\(x) и f2(x) соответственно. Тогда /,(х) ортогональна {Фа,г(х)\ и /2(х) ортогональна

ТЕОРЕМА 5. Предположим, что /(х) е Т.2[0,1] и имеет вид

f(x) = fl(x)+f2(x),

где /{(х) регулярна в Г01, и удовлетворяет условиям

//3*>(0) = //3*+1>(а) = 0 ,¿=0,1,2,..., а /2(аг) регулярна в Г10 и удовлетворяе т условиям

/Г)(1) = /Г+1)(а) = 0 , Л = 0,1,2,...

Предположим также, что /,(х) ортогональна системе |i|/i 2(x)}, а /2(х) ортогональна системе ,(jc)}. Тогда ряд Фурье функции /(х) по собственным и присоединенным функциям задачи (1) - (2) сходится равномерно на любом отрезке \а,Ь] из (0,1).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Хромов А.П. Дифференциальный оператор с нерегулярными распадающимися краеыми условиями // Мат. заметки. 1976. Т.19, № 5. С. 763 - 772.

2. Freiling G. Irreguläre Mchrpunkt-Eigcnwertprobleme mit zerfallenden Randbedingungen. HABILITATIONSSCHRIFT dem Fachbereich 11 - Mathematik. Duisburg, 1979.