О модулях непрерывности неограниченных операторов и оптимальности методов приближенного решения уравнений первого рода Текст научной статьи по специальности «Математика»

где ||-|| (II-II«) - норма в ¿, (¿K), x(x) = (Xi(x),X2(x)) и xM - характеристические функции произвольных отрезков из [0,1],

На основании лемм 1 - 4 методом работы [1] получается следующий результат.

( |

ТЕОРЕМА (равносходимости). Для любой f(x) е ¿[0,1] и в е 0. -

V. 2 j

lim max |5r(/,x)~ari/(/,x)j = 0,

где Sr(f,x) - частичная сумма ряда Фурье по собственным и присоединенным функциям оператора А для характеристических чисел, попавших в круг |А,|<г, через стД/,х) частичную сумму тригонометрического ряда

Фурье по системе {exp2fai/x}^=_oc для тех к, для которых 2кж < г.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Корнее В, В., Хромов Л. Г1. О равносходимости разложений но собственным функциям интегральных операторов с ядрами, допускающими разрывы производных на диагоналях // Мат. сб. 2001. Т. 192, № 10. С. 33 - 50.

2. Рапопорт И. М. О некоторых асимптотических методах в теории дифференциальных уравнений. Киев: Изд-во АН УССР. 1954.

УДК 517.51

Г. В. Хромова

О МОДУЛЯХ НЕПРЕРЫВНОСТИ НЕОГРАНИЧЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ И ОПТИМАЛЬНОСТИ МЕТОДОВ ПРИБЛИЖЕННОГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО РОДА*

В [ 1 ] рассматривался вопрос о получении порядковых оценок модулей непрерывности неограниченных операторов путем привлечения семейств регуляризирующих операторов, соответствующих оптимальным по порядку методам регуляризации уравнений первого рода. В данной статье рассматривается случай, когда для уравнения с оператором интегрирования используется семейство, о котором заранее неизвестно, будет ли оно оптимальным на заданном классе. Здесь дается положительный ответ на этот вопрос и приводятся точные по порядку оценки модуля непрерывности обратного оператора. Рассмотрим

ш(5,1) = 8ир{||/'||с[01] :|ГЦ^0Д] < 1,1/||ыад < 5, ДО) = /'(1) = 0}. (1)

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Президента РФ для поддержки ведущих научных школ РФ (проект НШ-1295.2003.1).

133

С точки зрения уравнений первого рода, это - модуль непрерывности обратного оператора, соответствующего уравнению

х

Аи = ju(t)dt = f(x) (2)

о

при дополнительном условии

[

«(*)= jv(t)dt, ||v|i2[0jl]<l. (3)

х

Возьмем в качестве Ra семейство операторов

Ra =(аЕ +A" AT1 А*, (4)

соответствующее регуляризации Тихонова нулевого порядка [2]. Так как в нашем случае u(x)e.R(A*), то, как показано в [3], с помощью семейства (4) можно получать равномерные приближения к решению уравнения (2).

ЛЕММА. Если Ка - интегральные операторы с ядрами Ка (х,с,) такие, что \'Хаи - wjjCja -» 0 при а —> 0 равномерно по

ь

и(х)е М = {и(х)еС[а,Ь]\и(х)= \B{x,i)v{t)dt\v\L[a ь] <i},

а

то справедливо представление

А,(Ка,М) = 8ир{1^аи - и\с[аМ :и с М} = ь ь t

= sup ({(\ка {x£)B(£„t)dt, - B(x,t))2 dt)2. (5)

а<х<Ь a u

ТЕОРЕМА. Для модуля непрерывности (1) справедлива двусторонняя оценка, точная по порядку, асимптотическая по 6 при 8 —> 0 :

1 1 I

-б4 + Н/2(6) < ю(5,1) < С,54 +v|/i(6), (6)

з з 1 J

где С = 2.3 4(2е~' + 1)8(2е~' + З)8, у,(5),у2(5) суть 0(е"®2). Доказательство. Для оператора RaА имеет место представление

RaA = ~((А*А)'1 + —Е) а отсюда вытекает, что Ra А = — Ga, где Ga -

а а а

интегральный оператор с ядром Грина дифференциального оператора

L -ty = —y", >'(0) = У(1) = 0.

Применяем метод из [1] с использованием формулы (5) при Ка = RaA и представления для нормы \Ra(L полученного в [4]:

- 1 1 1 KILc=a 2 sup (Ка(х,х)--¡K2a(x,t)d^y-,

a<x<b a о

где Ка{х,%) - ядро оператора ЯаЛ. Отсюда приходим к оценке сверху в (6). Для оценки снизу строим функцию

1 - — _1

Можно убедиться в том, что /0(х)бМ.а ¡/о1с >~84 при достаточно малых 5.

СЛЕДСТВИЕ. Метод регуляризации нулевого порядка, используемый для получения равномерного приближения к решению уравнения (2) на классе М, соответствующем условиям (3), является оптимальным по порядку. При этом константа К в «оценке оптимальности» (см. оценку (2) из [ 1 ]) имеет вид К = 4С1, С] определена в теореме.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Хромова Г. В. Об оценке модулей непрерывности неотраниченных операторов // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2004. Вып. 6. С. 140- 143.

2. Тихонов А. Н. О регуляризации некорректно поставленных задач // Докл. АН СССР. 1963. Т. 153, № 1. С. 49 - 52.

3 .Хромова Г. В. О регуляризации интегральных уравнений с ядром Грина // Изв. вузов. Сер. Математика. 1972. № 8(123). С. 94-104.

4. Хромова Г. В. О нахождении равномерных приближений к решению интегральных уравнений первого рода // Дифференциальные уравнения и вычислительная математика. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1974. Вып. 4. С. 3 - 10.

УДК 517.984

Д. Г. Шалтыко

О СХОДИМОСТИ СПЕКТРАЛЬНЫХ РАЗЛОЖЕНИЙ ОДНОЙ ТРЕХТОЧЕЧНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ПЯТОГ О ПОРЯДКА*

Рассмотрим на отрезке [0,1] краевую задачу, порожденную дифференциальным уравнением:

/Ы = /5,-а>' = 0 (1)

и распадающимися краевыми условиями

Я0) = Л0) = Ло) = У(а) = Я1)=0 (0«х<1). (2)

Данные краевые условия являются нерегулярными, и функция Грина задачи (1), (2) имеет экспоненциальный рост при ( <х. Это представляет

' Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Президента РФ для поддержки ведущих научных школ РФ (проект НШ-1295.2003. 1), РФФИ (проект 03-01-000169) и программы «Университеты России» (проект ур.04.01.375).

135