CC BY
20
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1- Хромов А. II. О равносходимости разложений по собственным функциям конечномерных возмущений оператора интегрирования // Вестн. Моск. ун-та. 2000. № 2. С. 21 -26.
2. Корпев В. В., Хромов А.П. О равносходимости разложений по собственным функциям ияте1ральных операторов с ядрами, допускающими разрывы производных на диагоналях // Докл. АН. 2001. Т. 379, № 6. С.741 - 744.
3. А'олова В. А. Теорема равносходимости для одного класса интегральных операторов // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та. 2003. Вып. 5. С. 126- 128.
4. Халова В. А. Задача обращения одного класса интегральных операторов // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2000 Вып. 2. С. 125 - 127.
УДК 517.984
А. П. Хромов
РАЗЛОЖЕНИЕ ПО СОБСТВЕННЫМ ФУНКЦИЯМ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ С ПЕРЕМЕННЫМИ ПРЕДЕЛАМИ ИНТЕГРИРОВАНИЯ"
Пусть А интегральный оператор:
1-1 X
А/= ¡А(1 - х,1)/({)Ж + а ¡А(х,1)/и)Ж, (1)
о о
где ядро А(хл) удовлетворяет условиям:
Я ->2 -л2
а) А(х,(), -— А(х,1), —у А(х,/),-А(х,{) непрерывны при 0<1 <х<1;
ох сх дхдг
б) А(х,х)& 1;
в) а2
1
Это простейший вид интегрального оператора А/ = р! (*,/)/(/)<#,
о
ядро которого имеет разрыв на линиях г = х и Г *= 1-х. В [1] для такого
оператора1, когда еще выполняется условие г) С А(х,1)\1=х =0, установле-
дх
на равносходимость разложений по собственным и присоединенным функциям и в обычный тригонометрический ряд Фурье. Теперь мы полу-
* Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Президента РФ для поддержки ведущих научных школ РФ (проект НШ-1295.2003.1). РФФИ (проект 03-01-000169) и программы «Университеты России» (проект ур.04.01.375).
1 В [ 1 ] рассмотрен и более общий случай скачка (и — 1 )-й производной на лини-
ях 1 = х и I — 1 - х.
чим аналогичный результат и в том случае, когда условие г) не выполняется. Введем операторы:
A'J = )л'х(x,t)f{t)dt, Tf = *jT(x,t)f(t)dt,
о о
r,f = ]r;{x,t)f{t)dt, ?" = (£+- А'х)-» - Е,
о
где Е - единичный оператор, A'x(x,t) =— A(x,t), Tt'(x,l) = —Г(х,/), и
йх 3t
краевую задачу в пространстве вектор-функций размерности 2:
Ву'(х) + Рх (х)у(х) - М]У(х) = цу(х) + F{x), (2)
М0у(0) + Мху(\) = 0, (3)
fa -1л| (р(х) О
где В = , Рх (х) = В, р(х) = Г(х,х),
U -a; v 0 -рО-*);
Л', = f аТ' № = /(! -*), Ц = (а2 - 1)А., F(x) = (F,(х),F2(x))r,
\aST, -ST,)
Га -Л
to 0 j'
F,(x) = («-!)/(*), F2(x) = (а -1)/(1 - х), М0 ( 0
М, = (Г - знак транспонирования).
V"1 а)
ЛЕММА 1. Если комплексное X таково, что резольвента Фредгольма Rk =(Е-Х4)~]А существует, то у(х) = (у1(х),у2(х))Г, где у](х) = Rx(A)f, у2(х) = V](l - х), удовлетворяет (2), (3). Обратно, если v(x) удовлетворяет (2), (3) и соответствующая однородная краевая задача имеет только тривиальное решение, то Rk(A) существует и Rx(A)f = ух(х), >'2(х) = >'](! - х). Введем еще краевую задачу: z'(x) + P(x)z(x)-Nz(x) = XDz{x) + <I>(x), 60r(0) + g,z(l) = 0, (4)
fd 0 ^ ,0 -d\
N = N,Y, <t>(x) = D ]Y~]F(x), Q0 = M0r, Q,=MlT.
Тогда из леммы 1 следует Rx{A)f ~Ynzx(x,X) + j12z2(x,X), где z(x,X) =(zj(x,X),z2(x,X))r - решение системы (4), уп, у12 - элементы первой строки матрицы Г. Присутствие ненулевой матрицы Р(х) является серьезным препятствием в исследовании асимптотического поведения решения краевой задачи (4). Здесь мы проведем преобразование ее, заменяющее Р(х) па матрицу с элементами 0\ —) [2, с. 48 — 58]. Пусть
\XJ
где Р(х) = £>^1Г"1Р,(х)Г, £> =
d = л/а2 -1, BY = YD,
( * \
Н0(х) = dtag{k, (х),h22(л-)), где /г„(х) = ехр - \pü(t)dt j, р,7(х) - диаго-
V о )
нальные элементы матрицы Р(х), а Я,(х) - кодиагональная матрица, являющаяся единственным решением матричного уравнения: Н'0(х) + Р(х)На (л-) + (Я, (x)D - /Ж,(.*)) = 0.
Так как /э(х) е С1 [0,1], то элементы матрицы Р(х) также из С1 [0,1], и поэтому элементы матрицы Н¡(х) из С'[0,1], а матрицы #0(х) из С~[0,1]. ЛЕММА 2. При больших j X | неособое преобразование
/ // fx)4! г = Н(х, X)v = Но (х) н---j v приводит систему (4) к виду
X
v'+Px(x)v + Nxv = U)v + <bx(x), g0>.v(0) + a>v(l) = 0, (5)
где
А.
Фх(х) = 1Г\х,Х)Ф(х), Qrk=Q,H(l,k) (1 = 0.1). Рассмотрим теперь такую краевую задачу:
V = A.Dw + F, U(w) = Qoxw(0) + Qxxw{ 1) = 0. (6)
Считаем, что ReXd > 0 > Re(-iui) (противоположный случай рассматривается аналогично).
ЛЕММА 3. Если X таково, что матрица Д(А.) - U(V(x,X)) обратима, то краевая задача (6) однозначно разрешима при любой Fix) с компонентами из ¿[0,1], и это решение дается формулой
(\ > 1 м(х,Х) = RV/F = -V{x,X)\-l{X)U jg(x,t,X)F(t)dt + fg(x,t,X)F{t)dt,
У о
где V(x,X )=diag{e'kd*,exdx), g(x,t,X) = diag(g](x,t,X),g2{x,t,X)),
gi(x,t,X) = -s(t,x)eU{x~'\ g2(x,t,X)^b(t,x)e-}-d(x-'\ е(х,г) = 1 при t<x, e(x,t) = 0 при r > x.
Удалим из X-плоскости все нули функции Э0 + 2?'й', 1де 90 =-quqo2h\\0), 9] =-«'01?12/г22(1), ?0i'?02(iii'9i2) - элементы первой (второй) строчки матрицы Q0 (Qx) вместе с круговыми окрестностями одного и того же достаточно малого радиуса 5. Получившуюся область будем обозначать S&.
ЛЕММА 4. В S5 при больших | X | выполняются оценки:
¡1 RxxF II.'= Od\ F |h), |i RIXF L = 0(y(X) ¡1F L),
II II,=o(vWII FII,), II RmX L= oiA
u
где ||-|| (II-II«) - норма в ¿, (¿K), x(x) = (Xi(x),X2(x)) и xM - характеристические функции произвольных отрезков из [0,1],
На основании лемм 1 - 4 методом работы [1] получается следующий результат.
( |
ТЕОРЕМА (равносходимости). Для любой f(x) е ¿[0,1] и в е 0. -
V. 2 j
lim шах ¡S,(/,x)-a,.d(/,x)j = 0,
где Sr(f,x) - частичная сумма ряда Фурье по собственным и присоединенным функциям оператора А для характеристических чисел, попавших в круг |А,|<г, через стД/,х) частичную сумму тригонометрического ряда
Фурье по системе {exp2fai/x}^=_oc для тех к, для которых 2кж < г.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Корнее В, В., Хромов Л. Г1. О равносходимости разложений но собственным функциям интегральных операторов с ядрами, допускающими разрывы производных на диагоналях // Мат. сб. 2001. Т. 192, № 10. С. 33 - 50.
2. Рапопорт И. М. О некоторых асимптотических методах в теории дифференциальных уравнений. Киев: Изд-во АН УССР. 1954.
УДК 517.51
Г. В. Хромова
О МОДУЛЯХ НЕПРЕРЫВНОСТИ НЕОГРАНИЧЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ И ОПТИМАЛЬНОСТИ МЕТОДОВ ПРИБЛИЖЕННОГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО РОДА*
В [ 1 ] рассматривался вопрос о получении порядковых оценок модулей непрерывности неограниченных операторов путем привлечения семейств регуляризирующих операторов, соответствующих оптимальным по порядку методам регуляризации уравнений первого рода. В данной статье рассматривается случай, когда для уравнения с оператором интегрирования используется семейство, о котором заранее неизвестно, будет ли оно оптимальным на заданном классе. Здесь дается положительный ответ на этот вопрос и приводятся точные по порядку оценки модуля непрерывности обратного оператора. Рассмотрим
ш(5,1) = 8ир{||/'||с[01] :|ГЦ^0Д] < 1,1/||ыад < 5, ДО) = /'(1) = 0}. (1)
Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Президента РФ для поддержки ведущих научных школ РФ (проект НШ-1295.2003.1).
133
