CC BY
42
H (C(s-1))
H (C(s))
H (C(s) /C(s-1))
которая в свою очередь дает точную диаграмму
Таким образом, имеем точную пару (В,Е,ї,і,к), определяющую спектральную последовательность {Е^} [5], которую назовем спектральной последовательностью толерантного расслоения Р : (Е,Т) ^ ((в,т))•
Теорема 4. Спектральная последовательность толерантного расслоения сходится, при этом для любой пары в, і > 0 имеется изоморфизм Е^ % = И3 (В, Иг(Е)).
Доказательство. Утверждение следует из общей теории спектральных последовательностей [5], из доказанных выше свойств толерантных расслоений, с учетом предложения 8 работы [4].
Библиографический список
1. Zeeman E.S. The topology of brain and visual perception. The Topology of 3-Manifolds. N.Y., 1962.
2. Небалуев С.И. Гомологическая теория толерантных пространств. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2006.
3. Небалуев С.И.,Кляева И.А. Толерантное расслоение пространства толерантных путей // Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу
и смежным вопросам. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2005. Вып.3. С. 93-106.
4. Небалуев С.И.,Кляева И.А. Теория пунктированных толерантных кубических сингулярных гомологий // Вестн. Самарск. гос. ун-та. 2007. Вып. 7(57). С. 134151.
5. Ху Сы-цзян. Теория гомотопий. М.: Мир, 1964.
УДК 517.984
ОПЕРАТОР ИНТЕГРИРОВАНИЯ С ИНВОЛЮЦИЕЙ, ИМЕЮЩЕЙ СТЕПЕННУЮ ОСОБЕННОСТЬ
В.В. Корнев, А.П. Хромов
Саратовский государственный университет, кафедра дифференциальных уравнений и прикладной математики
E-mail: KornevVV@info.sgu.ru, KhromovAP@info.sgu.ru
Изучаются спектральные свойства интегрального оператора с инволюцией специального вида, для разложений по собственным функциям этого оператора получена теорема равносходимости.
Ключевые слова: интегральный оператор, инволюция, разложения по собственным функциям, равносходимость.
Operator Integration with an Involution Having a Power Singularity
V.V. Kornev, A.P. Khromov
Spectral properties of the integral operator with an involution of special type in the upper limit are studied and an equiconvergence theorem for its generalized eigenfunction expansions is obtained.
Key words: integral operator, involution, eigenfunction expansions, equiconvergence.
В [1] впервые был рассмотрен с инволюцией 9(х) = 1 — х интегральный оператор:
X 1 1-х 1
А/ = а1 ! А1(х,і)/(і) <і + ! А2 (х,і)/(і) <і + а3 J А3(1 — х,і)/(і) <і + а4 J А4 (1 — х,і)/(і) <і,
0 х 0 1-х
где Лі(х,і) — достаточно гладкие функции, причем Аі(х,х) = 1 и аі — комплексные числа. Была изучена задача обращения оператора А, которая открывала перспективу исследования таких вопросов, как равносходимость разложений по собственным и присоединенным функциям, абсолютная
© В.В. Корнев, А.П. Хромов, ZOOS
сходимость, сходимость средних Рисса, базисы Рисса. Отметим, что большой вклад в эту важную тематику внесен отечественными математиками ([2-4]). Мы же в последующем рассматривали интересный случай оператора А, когда а2 = а4 = 0 и А і (х,Ь) = А3 (х,Ь) ([5-7]).
В настоящей статье изучается оператор
в(х)
А/ = ! /(Ь) <И, х Є [0,1],
о
где 0(х) — инволюция (т.е. функция со свойством 6(6(х)) = х) специального вида. Именно, будем считать, что 0(х) — непрерывна, 0(х) Є С3(0,1) и в'(х) = —ха, где а > 0, в окрестности
х^+і
точки х = 0. Тогда имеем в(х) = 1 — -------------- при х Є [0,5]. Далее, инволюция характеризуется
а + 1
тем, что график ее симметричен относительно главной диагонали. Для точки (х,в(х)) симметричной будет точка (в(х),х). Так как в(0) = 1, то получаем, что на [1 — 5,1] (5 берем то же самое)
і і ха+1
в(х) = (а+1) “+1 (1-х) “+1. Таким образом, мы рассматриваем такую инволюцию, что в(х) = 1------------+у
при х Є [0,5] и в(х) = (а + 1) “+ї (1 — х) “+1 при х Є [1 — 5,1].
1. ПОСТРОЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ ДЛЯ РЕЗОЛЬВЕНТЫ Ях
Займемся построением дифференциальной системы для резольвенты Фредгольма Ях = (Е — АА)-1 А оператора А (здесь Е — единичный оператор, А — комплексный параметр). Пусть у = Ях/. Тогда имеем
в(х) в(х)
у(х) — А ! у(г) (И = J /(г) (И. (1)
0 0
Положим г(х) = (г1(х), 22(х))т (Т — знак транспонирования), где 21(х) = у(х), 22(х) = у(в(х)). Лемма 1. Если у = Ях/, то х(х) удовлетворяет системе
^1 (х) — Ав' (х)х2(х) = / (в(х))в' (х), (2)
4(х) — А21(х) = / (х)1 (3)
21 (1) = 22(0) =0. (4)
Обратно, если х(х) удовлетворяет системе (2)-(4) и соответствующая однородная система имеет только нулевое решение, то Ях существует и Ях/ = 21(х).
Доказательство. Прежде всего из (1) следует 21 (1) = 0, поскольку в(1) = 0. Дифференцируя (1), придем к (2). Полагая теперь в (1) в(х) вместо х, аналогично получим (3) и 22(0) = 0.
Докажем обратное предложение. Пусть А таково, что однородная краевая задача, соответствующая системе (2)-(4), имеет только нулевое решение. Нетрудно убедиться, что щ(х) = 22(в(х)),
и2(х) = 21 (в(х)) также удовлетворяют системе (2)-(4). Поэтому 21(в(х)) = 22(х) и из (2) получаем
г[ (х) — Ав'(х)х1 (в(х)) = / (в(х))в' (х).
Проинтегрировав это тождество, получим
21(х) — ААг1 = А/. (5)
Так как оператор Е — АА ограниченно обратим, то из (5) получаем, что Ях существует и Ях/ = 21 (х). Лемма доказана.
Введем в рассмотрение следующую краевую задачу:
и'(£) — АМ(£)и(£) = Е(£), 0 < £ < 1, (6)
Ри(0) + Ци(1) = 0, (7)
Известия Саратовского университета. 2008. Т.8. Сер. Математика. Механика. Информатика, вып.4 где и(Ь) = (и^Ь),... ,и6(Ь))т, М(Ь) = diag(Ml(t),M2(Ь),Мз(Ь)), М1 (Ь) =
/ л I 0 —5в'(1 — 5Ь)\
М2(Ь) = і _5 у0 М, Мз(Ь) =
0 5в'(5Ь)\ 1 ч5 0 ) ,
^ (1 — (50+Ь(1 — 25))). Г(0 = (О.*?(Ь),
ГТ(Ь))Т, Г(Ь) = (/і(Ь),№)Т, /і(Ь) = 5/(в(5і))в'(5і), /2(Ь) = 5/(5Ь), Г2(Ь) = (—/з(Ь), —/а(Ь))т, /з(Ь) = 5/(в(1—5і))в'(1—5і), /а(і) = 5/(1—51), Гз(і) = (/ь(і),/б(і))Т, /ь(і) = (1—25)/(в(5+(1—25)Ь))х
Р =
)= (1 — 25)/(5 +(1 1 2 ) )
0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 , Я = —1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 1 0 —1 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 —1 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 —1
Теорема 1. Резольвента Я\ существует, если при этом \ краевая задача (6)-(7) при Г(Ь) = 0 имеет только нулевое решение. В этом случае
Ях/ ={
х Є [0,5],
^ , х Є [5,1 — 5],
~^з (і—^ ’ х Є [1 — <5,1],
где и1, и3, и5 — нечетные компоненты и(Ь) решения системы (6)-(7).
Доказательство. Система (6) распадается на три системы относительно т1(Ь), т2(Ь), затем т3(Ь), и4(Ь), и, наконец, и5(Ь), и6(Ь). Для и1 (Ь), и2(Ь) из (6) имеем
Г Ц (Ь) — Абв' (бЬ)т2 (Ь) = /1(Ь),
\и2(Ь) — Аби1(Ь) = /2 (Ь).
Отсюда следует, что функции 21 (х) = и1 (х) и 22(х) = и2 (|) являются решениями системы (2)-(3) при х е [0, б].
Далее, для и3(Ь) и и4(Ь) из (6) имеем
{—и'з (Ь) — Абв' (1 — бЬ)и4 (Ь) = /3 (Ь),
\—и4 (Ь) — Абиз(Ь) = /4 (Ь).
Поэтому функции 21 (х) = и3 и 22(х) = и4 являются решениями системы (2)-(3) при
х е [1 — б, 1].
Наконец, и5(Ь) и и6(Ь) удовлетворяют системе
Г (ь) — А(1 — 2б)в'(б +(1 — 2б)Ь)иб (ь) = /5 (Ь),
(Ь) — А(1 — 2б)и5 (Ь) = /6 (Ь).
Следовательно, функции 21 (х) = и 22(х) = ^1Х-2^ удовлетворяют системе (2)-(3) при
б < х < 1 — б.
Из краевых условий (7) следует, что 2^х) и 22 (х) образуют непрерывное на [0,1] решение системы (2)-(3) и удовлетворяют условиям (4).
Рассуждая в обратном порядке, можно из решения краевой задачи (2)-(4) получить решение краевой задачи (6)-(7). Поэтому однородная задача для (2)-(4) тоже имеет только нулевое решение. Отсюда по лемме 1 получаем утверждение теоремы 1.
^) = £ .
2. ОБ АСИМПТОТИКЕ РЕШЕНИИ УРАВНЕНИИ БЕССЕЛЯ
Нам в дальнейшем потребуются следующие сведения об асимптотике некоторых решений уравнения Бесселя.
Функции Ганкеля [8, с. 304], определяемые по формулам
H»> = —^-{J-V(z) - e-nViJv(z)}, H(2 = —^-{-J-V(z) + enViJv(z)}, (8)
i sin nv i sin nv
где v — вещественное и нецелое, а
J(z) = (2У W *v(z) = g (Г
образуют фундаментальную систему решений уравнения Бесселя:
z2y”(z) + zy'(z) + (z2 - v2)y(z) = 0. (9)
Введем в рассмотрение следующие функции: ф1(z,v) = a(v)H( \z), <^2(z,v) = a(v)H( ^(z), если arg z E [- П, f]; p1 (z,v) = ia(v)H(f (-z), y2 (z,v) = -ia(v)H(1') (-z), если arg z E [f, Зт], где a(v) = (f y11’2 ei(•*+4).
Лемма 2. Если arg z e [f, Зт], mo
H(1)(z) = -е~шVH(2) (-z), H(2) (z) = einVH(p (-z) + 2cos nvH(2) (-z).
Доказательство. Известно [8, с. 304], что
Jv (z) = 1[H(^(z) + H(f (z)], H-l (z) = enVi H^ (z), H—l (z) = e-nViH(2 (z).
Так как Ф V(z) целая четная функция, то
ф,(z) = *v(-z) = (-2 yV H{J) (-z)+2 Hp (-z).
Поскольку arg(-z) = -n + arg z, то имеем
H(1](z) = {J-V(z) - e-nViJv(z)} = (2) — Ф-V(z) - e-inV (2)''фv(z)
i sinnv i sinnv у \2J \2J
= {e~inv H-1) (-z) + H2 (-z)] - H((1) (-z) + H(f (-z )^ =
І
2г sin nv
І
|e-гпv [єіпvh(,) (-Z) + є-іпvH(2)(-z)] - [H(l) (-Z) + H(2) (-Z)^ = (є-2іпv - 1)H(2)(-z) = -e-nvH(2) (-z),
2г sin nv
H',2)(z) = {-J-v (z) + en VtJv (z)} = l-i 2) - Ф-v (z) + e"V (2) Ф v(z)
г sinnv г sinnv [ \2; \2J
1 {-e-“ v [H-l-) + H-K-z)] + e2n v (-z) + H(2) (-z)]} =
2г sin nv
І
2г зтпи
1 {—е-ш и [егп и И(р(—г) + е-ш и Н(2) (—2)] + е2п иг [И(/1)(—2) + н12)(—х)]} =
2г 8тпи (—2) + ^" — е-2гП")Н(2) (—2)} =
= егп" Н(1)(—г) + 2соб пиН(2)(—г).
Лемма доказана.
Следствие. Функции фз (г, и) (] = 1,2) образуют фундаментальную систему решений уравнения (9).
Теорема 2. При больших jzj и arg z Є [— f, 3г]
dZj ) = і)
1/2
^2(^) = (—гУ(^1/2{1+ O(i'| К“ (j = 0, 1).
1 + O
eiz (j = 0,1),
Доказательство. Известно [9, с. 221], что
2 1|2
2 ' Az-2vn-f)
nz
если —n + e < arg z < 2n — e, и
1|2
H(2) (z)= (—) e-i(z-2 vn-n)
\nz
1+ O
1 + O -
если -2n + e < arg z < n - e.
Отсюда следует утверждения теоремы при j = 0. Так как [8, с. 305]
d_
dz
H(s)(z) = H^z) - -Hl‘>(z) (s = 1, 2),
то из (12) и (13) следует (10) и (11) и при ] = 1. Теорема доказана.
Лемма 3. При малых г имеют место асимптотические формулы: если V > 0, то
И» (г )= 1
H(2)(z) = -
1
гГ(—v + 1) sinnv V2
1 /z\-v
%T(—v + 1) sin nv \2
{1 + O(^)}, {1 + O(zK)},
если v < 0, то
H((l) (z) = -
гГ(v + 1) sin nv \2
H(2) (z) = --
гГ(v + 1) sin nv V2
{1+ O(zK)},
{1+ O(zK)}.
Здесь к = шт{2, 2^|}.
Утверждение леммы легко следует из формулы (8). Лемма 4. Если V > 0, то
±нм (z) - (—1)s+1 (z)- І
dz v гГ(—v)slnnv \2J z
(z)- І
(2) і{1+ O(zK)} (s = 1, 2).
Если v < О, то
d (-1)se(-l)Sn иг ( z \v 1
—H(s)(z) = (—-)--------------(-) -{1 + O(zK)} (s = 1, 2).
dz v y 1 гГ(v)slnnv \2J zl v v , ;
(ІО)
(ІІ)
(І2)
(ІЗ)
(14)
Утверждение леммы легко следует из леммы 3 на основании (14).
На основании лемм 3, 4 и определения Vj (z,v) получаем следующие результаты.
Теорема 3. При малых z и arg z є [— \, f] имеют место следующие асимптотические мулы:
ds , N , , ,N _ N (z\-\v\ 1
dzs
( Z \ -\v\ 1
:Vl(z,v ) = (-jv j)sb(v )[2) - {1 + O(z K)},
ds ______( z\ -\v\ 1
V2(z,v) = (—v\)sI>(v )( 2) - U + O(z K)},
(15)
(16)
1
z
1
z
z
-n иг
I/
e
z
ez
о(у) a(v)e пг/г
где в = 0,1, Ь^) = -----т—:--- при V > 0, Ь^) = — ^----т—:---- при V < 0. Оценки 0(^ • •)
у 7 гГ(—v +1) эш J гГ(V +1)вт пv н чу;
равномерны по ащ г.
Теорема 4. При малых г и ащ г е , 3-^ имеют место следующие асимптотические формулы:
_____ / г \ —1^1 1
—к (г, V) = —г(—IV1УЬМе^1^^ -{1 + 0(гк)},
/ г \ —1^1 1
—^2(г, V) = —г(—^ 1УЬ(V^ ^ -{1 + 0(гк)},
где в = 0,1 и оценки 0( • •) равномерны по ащ г.
Нам потребуется также следующее применение функций фз (г^).
Лемма 5. Функции
У1 (х, А) = ^хф1^^х4, ^ , У2(х, А) = ^хф2^^х4, ^ ,
где — = , V = 2—, а = —2 вещественное и не целое, образуют фундаментальную систему
решений уравнения у" — А2хау = 0, х > 0.
Этот факт есть, например, в работе[10, с. 401].
3. АСИМПТОТИКА КОМПОНЕНТ ш^А), ■ш2^,А) РЕШЕНИЙ СИСТЕМЫ (6)
Обратимся к первым двум уравнениям системы (6). Мы имеем
и1 (Ь) + Аб1+а Ьа и2 (Ь) = ,/\(Ь), (17)
и2 (Ь) — Аби1(Ь) = /2 (Ь) (18)
(для краткости пишем и (Ь) вместо и (Ь,А)).
Рассмотрим сначала однородную систему
и>1 (Ь) + Аб1+“ Ьа и2 (Ь) = 0, (19)
и2 (Ь) — Аби1(Ь)=0. (20)
Из (19)-(20) получаем
и'2 (Ь) + А2 б2+аЬаи2(Ь) = 0. (21)
По лемме 5 для (21) имеем следующую фундаментальную систему решений:
и2з (Ь) = '/1<£з (^1Ь41 ^1),
Аб1+а а + 2 1 ,
где а1 =----------, —1 = ----, v1 = -----. Отсюда получаем следующую фундаментальную систему
—1 2 2—1
решений для (19)-(20):
(хц(Ь),х21(Ь))Т, (х12 (Ь),х22 (Ь))т,
где хц(Ь) = (Ь), х21 (Ь) = и21 (Ь), х12 (Ь) = -1:и22(Ь), х22 (Ь) = ^(Ь).
Положим X(Ь,А) = (х11(') х12(Ь)) . Тогда Б1(Ь,А) = detX(Ь,А) есть вронскиан системы (19)-\х21(Ь) х22(Ь))
(20).
Лемма 6. Вронскиан Б1(Ь,А) не зависит от Ь и имеет следующую асимптотику при больших |А|:
п1(ьл) = 21 [1],
где [1] = 1 + 0(А—1).
Доказательство. Так как диагональные элементы матрицы М1 (Ь) =
0 -б1+аЬс
равны нулю,
то Б1 (Ь,А) не зависит от Ь. Поэтому
Б1(Ь,А)= Б1(1,А) = уб
ф1(№, Vl)
ф2(^1, Vl)
Но — фз(11Ь41 ^) = фЗ(11Ь41 ^1)11^Ь41 1. Поэтому по теореме 2 аЬ 3
В1(Ь,А) =
11 —1 Аб
■ —1/2 г11
,—1/2\
[1]ег^1 —г11
-1/2
[1]е
■г^1
=Ъи-
Лемма доказана.
Лемма 7. Имеют место следующие асимптотические формулы:
хц(Ь) = <
0(А 1-1)
при 1^1 Ь411 < 1,
X — “ + ~ 2
-----А1/2 —1 Ь^ег^41 {1 + 0(1цЬд11 — ^} при 1цЬд11 > 1,
х21 (Ь) = <
х12(Ь) = <
0(А 1/1) при 1^1 Ь411 < 1,
б—1 — а — 1 1_
Ьег^1г<11 {1 + 0(1^1 Ь411—1)} при 1^1 Ь411 > 1,
при 1^1 Ь411 < 1,
г
А1/2 0(А 1-1)
б 2 + 4 —2 ЧЛ _1 .
________________1^ + — г^1
х22 (Ь) = <
А1/2 0(А- 1)
б— 1 — 4 —2 1_п —
ЬЧ12 е г^1г<11 {1 + 0(1^1 Ь411 ^} при 1^1 Ь411> 1,
при 1^1 Ь411 < 1,
г
А1/2
Ь 2 е г^ {1 + 0(1^1 Ь411 1)} при 1^1 Ь411> 1.
(22)
(23)
(24)
(25)
Доказательство. Рассмотрим х11(Ь) и для определенности Ке ц,1 < 0. Пусть сначала 111ЬЯ11 < 1. Тогда на основании (14) имеем
хп (Ь) = Т5и21(Ь) = АбОтЛ^ф^и^1 ^10 =
ТЬ /^Н(1 ](ИЬЧ1 )\ = ~Аб^ —1ИЬЧ1 — 2И1~1 (ИЬЧ1).
Аб ТЬ V ~"и1 ^ ') Аб (26)
Так как v1 — 1 < 0, то по лемме 3 Н(1 ^ (11Ь41) = 0 (у(^1 Ь41)и1—^. Тем самым из (26) получаем оценку хц(Ь) = 0(А1/1—1).
Пусть теперь 1^1 Ь411 > 1. Тогда имеем
хп(Ь) = Аб {2Ь~~ 1/2ф1(11 Ь41 ^1) + Ь1/211—1Ь41 — 1 ф'г(11Ь91 ^1)| .
Отсюда по теореме 2 получаем (22) в этом случае. Формулы (23)-(25) получаются аналогично. Следствие. Имеют место оценки:
хп(Ь) = 0(А—1/2ег^141), х12(Ь) = 0(А—1/2е—г^Ч1),
х21 (Ь) = 0(А—1/1 е^1 гЧ1), х22 (Ь) = 0(А—1/1 е—г^41).
Эти оценки следуют из (22)-(25), если учесть, что —1 > 1, а v1 < 1/2.
Лемма 8. Система (17)-(18) имеет следующее общее решение:
(и1 (Ь, А), и2(Ь, А))Т = X(Ь, А)с + 91^1,
(27)
5
0
1
где д1\Р1 = / д1(Ь,т,А)Р1 (т) йт, д1 (Ь,т,А) = X (Ь,А)Р1 (1;,г,Х)Х-1(т,А), Р1(Ь,т,А) = diag(£(t,т), о
— £(т,Ь)) при Ив < 0, Р1 (Ь,т,А) = 6.1щ( — £(т,Ь),£(Ь,т)) при Ив > 0, £(х,Ь) = 1 при t < X, £(х, Ь) =0 при t > х, с — постоянный вектор.
Доказательство. Вектор-функция X(Ь,А)с есть общее решение однородной системы (19)-(20). Общее решение системы (17)-(18) получаем методом вариации произвольных постоянных, т.е. ищем его в виде X(Ь,А)с(Ь), где с(Ь) = (с\_(Ь),с2(Ь))Т. Тогда имеем
с' (Ь) = X-1^,Х)Г1 (Ь),
где X-1 (Ь, А) = 1—— | Х22(Ь) х12(Ь) |. Пусть Ивг^1 < 0. Тогда с1 (Ь) находим интегрированием
п1(1,А) у Х'21 (Ь) Х11 (Ь) )
первого соотношения от 0 до Ь, а с2(Ь) — второго соотношения от Ь до 1. Подставляя найденное с(Ь)
в X(Ь,А)с(Ь), придем к (27). В случае Ивг^1 > 0 надо проводить интегрирование с1 (Ь) от Ь до 1, а
с'2(Ь) — от 0 до Ь.
Замечание 1. Выбор пределов интегрирования для нахождения с1(Ь) и с2 (Ь) проведен с таким расчетом, чтобы в д1 (Ь,т,А) экспоненты из асимптотических формул (22)-(25) имели отрицательную вещественную часть.
Замечание 2. Формула (27) имеет место для любой f (х) е Ь[0,1]. Это вытекает из следствия к лемме 7.
4. АСИМПТОТИКА КОМПОНЕНТ ш3^,А), ш4(г,А) РЕШЕНИЙ СИСТЕМЫ (6)
Из третьего и четвертого уравнений системы (6) имеем
—т3 (Ь) — А5в' (1 — бЬ)т4(Ь) = /3 (Ь), (28)
-т4(Ь) — А5тз (Ь) = /4 (Ь), (29)
или, учитывая явный вид в'(1 — 5Ь),
—и>3 (Ь) + А5в+1(а + 1)в Ьв и>4(Ь) = /3 (Ь), (30)
—'ш'А(Ь) — Аб'Шз (Ь) = /4 (Ь), (31)
где в =--------------а—. Рассмотрим сначала однородную систему
а + 1
—и>3 (Ь) + А5в+1(а + 1)в Ьв и>4(Ь) = 0, (32)
—гш’4(Ь) — А5и>3 (Ь) = 0. (33)
Из (32)-(33) получаем
Ю,
'(і) + X2 5в+2 (а + 1)в ів (і) = 0.
П х<51+з(а + 1)2 в + 2 1 О и 5
Положим ц2 =-----------------------, о2 = --------, и2 = -----. Отсюда в соответствии с леммой 5
Я2 2 2д2
получаем для ю4(і) следующую фундаментальную систему решений:
(і) =\/їфі (і2№ ,»2) (І = 1, 2).
Теперь на случай системы (28)-(29) легко переносятся результаты раздела 3.
Таким образом, для системы (32)-(33) получаем следующую фундаментальную систему решений:
(У11(І), У21(і))Т, (У12 (і), У22 (і))Т,
где У1з(і) = -у5Ю43, У2з (і) = Ю4з (і) (І = 1, 2).
Положим У(і,Х) = \1і(), У1‘2((')\ . Тогда Б2(і,Х) = det У(і,Х) есть вронскиан системы (32)-\У21(і) У22(і))
(33).
Лемма 9. Вронскиан Б2(Ь,А) не зависит от Ь и имеет следующую асимптотику при больших |А|:
°2 (Ь’А) = 2В [1]'
Лемма 10. Имеют место следующие асимптотические формулы:
У11(Ь) = <
О (А1/2 1) при 1^2 Ь421 < 1,
5--------{1+ О(1^2Ь92 I 1)}вг^2гЧ2 при 1^2Ьд2 1> 1,
У 21 (Ь) = <
О (А 1/2) при 1^2Ьд21 < 1,
5—1 -4 (а + 1)-4д2 —2
—г
А1/2
-Ь 22 {1 + О(112Ь421 1 )}вг^2гЧ2 при 1^2Ьд21> 1,
У12(Ь) = <
О (А1/2 1) при 1^2Ьд21 < 1,
У22 (Ь) = <
5-------Я22* {1+ О(1^2Ьд2 I 1 )}е г^42 при 1^2Ьд2 1> 1,
О(А-1/2) при 1^2Ьд21 < 1,
х—*—в / _|_ 1\—в 2
—г---------- „ /2 ----—Ь{1 + О(ц2Ь421-1 )}в—г^2гЧ2 при 1ц,2Ьд21 > 1.
А1/2
Следствие. Имеют место оценки:
У11 (Ь) = О(А-2—1вг^2142), У21 (Ь) = О(А—1/2вг^2142),
У12 (Ь) = О (А -2—1в—г^42), У22(Ь) = О(А—1/2в—г^42).
Эти оценки следуют из леммы 10, если учесть, что д2 < 1, 1/2 < и2 < 1.
Лемма 11. Система (30)—(31) имеет следующее общее решение:
(ш3(Ь, А), ,ш4(Ь, А))Т = У(Ь, А)с + д2\Е2, (34)
1
где д2\Р2 = / д2(Ь,т,А)Г2(т) йт, д2(Ь,т,А) = У(Ь, А)Р2(Ь,т, А)У—1 (т,А), Р2(Ь,т,А) = ^щ(£(Ь,т),
о
—£(т,Ь)) при Ивг12 < 0, Р2(Ь,т,А) = &щ(—£(т,Ь),£(Ь,т)) при Ивг12 > 0, с — постоянный вектор. Замечание. Формула (34) имеет место при любой /(х) е Ь[0,1].
5. АСИМПТОТИКА КОМПОНЕНТ щ,(Г,А), ши,А) РЕШЕНИЙ СИСТЕМЫ (6)
Система для Wj (Ь,А) (] = 5,6) имеет вид
^5 (Ь) — А(1 — 25)в’(5 + (1 — 2-)Ь)'Шб (Ь) = /5(t), (35)
(Ь) — А(1 — 25^5 (Ь) = /б (Ь). (36)
Положим ц,3 = А(1 — 25), —в'(5 + Ь(1 — 25)) = р(Ь). Тогда однородная система для (35)-(36) примет
вид
(Ь) + 13 р(Ь)шб (Ь) = 0, (37)
™'б (Ь) — 13^ь(1) = 0. (38)
Из (37)-(38) получаем
т"(Ь) + 123р(1)ы1б(1) = 0. (39)
Лемма 12. Уравнение (39) имеет фундаментальную систему решений ^^(Ь)^^(Ь)}, для которой при больших |А| имеют место асимптотические формулы:
Wбl(Ь) = р^тУ^Ч^ ы'б 1(Ь) = г13^Р(Ь)Р1(£ (t))eг^(■t)[1},
-Шб2 (Ь) = Р1(йЬ))е—Щ3 т ™'б 2(Ь) = —г13^рЩр1 (£(t))e—г^it)[1},
где Р1 (£) = е 1/2 0Р2(т) йт, Р2(0 = Р3Ш^ Р3(Ь) = ^ рЬ))3/2’ £ £(Ь) = 0’VЯТTйт’
[1] = 1 + О(А—1). 0 0
t ______
Доказательство. Выполним в уравнении (39) замену независимого переменного £ = / \/р(т) йт
0
и положим у(£) = кб(Ь(£)). Тогда имеем
К(Ь) = у'(OVp(t), К(Ь) = у"(£)р(Ь) + \т)—1/2Р'())у'(£).
Подставляем это в (39). Получим
У'' (£)Р(Ь) + 2(р(Ь))—1/2р' (Ь)у'(0 + 123Р(Ь)У(0 = °-
Отсюда
У''(£) + Р3(Ь)У'(£) + 13 У(£) = 0
или
У''(0 + Р2(£)У'(£) + 13 У(£) = 0- (40)
В (40) выполним замену у = р1(£)у. Тогда получим
Vй (0+ ШУ(£)+ 13 у(£)=0. (41)
Уравнение (41) [11, с. 53, 58-59] имеет фундаментальную систему решений {^1(£),^2(£)} с асимптотикой
У1(£) = Р1(£)еЩз5[1^ У1(£) = г13Р1(£ )еЩ3 5 ^
У2 (£) = Р1(0е—г/"3 5 [1], У2 (£) = —г13Р1 (0е—Щ3 5 [1].
Переходя отсюда к кб(Ь), получим для уравнения (39) фундаментальную систему решений {кб1(Ь),кб2(Ь)} с указанной асимптотикой. Лемма доказана.
Обратимся теперь к однородной системе (37)-(38). Для нее получаем следующую фундаментальную систему решений
(хц (Ь), 221(Ь))Т, (Х12 (Ь), 222(Ь))Т,
где г11 (Ь) = — к'б1 (Ь), г21 (Ь) = Кб1 (Ь), (Ь) = — к'б2(Ь), 222(Ь) = Кб2(Ь).
13 13
По лемме 12 получаем
Лемма 13. Имеют место асимптотические формулы
г.11(Ь)= г^Ж)Р1 т)еЩ1(т [1], 221 (г)= Р1 т)ег<»М [1],
212(Ь) = —г^Р(ЛР1Ш)е~''‘3 Ш'> М 222 (Ь) = Р1(((())е — г^’5 [1].
Положим И(Ь,А) = (г^(Ь))2. Тогда Б3(Ь,А) = dвt И(Ь,А) есть вронскиан системы (37)-(38) и для него, как и в разделе 3, имеет место
Лемма 14. Вронскиан Б3(Ь,А) не зависит от Ь и имеет следующую асимптотику при больших |А|:
Б3(1,А)= Б3(0, А) = 2г^—Щ[1].
Для неоднородной системы (35)-(36), как и в разделе 3, получаем Лемма 15. Система (35)—(36) имеет следующее общее решение:
(К5(Ь, А), Кб(Ь, А))Т = И(Ь, А)с + д3\Е3,
1
где с — постоянный вектор, д3\Г3 = / д3(Ь,т, А)Г3(т) йт, д3(Ь,т,А) = И(Ь,А)Р3(Ь,т,А)И—1 (т,А),
0
Р3(Ь,т,А) = &1щ(£(Ь,т), —£(т,Ь)) при Ивг13 < Кв(—г13), Р3(Ь,т,А) = &1щ(—£(т,Ь),£(Ь,т)) при Ив г13 > Кв(—г13).
6. ТЕОРЕМА РАВНОСХОДИМОСТИ
1. В силу лемм 8, 11, 14 для решения к(Ь,А) системы (6)-(7) получаем следующую формулу:
к(Ь,А) = —Ф(Ь,А)и—1(А)и (дх Е) + дхЕ, (42)
1
где Ф(Ь,А) = diag(X(Ь,А),У(Ь,А),И(Ь,А)), д\Е = Jg(t,т,А)Е(т) йт, д(Ь,т,А) = diag(g1 (Ь,т,А),
д2 (Ь, т, А),д3 (Ь, т, А)), и (А) = и (Ф(Ь, А)) = Р Ф(0, А) + $Ф(1, А), и (дх Е) = Рдх Е |^о + ЯдхЕ |^ь Введем следующие обозначения: 0з (Ь,А) = д^ХЕ^, 0з (Ь,А) = (0з1 (Ь,А),0з2 (Ь,А))Т,
0(1, А) = (0Т (Ь, А), ОТ (Ь, А), 0Т (Ь, А))Т. Тогда дх Е = 0(1, А), и (дхЕ) = РС(0, А) + <20(1, А). В дальнейшем нам нужна лишь пятая компонента к5(Ь,А) решения к(Ь,А) системы (6)-(7). В силу (42) имеет место
Лемма 16. Справедлива формула
б
К5(Ь, А) = 'У ' Б3(Ь, А) + О31 (Ь, А), (43)
3 = 1
где Б1 (Ь,А) = П1(Ь, А)012(0,А), Б2(Ь, А) = П2(Ь,А)021 (0,А), Б3(Ь,А) = щ(Ь,А)(031 (0,А) —
— 0ц(1,А)), Б4 (Ь,А) = П4(Ь,А)(032(0,А) — О12 (1,А)), Б5(Ь,А) = П5 (Ь,А)(021 (1,А) — 031(1, А)), Бб(Ь,А) = щ(Ь,А)(022(1,А) — 032(1,А)), п(Ь,А) = (п1 (Ь,А),... ,щ(Ь,А)) — пятая строка матрицы-функции Ф(Ь,А)и—1 (А).
2. В дальнейшем считаем, что — | < ащ(—А) < 0. Тогда ащА е ,п^ и (—А)1/1 = А1/1 е—П 1/1г. Получим асимптотические формулы для компонент X(Ь, А), У(Ь, А), И(Ь, А) при Ь = 0 и Ь = 1.
Лемма 17. Имеют место формулы
х1з (0) = а1з А1/1—1, х2з (0) = а2з А—1/1 (3 = 1, 2),
где
= га(и1 )(2д1 )1—,У1 е-2™1 г5—1/2 = га(и1 )(2д1 )1—,У15—1/2
а11 Г(и1) этжи1 , а12 Г(и1) эт жи1 ,
а21 = ЬМ(2д1)1/15—1/2еП"1г, а22 = Щ) (2д1) ^-—1/2еП 1/1 г.
Доказательство. Имеем
Так как и1 — 1 < 0, то отсюда в силу леммы 3 получаем, что х11 (0) = а11А1У1—1. Далее, в силу теоремы 3 х21 (0) = К21(0) = (лДф1 (11Ь41 ,р1)) ^=0 = а21А—1/1.
Аналогично получаются формулы для х12(0) и х22(0).
Лемма 18. Имеют место асимптотические формулы:
ЬЬ хц (1) = 3ег1М [1], хз2(1) = 3е—^ [1],
где [1] = 1 + О(А—1), Ьц = —5— 2+ад?, Ь21 = —г5—1 — ад2, Ь12 = —Ьц, Ь22 = Ь21.
Утверждение леммы — простое следствие леммы 7.
Так же, как леммы 17 и 18, получаются Лемма 19. Имеют место формулы:
У1з (0) = с1з А1/2—1, у23(0) = с2з А—1/2 (3 = 1, 2),
где
га(и2 )(2д2)1/2—1 е-2ж 1/2 5е (а + 1) ^ га(и2)(2д2)1—1/2 5е (а + 1) в.V2
с11 Г(и2) Бт пи2 , с12 Т(и2) Бтпи2 ’
1 вv2 ■ - 1 вv2 ■
с21 = Ь(Р2 )(2д2)и2 5— — (а + 1)—~ еП "2г, с22 = Ь(»2 )(2д2)и2 5—~ (а + 1) — ~ еП и2 г.
Лемма 20. Имеют место асимптотические формулы:
Уз1(1) = еЩ2, Уз2(1) = '3/ге—гю (3 = 1,2),
йц = 5— 2+4 (а + 1)4 д22, й12 = йц, й21 = —г5—1 — 4 (а + 1) — 4 д22, й22 = й21.
Наконец, из лемма 13 получается
Лемма 21. Имеют место асимптотические формулы:
211 (0) = г^РЩЧ; 221 (0) = [1], 212 (0) = г у/'ШГ!]' 222 (0) = [1],
211 (1)= г^р(1)р1 (т)егт5(1> [1], 221(1) = Р1 ((.(1))е‘т5(1> [1],
212 (1) = —г^\/р(1}Р1 (£(1))е-гМ3 «М [1], 222(1)= Р1 (£(1))е —
3. Для определителя Д(А) = dвt и (А) имеем формулу
Д(А) =
Х21(0) Х22(0) 0 0 0 0
0 0 У11(0) У12(0) 0 0
-Х11(1) -Х12(1) 0 0 2ц (0) 212(0)
-Х21(1) -Х22 (1) 0 0 221(0) 222(0)
0 0 У11(1) У12(1) -211(1) -212(1,
0 0 У21(1) У22(1) -221(1) — 222(1
В нашем случае Ив г11 > 0, Ив г12 > 0, Ив г13 < 0. Используя леммы 17-21 для Д(А) получаем следующую асимптотическую формулу:
Д(А) = А1/2-1/1-2ег(^ +^2-^(1)) ао + ^2 азегХъ + 0(А-1)
(44)
3 = 1
где аз — константы, причем а0 = 0, ^з — положительные константы.
Удалим из рассматриваемого сектора 2 < ащ А < п нули определителя Д(А) вместе с окрестностями одного и того же достаточно малого радиуса 50. Получившуюся область обозначим Б$0. Лемма 22. В Б$0 при достаточно больших |А|
|Д(А)| > С|А|1/2—1/1 —21ег^1+»2 —^35(1>> I.
Утверждение леммы следует из формулы (44) и свойств нулей квазимногочленов [12, с. 438].
4. Приступаем к оценке Б3(Ь, А) в формуле (43). Сначала оценим 0гз(0, А) и 0гз(1, А). Пусть г = 1.
[ Х22(і) -Х12(Ь)
21 \ %21 (і) Хіі(і)
Имеем X 1 (Ь,А) = -Л- I ~1 где Б1 = Б1(1,А). Поэтому
0ц(г,А) = -2— ! <1 - (Х11(г)е(г,г)х22(т)+ Х12(Ь)є(Ь,т)Х21 (т)) /1 (т)+
1о
+ (хц(і)є(т, і)Х12(т) + Х12(і)є(і, т )Х11 (т)) /2 (т П йт,
(45)
012(1, А) =
- (Х21(і)є(т,і)Х22 (т) + Х22 (і)є(і,т)Х21 (т)) /1 (т) +
+ (Х21(і)є(т, і)Х12(т) + Х22(і)є(і, т)Хц (т)) /2 (тП йт.
(46)
7
1
1
1
Лемма 23. Имеет место оценка:
012(0, А) = О (А1—ъ ||/ у,
а
где /(Ь) = /(Ь)(1 — Ь)в, в =-----+1, || ■ ||1 — норма в Ь[0,1].
Доказательство. Из (46) при Ь = 0 имеем
1
°12= “'Б) I ( — х22(т)/1(т)+ х12(т)/2(т)) *\
(47)
(48)
1 5
Оценим интеграл 7 = / х22(т)/1(т) йт. Имеем 7 ^ + 32, где 3-^ = / х22(т)/1 (т) йт и £ = |l|—1/ql.
00
По лемме 7
•Ь =0\ А -'‘У \/1 (т )| йт\ = О ^ А-п I\/(в(5т))\та йт\ = О ^|А|" п ^ |/(0(<5т))| йт | =
= О | А-1/1 — 411 /(в(5т))| йт^ = О (Х—1/2/ /(в(5т))| йт | .
Но
Поэтому
5
/ 1 —
(вт)
а+1
а+1
йт = О ( I ^ш(1 — П)в йП
„о
Зх = о (А—1/2
Далее, по лемме 7 ( 1
72 = О
\
А-12 ! т^+“/(в(5т))| йт
5
—1 = О(А1— 1
=О
( 1
а—1/2! и'(в(5т ^йт
5
\
= О А—1/2
Так как х21(0)Б1 1 = О(А1 1/1), то из (49) и (50) получаем, что
х21 (0)Б—Ч = о{а1/12--1 II/ 1К) .
Наконец, по следствию леммы 7 1
х12 (т )/2(т) йт = О I А 1/2 5/(5т)| йт\ = О(А 1/2 1/
(49)
| / | 1 . (50)
(51)
(52)
Из (48), (51) и (52) следует (47).
Лемма 24. Имеют место оценки
01з(1,А)= 0(1/111) (3 = 1, 2).
Доказательство. Из (45)-(46) заключаем, что
0ц (1, А) = Б— ! (х12(1)х21 (т )/1 (т) + х12 (1)хц(т )/2(т)) йт,
о
1
012 (1, А) = Б— ! (х22(1)х21 (т )/1 (т) + х22 (1)хц(т )/2(т)) йт.
(53)
1
1
1
1
По леммам 6 и 18 имеем
Х12 (1)^-^ Х21 (т)/х (т) йт = О |^Л-1/2е~Щ1 ! Х21 (т)Д(т) йт
0 V 0 У
Далее, точно так же, как и для 1, в доказательстве леммы 23, получаем оценку
1
е~Щ1 [Х21(тШт) йт = 0 (Л_1/2||/Ц1) •
0
На основании лемм 6 и 18, как и при доказательстве леммы 23, имеем
1 /1
11
х12 (1)^1 1 / Х11 (Т Щт) ^Т = ° і Л1/2 Є Щ1 [ Хц (Т )/2(Т) Йт| = О (||/1|^ .
00
Тем самым оценка (53) при ? = 1 получена. Для С12(1,Л) оценка (53) получается аналогично. Лемма 25. Если /(£) = %(£)есть характеристическая функция какого-нибудь отрезка [а, 6] из (0,1), то
^12(0, Л) = 0(Л-2), О-(1,Л)= 0(Л-1) (? = 1, 2). (54)
&1
Доказательство. Интеграл 1 из доказательства леммы 23 есть 1 = / х22(т)/1 (т) йт, где
Я1
[а1,61] С (0,1). Значит, |дт911 > 1, и поэтому, используя лишь асимптотику х22(£) из леммы 7 при |д£|91 > 1 и гладкость /1(т), легко получаем, что 1 = 0(Л-3/2). Точно так же и
1
/ж12(т)/2(т) йт = 0(Л-3/2). Тем самым оценка (54) для 012(0, Л) установлена. В силу этих же
0
соображений получаются оценки (54) и для О- (1, Л) (? = 1, 2).
С помощью лемм 9, 10, 13, 14 аналогично получаются следующие факты.
Лемма 26. Имеют место оценки:
С21(0,Л) = О(Л^"2II/1|1), С2- (1, Л) = 0(1/1|1) (? = 1, 2).
Если /(х) = х(х)> то
С21(0, Л) = 0(Л"3 +"2), С2- (1, Л) = 0(Л-1) (? = 1,2).
Лемма 27. Имеют место оценки:
Сз- (0, Л) = 0(11/1|1), Сз- (1, Л) = 0(11/У (? = 1,2).
Если /(х) = х(х), то
Сз- (0, Л) = 0(Л-1), Сз- (1,Л) = 0(Л-1) (? = 1, 2).
Приступаем теперь к оценкам пятой строки п(£, Л) = (п1.(£, Л),..., Пб(£, Л)) матрицы Ф(£, Л)и-1(Л).
Лемма 28. В Б$0 при больших |Л| имеют место оценки:
П1 (£, Л) = 0(Л^1- 2 е-^1), П2 (£, Л) = 0(Л1 -^2 е-г^2),
П- (£, Л) = 0(е^3^) (? =3,4),
П-(£, Л) = 0(е^з(«(1)-^))) = 5,6).
Доказательство. Имеем
п-(*,Л) = Да)^ (^)А-5 + г12(^)Л-б) (?' = 1,•••,6), (55)
где Ajk — алгебраические дополнения элементов определителя А(Л). Из явного вида Ajk и леммы
22 следуют оценки:
Al5 = 0(Л^2-2 ei(^2-^(1))), Ale = 0(Л^2-5 ei(^2 +^ї(1))), (Бб)
A2j = 0(Л-^ - 2 eV1) (j = Б, б), (Б7)
Aj5 = 0(Л^2-V1-2 ei(^1 +^2-^з5(1)) ), Aje = O^V2-V1-2ei(^ +^2 +^?(1))) (j = 3,4) (58)
ASj = 0(Л^2-V1-2 ei(^ +^2)) (s, j = 5, б). (59)
Из (55)-(59) по лемме 13 получаем утверждение леммы.
Наконец, мы приступаем к получению оценок для Sj(t, Л).
Лемма 29. В Ss0 при больших |Л| имеют место оценки:
Sj(t, Л) = O(e-‘^j ||/ ||і) (j = 1,2), (6O)
Sj(t, Л) = O(eiM3«'> II/||i) (j = 3,4), (б1)
S, (t, Л) = О^и'даЬсеХц/|i) (j = Б, б). (б2)
Если f (x) = x(x), то в оценках ^)-(б2) следует ||f ||1 заменить на Л-1.
Утверждения леммы следуют из лемм 16, 23-28.
5. Нули А(Л) совпадают с характеристическими значениями оператора A. Мы изучили асимптотическое поведение А(Л) при arg Л Є [2, п]. Главная часть этой асимптотики есть экспоненциальный многочлен по Л. Аналогичное исследование можно провести и при других значениях Л. Из полученной асимптотики, как известно из работы [12, с. 435-438], заключаем, что характеристические значения расположены в некоторых полосах, причем в любом прямоугольнике (две стороны — на границе полосы) каждой полосы одинаковой ширины число характеристических чисел не превосходит одного и того же числа (зависящего лишь от ширины прямоугольника). Теперь мы через S^0 обозначим область, получающуюся удалением из Л-плоскости всех нулей А(Л), вместе с окрестностями одного итого же достаточно малого радиуса <50. Пусть
Or(t; f) = J O(t Л; f) A |Л|=Г
где 0(^Л; f) — пятая компонента вектора Ф(^ Л)и-1(Л)и(дЛF) и |Л| = r целиком находится в S^0. Лемма 30. Если /(x) = f (x)(1 — x)e Є L[0,1], то
lim |Or (t; f)||[6,i_6] =O, є > O. (б3)
r—
Доказательство. Лемму 29 мы получили при arg Л Є [ПП , п]. Аналогичными рассуждениями получаем подобный результат и при произвольных значениях arg Л. Тогда имеем
IIO-(t; /)|[6,1-6] < CЦ/І1, (б4)
где C > O и не зависит от r. Формула справедлива, если f(x) = x(x) — характеристическая функция
отрезка из (0,1). Пусть ^(x) — ступенчатая функция, обращающаяся в ноль в окрестности концов
отрезка [0,1]. Тогда из (64) имеем
||°r (t; f )У [6,1-6] < ||°r (f — ^)У + ||°r HI < C II/ — ^||l + ||°r (^)ll-
Но
6 1 1-6
її/-нь < y|/(x)|(1—x)edx + J|/(x)|(1—x)edx+єв J|/(x) — ^(x)|dx-0 1-6 6
Значит, |f — ^>||i за счет выбора ^(x) можно сделать сколь угодно малым, и тогда утверждение леммы легко следует из теоремы Банаха - Штейнгауза.
Теорема 5 (основная). Пусть f (x)(1 — x) “+1 Є L[0,1]. Тогда, если 0 < 5 < є, то
Hm ||5V(x,f) - ffr(с,/і)|є=^-і(і) IIm-6] =0,
(65)
где £г(ж,/) — частичная сумма ряда Фурье по собственным функциям оператора А для тех характеристических чисел Ль для которых А | < г, <гг (С,/і) — частичная сумма ряда Фурье функции /і (С) = /(^(С)) по системе {е2ЙП7 для тех к, для которых |2кп| < 7г, 7 = / л/-^0(£) &і,
^(5) _______
^(С) определяется из / \/—Щі) = С, а #0(ж) — инволюция такая, что 0о(ж) є С3[0,1], #0(ж) < 0
о
для всех ж из [0,1], #0 (ж) = 0(ж) при ж є [5,1 - 5].
00 (ж)
Доказательство. Введем оператор А0/ = / /(і) и пусть = (Е - АА0)-1А0 — его резоль-
о
вента. По теореме 1 при ж є [є, 1 - є] Да/ = ^5(п), Л°/ = ^°(п), где п = (ж - 5)(1 - 25) и — то же самое, что и но для оператора А0. Так как пятые компоненты ддЕ и д°Е0 при указанных ж совпадают, то по лемме 30
lim
Г — О
[Ял/ — Ял/] ЙЛ
|Л|=Г
[6,1-6]
= 0.
(66)
Но в работе [13] было доказано, что
lim
Г — О
1
2ni
ЯЛ/ЙЛ + °v (с,/1)|5=^-1 (x)
|Л|=Г
[6,1-6]
= 0.
(67)
Поскольку Sr(x, f) = —-—г Г Ялf ЙЛ, то из (бб) и (б7) получаем (бБ). Теорема доказана. 2пг
|Л|=Г
Замечание. Здесь мы считаем, что |А| = г целиком находится в $г0, где $г0 есть пересечение областей $г0, относящихся к А и А0.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 06-01-00003) и гранта Президента РФ (проект НШ-2970.2008.1)
Библиографический список
1. Хромов А.П. Об обращении интегральных операторов с ядрами, разрывными на диагоналях // Мат. заметки. 1998. Т. 64, № 6. С. 932-949.
2. Ильин В.А. Необходимые и достаточные условия ба-зисности и равносходимости с тригонометрическим рядом спектральных разложений, II // Диф. уравнения. 1980. Т. 16, № 6. С. 980-1009.
3. Седлецкий А.М. Аналитические преобразования Фурье и экспоненциальные апроксимации, II // Современная математика. Фундаментальные направления. М.: Изд-во МАИ. 2003. Т. 6. С. 3-162.
4. Шкаликов А.А. Краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений с параметром в граничных условиях // Тр. семинара им. И.Г. Петровского. 1983. Т. 9. С. 190-229.
5. Корнев В.В., Хромов А.П. О равносходимости разложений по собственным функциям интегральных операторов с ядрами, допускающими разрывы производных на диагоналях // Мат. сб. 2001. Т. 192, № 10. С. 33-50.
6. Курдюмов В.П., Хромов А.П. О базисах Рисса из
собственных функций интегрального оператора с переменным пределом интегрирования // Мат. заметки. 2004. Т. 76, № 1. С. 97-110.
7. Хромов А.П. Интегральные операторы с ядрами, разрывными на ломаных линиях // Мат. сб. 2006. Т. 197, № 11. С. 115-142.
8. Никифоров А.Ф., Уваров В.Б. Основы теории специальных функций. М.: Наука, 1974. 303 с.
9. Ватсон Г.Н. Теория бесселевых функций. М.: Изд-во иностр. лит., 1949.
10. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1971. 576 с.
11. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. М.: Наука, 1969. 528 с.
12. Беллман Б., Кук К. Дифференциально-разностные уравнения. М.: Мир, 1967. 548 с.
13. Кувардина Л.П., Хромов А.П. О равносходимости разложений по собственным функциям интегрального оператора с инволюцией // Изв. вузов. Математика. 2008. № 5. С. 67-76.
