CC BY
20
ТЕОРЕМА. Пусть \<p<q <00, к = | - —- ¿-<1, у = ст-/„(1-к).
Тогда эквивалентны
У sup h~l'+l'K
/=10<Л<Ло
Р ч)ы\1i
причем из конечности второй полунормы следует существование указанных производных.
Замечание. Вторые полунормы в теореме при различных II >2 эквивалентны.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
I. Кочарли А. Ф. Некоторые весовые теоремы вложения в область с негладкой границей //'Гр. МИАН СССР. 1974. Т. 131. С. 128 - 146.
УДК 517.51: 518
С. Ю. Советникова
О СКОРОСТИ АППРОКСИМАЦИИ РЕШЕНИЯ ОДНОГО ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО РОДА*
Рассмотрим интегральное уравнение первого рода:
*fv_ л"1-1
Au = р—-u(t)dí = f(x).
о (т-1)!
Пусть ueMœ C[a,b\, где M = {и(х) е С[0,1] : и - „4*у,Ы|, <1}.
'-2
Для решения этого уравнения рассмотрим метод регуляризации нулевого порядка. В этом методе приближение к решению находится из уравнения
аиа + А* Аиа = A f. Известно, что иа(х)-^>и при а—»0 в метрике пространства L2[a,b) [1J, а если и е R(A*), то и в метрике пространства С[а,Ь] [2]. Обозначим через Ra следующий оператор:
Ra =(аЕ+ А*А)~' А* (а>0 - параметр).
Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Президента РФ для поддержки ведущих научных школ РФ (проект НШ-1295.2003.1 ).
112
Операторы RaA являются операторами, аппроксимирующими функцию и(х). Введем в рассмотрение величину
Д, (Ra А,М) = sup! R., Ли - и\с :и е М), которая характеризует скорость аппроксимации функции и(х) при применении операторов RUA.
ТЕОРЕМА. Справедливо представление
ts.^{RaA, М) = тях
' ' 1 \...\F{x,t,---)dt...dt
Л Л ^Х
о о
dt
(1)
где r(x,t,—)- функция Грина краевой задачи: а
МГЛ'+'^ф,-
а
у( 1) = /(1) =... = "(О = /т>(0) =... = у(2т А)(0).
(2)
Доказательство. Сначала получаем представление оператора ЯиА в интегральном виде. Затем используем лемму из [3]:
ЛЕММА. Если Ка - интегральные операторы с ядрами Ка (л',Е), та-
кие, что \\К„и — и\
ЩаМ
■ 0 при а —> 0 равномерно по
и(х)еМ = {и(х)еС[а,Ь]:и(х) = \B{x,t)v{t)dt,\v\\^[aM <1},
а
то справедливо представление
Ai(/C„>м) = sup{\Каи - и\\с[аМ :иеМ} =
ь h I
= sup {\(\Ka(x£)B{l,t)de,-B{x,t)fdt)\
a<x<b a a
где Ka(xи B(l,t) - ядра операторовRaА и В соответственно. Так как А~ = L, где L - дифференщгальный оператор: уС"):у( 0) = ... = У"-»(0),
1 If _
a Bv = J- —--v(t)dt, то отсюда получаем, что
; (т-1)!
1 1 ] RaAu = — Jr(x,i,—)u(t)dt,
где r{x,t,--) - функция Грина краевой задачи (2).
а
Затем берем общий вид функции Грина дифференциального оператора из [4], при этом учитываем знак старшей производной в выражении (2). Проводим соответствующие выкладки, учитывая краевые условия, которым удовлетворяет функция Грина и следующие соотношения:
а
п р
tfn*.г.- VftU=Г(2т~2> (*А-1)=О, а ир а
о о а "Р а
т
Таким образом, приходим к выражению (1).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Тихонов А. Н. О регуляризации некорректно поставленных задач // Докл. АН СССР. 1963. Т.153,№ 1.С. 49-52.
2. Хромова Г. В. О регуляризации интегральных уравнений первого рода с ядром Грина//Изв. вузов. Сер. Математика. 1972. № 8(123). С. 94 - 104.
3. Хромова Г. В. О модулях непрерывности неограниченных операторов и оптимальности методов приближенного решения уравнений первого рода // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2005. Вып. 7. С. 133 - 135.
4. Хромова Г. В. Об оценке погрешности метода регуляризации Тихонова для интегральных уравнений с ядром Грина // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. !992. № 4. С. 22-27,
УДК 517.518.82
Е. В. Сорина
О ПРИБЛИЖЕНИИ МНОГОЗНАЧНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ ПОЛИНОМИАЛЬНОЙ ПОЛОСОЙ ФИКСИРОВАННОЙ ШИРИНЫ
1. Пусть N - натуральное число, Т - дискретная сетка вида Т = {?0 <t| <...<fv}, Ф(-)- дискретное многозначное отображение с образами в виде отрезков ф(?А)= [_У[ ¡.\у2 к J, причём у2 к > У] к,Ук е [0: .У].
Пусть далее p„(A,r) = а0 + axt +... + ant" - алгебраический полином степени не выше п с вектором коэффициентов А = ,...,ая)е а IIn(j4,t,r)- [pnlA.t)-r,p„(A,/)+ г] - полиномиальная полоса, где г - фиксированное число. Обозначим через
/(А,к) = max{| рп(A,tk)+ г -у2 к j;j дt - р„(A,tk)■4- г]}.
