О точных по порядку оценках погрешностей в задаче восстановления функции вместе с ее производной Текст научной статьи по специальности «Математика»

Аналогично, из леммы 2 и неравенства (11) следует, что

ыиЛЬЬ.г) < er6T'1N-\6)h-ruJr(hJ)L.u.

■м'

Применив в (13) последние две оценки при Н = <5, получаем неравенство

Библиографический список

1. Терехин А. П. Интегральные свойства гладкости периодических функций ограниченной р-вариации // Мат. заметки. 1967. Т.2.

2. Красносельский М.А., Рутпицкий Я R. Выпуклые функции и пространства Ор-лича. М.: Физматгиз, 1958.

3. Терехин А.П. Приближение функций ограниченной р-вариации // Изв. высш. учеб. заведений. Сер. мат. 1965. N2(45).

4. Тиман А.Ф. Теория приближения функций действительного переменного. М.: Физматгиз, 1960.

5. Родин A.M. Свойства Л/-вариационных модулей непрерывности // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2001. Вып. 3.

О точных по порядку оценках погрешностей в задаче восстановления функции вместе с ее производной

В данной работе получены согласования параметра регуляризации а с погрешностью исходных данных <5, обеспечивающие точные и оптимальные по порядку оценки погрешностей задачи восстановления функции вместе с ее производной, и указаны величины этих порядков.

Рассмотрим постановку задачи восстановления функции и ее производной: непрерывно дифференцируемая функция /(х) задана своим ¿-приближением в среднеквадратичной метрике, то есть ||/{ - /||/,2 ^ (5, требуется ПО }{ и (5 построить последовательность функций /е такую, что в метрике пространства О .

Рассмотрим интегральные операторы:

УДК 517.51+518

Е В. ШИШКОВА

где а - положительный параметр.

Через Т1 обозначим оператор, ядро которого есть производная по х от ядра оператора Та, то есть

z+a

r°/ = è / («-*)/(*)<«■

х—a

Известно [1], что если /(®) е С>, 6], то ||Tafs - f\\c. —? О и ЦТ,»/, - /'||Cf О, где Сс[а,, й] = С\а 4- е, Ь - е], е > а.

Поставим задачу получения оценок погрешностей приближенного решения задачи восстановления на классе функций

М|[а,6] = {/(«) е ^22[а,6] : < 1},

где W^fa.Èj - одномерное пространство Соболева с нормой:

\4

/[(/(«))' + (/"(«))"!* ) • Рассмотрим величины:

Д(б,Та,Л/22) = 8ир{||Га/, - f\\c. : f е Ml II/, - /||tj < 5},

Д(SX, Mi) = sup{||Tlh - /'Ile. : / e Mi, Il/, - /||i3 ^ 5},

характеризующие погрешности приближений к функции и ее производной при приближенном задании функции /(х). Кроме того, рассмотрим величины:

MT„, Mi) = sup{||TQ/ - f\\c, : f 6 M22},

Д^Г», M2) = sup{||T'J - f'Wc. : / e M2},

характеризующие скорости аппроксимаций функции и ее производной с помощью операторов Та и соответственно.

Г.В. Хромовой в [2| предложен метод получения точных по порядку оценок погрешностей приближенных решений уравнений первого рода. По этому методу нужно найти асимптотические представления для величин Д! и Д'1' вида

Д 1(Та,М^) = Ч>1(а) + ф1(а),

где ipi(а) = o(y>i(or)), 4>[l)(a) = o(vil)(a)) при a О, и аналогичные представления для норм:

где (се) = о(р2(а)), ^{а) = o^'i®)) ПРИ а

Затем следует подставить эти представления в двусторонние оценки:

i(6||Ta||t^c.+A1(TQ1M|)) sj Д(б,Т„,М22) «С ади^с. + МГоХ), (1)

+ л[1\та,МЬ) < A(i,Ti,M|) < ¿ГЖ-с. + Д^^.М!), (10

после чего надо найти согласования параметра регуляризации а с погрешностью исходных данных <5 из условий:

+ —> inf, (2)

а

rf'W + ^Wi-^inf. (20

а

Найденные выражения а = а(<5) необходимо подставить в (1) и (Г), результатом чего будут точные по порядку <5 оценки погрешностей задачи восстановления, имеющие тот же порядок, что и величины inf A(S, Та, М\) и inf A(S,T^, Л/|) [3].

а а

Конкретизируем указанный метод для нашего случая. Имеет место Теорема. Справедливы следующие двусторонние оценки:

i(C,if + V05)) s; А(6,та, М|)) < CiS* + m,

где

a(5) = 4 S' для оператора Ta, a(5) = (iffi) * is для оператора Tal,

/З /336\~® 1 ДГ/336\' v5 \"55~/ +2\2Ь2[-5Ь) '

/3 /1260 V® 1 /33 /1260Л ® гйе т/>(<5) = O(Ji), V(1)(<5) = 0(<5<)

при достаточно малых S. Доказательство В [4] получены асимптотические по а при се —> 0 представления:

(3)

(3')

(4)

Для норм операторов Та и 'l'r\ известно [1], что

Отсюда по формулам (2) и (2') находим согласования « с <5, указанные в (4). На основании (1) и (1')получаем утверждение теоремы.

Известно [5], что метод регуляризации А.Н. Тихонова на классах, задаваемых в виде М — BSr, где В - вполне непрерывный оператор, Sr - шар с радиусом R в некотором гильбертовом пространстве, является оптимальным по порядку. Поскольку класс функций М2[а, Ь] указанного вида, где В - оператор вложения из Ж|[а, 6] в

[а, 6], a R = 1, то это утверждение справедливо и в нашем случае.

Сравнивая оценки, полученные в задаче восстановления функции и ее производной методом Тихонова [2], с оценками (3) и (3') получаем

Следствие из теоремы. Оценки (3) и (3) являются оптимальными по порядку.

Библиографический список

1. Хромова Г. В. О дифференцировании функций, заданных с погрешностью // Дифференциальные уравнения и вычислительная математика: Межвуз. науч. сб. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1984. Вып. 6

2. Хромова Г.В. Оценки погрешности приближенных решений уравнений первого рода в равномерной метрике: Дис. на соиск. уч. ст. д-ра физ.-мат. наук. Екатеринбург, 1998.

3. Хромова Г.В., Молоденкова И.Д. Методы приближенного решения задачи восстановления функций: Учеб. пособие. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2003. 4.2.

4. Хромова Г.В., Шишкова Е.В. О точном порядке скорости сходимости приближений функции вместе с ее производной // Обратные и некорректно поставленные задачи: Тез. докл. на VIII конф. Москва 13-18 октября 2003г. М., 2003.

5. Иванов В.К., Васин В В., Танана В.П. Теория нелинейных некорректных задач и ее приложения. М.: Наука, 1978.