О сходимости спектральных разложений одной трехточечной краевой задачи Текст научной статьи по специальности «Математика»

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Хромова Г. В. О модулях непрерывности неограниченных операторов и оптимальности методов приближенного решения уравнений первого рода // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2005. Вып. 7. С. 132 - 134.

2. Советникова С. Ю. О точной по порядку оценке погрешности приближенного решения одного интегрального уравнения первого рода // Математика. Механика: Сб науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2006. Вып. 8. С. 124- 127.

3. Иванов В. К., Васин В. В., Танана В. П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. М.: Наука, 1978. 206 с

УДК 517.984

Д. Г, Шал ты ко

О СХОДИМОСТИ СПЕКТРАЛЬНЫХ РАЗЛОЖЕНИЙ ОДНОЙ ТРЕХТОЧЕЧНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ*

Рассмотрим на отрезке [о,1] краевую задачу, порожденную простейшим дифференциальным уравнением

1\у] = уМ-ку = 0, (1)

и трехточечными распадающимися краевыми условиями

Я0)=... = /*Ч)(0)=0, (2)

у(а) = 0, (0 < а < 1) (3)

Я1) = ... = /^1)(1)=0, (4)

где п -2к + 1, к = 2и, X - спектральный параметр.

Краевые условия (2) - (4) являются нерегулярными, т.е. функция Грина данной задачи имеет экспоненциальный рост при больших . Это представляет собой существенную трудность при исследовании вопроса о сходимости разложений по собственным и присоединенным функциям данной краевой задачи. Заметим, что задача о сходимости спектральных разложений в случае а = 0 (и для более общих дифференциальных операторов с произвольными распадающимися краевыми условиями) получила окончательное решение в работе А. П. Хромова [1]. Исследованием же задач вида (1) - (4) и даже более общими многоточечными краевыми задачами занимался Г. Фрайлинг [2]. Им были получены достаточные условия разложимости функций в ряды по собственным и присоединенным функциям таких задач. К сожалению, эти условия налагают серьезные требования на аналитичность разлагаемых функций и далеки от необходимых условий. В настоящей статье приводятся достаточные условия для сходимости спектральных разложений, усиливающее результат Фрайлинга для случая задачи (1) - (4).

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 06-01-00003).

151

Обозначим корни из "-1" п-й степени через се>у=ехр^——-л/], ]' = 1Далее, пусть С(х,/Д) является функцией Грина задачи (1) - (4),

и р" =-\, р е S = < arg р е

я 71 п' п

Справедливы следующие утверждения.

ТЕОРЕМА 1. Краевая задача (1) - (4) имеет бесконечное множество собственных значений, которые можно разложить в две серии:

pJJ + O

/

р 8+о

2

рй-

. 2и +1 '

asm---------л

п

(2j + l>t

2(l - a)sin 7с п

j = 1,2,...,

о.

j = 0,1,2,...

При этом все собственные значения, достаточно большие по модулю, простые.

Через фу|(х) и Фу2(х) обозначим собственные функции, соответствующие этим собственным значениям, а (уу1(х)} и {у / - биортого-нальные к ним системы функций. Обозначим через Sb область, получаю-

щуюся из 5 удалением всех р . т = т (т = 1,2) вместе с круговыми окрестностями одного и того же достаточно малого радиуса 5 > 0.

ТЕОРЕМА 2. Предположим, что ряд (•*)+ Х^/Фу.гМ схо"

дится равномерно на некотором [х0,х,]с (0,l) к f(x), причем его части и ^bj<pj2(x) сходятся к /,(х) и /2 (х) соответственно. Тогда /,(х) аналитична на [0,Х[), для нее выполняются краевые условия (2) и (3) (если a е (x0,xi)) и /,(х) _L {v|/7j2} на [ОД] и /г(*) аналитична на (x0,l], для нее выполняются краевые условия (4) и (3) (если ае(х0,х,)) и /2(х)1{фд|}на[0,1].

Сформулируем теперь достаточное условие сходимости.

ТЕОРЕМА 3. Пусть f(x)eL2[0,1] и Дх) = /,(х) + /2(х), причем /,(х) удовлетворяет следующим условиям:

A) f{ аналитична на

М ( a < b);

Б) /i> /[/,], 1Ш ■■■ УД°влетвоРяют краевым условиям (2) и (3);

B) /)(х) ортогональна {\|/у2(х)|;

Г) —

\"Ч + Р

1 + е

(ь -е-х)соз — л п }

(пд + р)\

х е

[О ,Ь-1

(0<Е <ь).

Далее, предположим, что /^(х) удовлетворяет условиям: Д) /2 аналитичнана [а,1] (а<а);

Е) /2, /[/2 ], /2 [/2 ], ... удовлетворяют краевым условиям (3) и (4); Ж) /2(х) ортогональна |(.г)|,

3) для /2(*) выполняется условие Г) (с заменой х на 1-х) Тогда /(х) разлагается на (а,Ь) в равномерно сходящийся ряд Фурье по собственным и присоединенным функциям (1) - (4).

Приведем ряд наиболее важных лемм, используемых для доказательства теоремы 3.

ЛЕММА 1. В области 55 справедливы оценки:

л-1

р(-Д|р|('-*))

р(-Д|р|(х-/))

, а < х < С, ,1<х<а,

где А > 0.

ЛЕММА 2. В области справедливы оценки:

С(х,гД) =

О

О

;гтехР

кп.

V п кл,

'г - х) , X < г;

ехр соя—|р|(х-г)

V п

,[ <х.

ЛЕММА 3. Пусть х е [(),£-е] и для функции /¡(х) выполняются условия А), Б), В), Г). Тогда

А -£/(/,) = о(1) при /-»оо,

где £/(/,) представляет собой частичную сумму ряда Фурье функции ]\ по всем собственным значениям, попавшим в круг

ЛЕММА 4. Пусть х е[а + £,1] и для функции /2(х) выполняются условия Д), Е), Ж), 3) Тогда

/2 -^(/2) = ПРИ '-><», где 5Д/2) представляет собой частичную сумму ряда Фурье функции /2

по всем собственным значениям, попавшим в круг {| Х| </ }.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Хромов А. П. Дифференциальный оператор с нерегулярными распадающимися краевыми условиями // Мат. заметки. 1976. Т. 19, № 5. С. 763 - 772.

2. Freiling G. Irreguläre Mehrpunkt-Eigenwertprobleme mit zerfallenden Randbedingungen: Habilitationsschrift dem Fachbereich 11 - Mathematik. Duisburg, 1979. 90 s.

УДК 517.51

А. В. Шаталина

АППРОКСИМАТИВНЫЕ СВОЙСТВА ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫХ ПРОЦЕССОВ В ЕДИНИЧНОМ КРУГЕ*

Пусть АС - множество аналитических в единичном круге \z\ < 1 и непрерывных в его замыкании функций с равномерной нормой

¡1/11= sup|/(z)|

zeD

и обычным модулем непрерывности со(/, 5); М — \zk nj - треугольная матрица узлов интерполирования, М е {|z| = 1 }, А: = 0,1,...., и-I, п = 1,2,....

Напомним, М называется правильной матрицей, если узлы каждой ее п -й строки являются вершинами правильного п -угольника, вписанного в единичный круг.

Пусть {Нпk{M,f,z)}, ¿ = 1,2,3,4, я = 1,2,.... -последовательность

интерполяционных полиномов, интерполирующих функцию / в узлах zk п. При к = 1 — это многочлены Лагранжа степени п; при к = 2 — это многочлены Эрмита - Фейера степени пр -1, р > 2; при к = 3, 4 - это многочлены соответственно третьего и усредненного процессов Бернштейна степени п.

Обозначим через Q множество функций co(ö) типа модуля непрерывности, то есть непрерывных, полуаддитивных, неубывающих на полуоси [0;оо) функций таких, что о(0) = 0. Каждую функцию 0)(§)eQ назовем мажорантой.

Введем классы, заданные мажорантой:

АС (а), ше£1,- функции / из АС, у которых co(/,S) = 0(ш(5)).

АС*(и),соеQ,-функции/ из ЛС,укоторых со(/,6) = о(га(5)).

При исследовании сходимости интерполяционных процессов {Hnk(M, f,z)} в действительном случае было обнаружено, что они обладают абсолютно разными аппроксимативными свойствами [1]. Что изменится в комплексном случае?

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 04-01-00060).

154