Аппроксимативные свойства интерполяционных процессов в единичном круге Текст научной статьи по специальности «Математика»

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Хромов А. П. Дифференциальный оператор с нерегулярными распадающимися краевыми условиями // Мат. заметки. 1976. Т. 19, № 5. С. 763 - 772.

2. Freiling G. Irreguläre Mehrpunkt-Eigenwertprobleme mit zerfallenden Randbedingungen: Habilitationsschrift dem Fachbereich 11 - Mathematik. Duisburg, 1979. 90 s.

УДК 517.51

А. В. Шаталина

АППРОКСИМАТИВНЫЕ СВОЙСТВА ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫХ ПРОЦЕССОВ В ЕДИНИЧНОМ КРУГЕ*

Пусть АС - множество аналитических в единичном круге \z\ < 1 и непрерывных в его замыкании функций с равномерной нормой

¡1/11= sup|/(z)|

zeD

и обычным модулем непрерывности со(/, 5); М — \zk nj - треугольная матрица узлов интерполирования, М е {|z| = 1 }, А: = 0,1,...., и-I, п = 1,2,....

Напомним, М называется правильной матрицей, если узлы каждой ее п -й строки являются вершинами правильного п -угольника, вписанного в единичный круг.

Пусть {Нпk{M,f,z)}, ¿ = 1,2,3,4, я = 1,2,.... -последовательность

интерполяционных полиномов, интерполирующих функцию / в узлах zk п. При к = 1 — это многочлены Лагранжа степени п; при к = 2 — это многочлены Эрмита - Фейера степени пр -1, р > 2; при к = 3, 4 - это многочлены соответственно третьего и усредненного процессов Бернштейна степени п.

Обозначим через Q множество функций co(ö) типа модуля непрерывности, то есть непрерывных, полуаддитивных, неубывающих на полуоси [0;оо) функций таких, что о(0) = 0. Каждую функцию 0)(§)eQ назовем мажорантой.

Введем классы, заданные мажорантой:

АС (а), шеП,- функции / из АС, у которых co(/,S) = 0(ш(5)).

АС*(и),соеQ,-функции/ из ЛС,укоторых со(/,6) = о(га(5)).

При исследовании сходимости интерполяционных процессов {Hnk(M,f,z)} в действительном случае было обнаружено, что они обладают абсолютно разными аппроксимативными свойствами [1]. Что изменится в комплексном случае?

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 04-01-00060).

154

В качестве М сначала рассмотрим конкретную матрицу узлов интерполирования, составленную из корней п -й степени из (-1). ТЕОРЕМА 1. Пусть для ш е О выполнено условие

Итсо[ — Ппи > 0, (1)

Я->=0 \п)

Тогда существуют функции / е АС( со), для которых процессы {Нп к(М,/,г)}, к = 1,2, 3,4, расходятся всюду на единичной окружности. Если выполнено условие

Птсо [— ]1пи = ао, (2)

п-юо \п)

то существуют функции / е АС (со), для которых процессы {#„ к (М,/,г)}, к = 1, 2, 3, 4, неограниченно расходятся всюду на единичной окружности.

Для произвольных правильных матриц с некоторым ограничением на распределение узлов найдена метрическая характеристика множества точек расходимости рассматриваемых процессов.

Определение. Говорят, что матрица узлов интерполирования М удовлетворяет условию (Вт), пишут М <=(Вт), если для любого е, О < е < 1, существуют числа д=д{г), т, для которых можно указать последовательность номеров {»¡} такую, что для любого натурального ц существует натуральное V, для которых

V 1

Е-Х— >2л; п%,<пя

и все узлы гкп., гк , ц < I * у < V, расстояние между которыми меньше п^4, принадлежат множеству Вт, содержащему не более т дуг окружности | г | = 1, длиной меньше 2и~2<? каждая.

Примером таких матриц могут служить матрицы корней п -й степени из любого комплексного числа.

ТЕОРЕМА 2. Пусть М е (Вт) - правильная матрица и выполнено условие (1). Тогда существуют функции / е

АС( со), для которых процессы {Н„ к(М,/,г)}, ¿ = 1,2,3,4, расходятся почти всюду на единичной окружности, то есть

«—> ао'

причем Нш \/(г)-Нп к(М,/,г)\ - О.

Я—>ао

Если выполнено условие (2), то существуют функции / е АС*(а)), для которых процессы {Нп к(М,/,г)}, к = \, 2, 3, 4, неограниченно расходятся почти всюду на единичной окружности, то есть

причем \im fiz)-Нпк(М,/,г] = 0.

п > (X

Сформулированные выше результаты первоначально были получены для интерполяционного процесса Лагранжа [2]. Доказательство можно условно разбить на следующие этапы:

- при каждом натуральном п для точек единичной окружности с «вырезанными» узлами найдена оценка снизу функции Лебега

НпА{М,2)<Сх\пп, (3)

где константа С1 зависит только от того, какую часть единичной окружности «вырезали»;

- строится вспомогательное, используемое в дальнейшем множество Ец ,

каждой точке которого соответствует своя функция Лебега, а точнее номер п = пр, для которого справедливо (3) (всего выбирается некоторая пачка

номеров ц < р < у). Отметим, что ки состоит из конечного числа непересекающихся дуг единичной окружности, которые полностью ее покрывают за исключением множества меры, меньшей е (0<е<л), причем каждой дуге соответствует номер пр такой, что дуга заключена между двумя соседними узлами гкп^ и гк+]„р и выполняется оценка (3) для всех точек этой дуги;

- свойство круга о том, что ащ1к п(М,г) (1кп\М,г) - фундаментальные

многочлены Лагранжа) остается постоянным для всех г, лежащих между соседними узлами, дает возможность определить такие числа и^ , что

|ХДДМ,*) =ЯЛ|1(М,г)= £ \hjM.z)|.

4=0 4=0

Таким образом, если рассмотреть вспомогательную функцию, совпадающую с м>к п в узлах гк п, то оценка (3) будет справедлива уже для соответствующего полинома Лагранжа.

Построенные вспомогательные множества кц и функция , связаны

с соответствующей пачкой строк в матрице узлов интерполирования. Идея разбиения последовательности натуральных чисел на счетное число непересекающихся последователей позволила объединить пачки и найти итоговую функцию в виде двойного ряда и множество, которые удовлетворяют утверждениям теоремы 2. При доказательстве теоремы 1, именно специальный вид матрицы М = \гк п} позволил при построении множества

точек расходимости «перекрыть пропуски» и построить функцию, для которой процесс Лагранжа расходится всюду.

Метод, разработанный в [2], построения функций из класса АС( со)

или АС*(а), для которых процесс Лагранжа расходится почти всюду (либо всюду) на единичной окружности применим для исследования других интерполяционных процессов. Установлено, что многочлены Эрмита - Фей-ера и многочлены третьего и усредненного процессов Бернштейна можно представить как сумму интерполяционного многочлена, аналогичного многочлену Лагранжа, и некоторого «добавочного» слагаемого. Полученные удобные для дальнейших рассуждений оценки этого слагаемого, позволили использовать уже известные факты для построения функций с нужными свойствами.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Лозинский С. М Об интерполяционном процессе Ре]ег'а // ДАН СССР. 1939. Т. 24. С. 318-321.

2. Шаталина А. В. Расходимость интерполяционных процессов Лагранжа на единичной окружности. Саратов, 1990. 30 с. Деп. в ВИНИТИ 19.07.90, №4060 - В90.

УДК 517.5

В. И. Шевцов

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ УТОЧНЕННЫХ ПОРЯДКОВ ОБОБЩЕННЫМИ РЯДАМИ ЭКСПОНЕНТ

Рассматриваются ряды вида

|]АкДХкг), (1)

*=1

®

где /(г) = ~ Целые порядка р, 0 < р < да и типа а,

к=о

1'т кр%Лак \ =(стер)р (2)

к—>оо

Представления функций такими рядами изучались многими математиками. Фундаментальные исследования по теории представления функций рядами (1) проведены А.Ф.Леонтьевым [1, 2] и его учениками.

30

Пусть ¿¡(л) = V с^)-} - целая функция уточненного порядка р((г),

к= О

Ишр1(г) = р1 (р,>р) и типа Ь2{Х) = ~ целая функция уточ-

Г->=о - к=0