Интерполяционные процессы в односвязной области Текст научной статьи по специальности «Математика»

Лемма 6. Система с.п.ф. оператора А является полной в Ь2[0,1]. Теорема 2. Система с.п.ф. оператора А образует базис Рисса в Ь2[0,1]. Утверждение теоремы 2 следует из лемм 5 и 6 по теореме Банаха -Штейнгауза.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 03-857034).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Хромов А.П. Интегральные операторы с ядрами, разрывными на ломаных линиях // Мат. сб. 2006. Т. 197, №11. С. 115-142.

УДК 517.51

А.В. Шаталина

ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ В ОДНОСВЯЗНОЙ ОБЛАСТИ

Пусть D - ограниченная односвязная область с гладкой границей Г. AC -множество аналитических в D и непрерывных в D функций с равномерной нормой и обычным модулем непрерывности и (f, 6).

Функция z = ^(w) однолистно и конформно отображает внешность единичного круга |W | > 1 на дополнение области D до расширенной плоскости так, что бесконечно удаленные точки переходят друг в друга, причем ^'(то) > 0. M = {zk,n} - матрица узлов интерполирования, M £ Г, k = 0,1,...,n - 1; n = 1, 2,...

Определение. Матрица будет называться правильной, если узлы zk,n любой n-й строки при отображении = (zk,n) переходят в вершины правильного n-угольника, вписанного в единичный круг.

Назовем функцию и(6) мажорантой модуля непрерывности, если и(6) -непреывная, полуаддитивная и неубывающая на [0, то), причем и(0) = 0. Множество таких функций обозначим через Для каждой фиксированной и(6) £ Q построим классы функций:

AC(и) = {f (z); f (z) £ AC,u(f, 6) = O{u(6)}} ;

AC*(и) = {f (z); f (z) £ AC, ^f, 6) = о{и(6)}} .

Пусть {Ln(M, f, z)} - последовательность интерполяционных многочленов Лагранжа, интерполирующих функцию f (z) в узлах zk,n.

При изучении аппроксимативных свойств процесса Лагранжа в случае единичного круга для функций из классов, заданных мажорантой модулей непрерывности, ранее были найдены необходимые и достаточные условия равномерной сходимости последовательностей полиномов к функции в

замкнутом круге [1, 2]. Можно ли перенести полученные результаты на произвольные области, не забывая, что при этом придется учитывать их «вид»?

В качестве О рассматриваются области, границы которых удовлетворяют некоторому условию гладкости.

Определение 1. О удовлетворяет условию Келлога - Альпера, О £ Е (К-А), если угол в (в), образованный касательной к границе Г с вещественной осью, как функция длины дуги Б на Г имеет модуль непрерывности и (в, Н), удовлетворяющий условию

[с ш(в,Н).. ....

|1п Н| ё,Н < то.

.10 Н

Для правильных матриц с ограничением на распределение узлов найдена метрическая характеристика множества точек расходимости {Ln(M,f,z)}.

Определение 2. Матрица M удовлетворяет условию (Bm), M Е (Bm), если для любого е, 0 < £ < 1 существуют числа q = q(e), для которых можно указать последовательность номеров nj такую, что для любого натурального ß существует натуральное v, для которых

V

e^2nj > nv <

i=^

и все узлы zk,nj ,zs,ni, ß < i = j < v, расстояние между образами которых Wknj = ^_1(zknn.), Wsni = ^_1(zann.) меньше n_2q, принадлежат множеству Bm, содержащему не более m дуг границы Г, длина каждой из которых меньше 2n_2q.

Примерами таких матриц могут служить образы корней n-й степени из любого комплексного числа.

Теорема 1.Пусть M Е D - правильная матрица узлов интерполирования и область D Е (K _ A). Если для и Е Q выполняется условие

lim и | — 1 • lnn = 0,

п^ж [ n J

то для любой функции f Е AC(u,D) последовательность {Ln(M,f,z)} равномерно сходится к f (z) в D.

Если же для и Е Q выполняется условие

lim и I —1 • lnn < ж,

п^ж [ n J

то для любой функции f Е AC*(u,D) последовательность {Ln(M,f,z)} равномерно сходится к f (z) в D.

Теорема 2. Пусть М £ Г - правильная матрица, М £ (Вт). Область Б £ (К — А). Если для и(£) £ ^ выполняется

1

lim и — ln n > 0,

п^то ^n J

тогда существует f (z) £ AC(и) такая, что интерполяционный процесс Лагранжа для этой функции расходится почти всюду на Г. Если для и(6) £ Q выполняется

1

lim и — ln n = то,

п^то yn J

тогда существует f (z) £ AC*(и) такая, что процесс Лагранжа для этой функции неограниченно расходится почти всюду на Г.

Как уже отмечалось, сформулированные выше результаты были ранее получены для круга [2]. В основе доказательства лежат следующие идеи: строится некоторое вспомогательное множество состоящее из конечного числа непересекающихся дуг единичной окружности, которые набираются по определенному правилу и длина которых не должна быть меньше некоторого числа. Это множество покрывает единичную окружность за исключением «вырезанных» участков. На нем находятся оценки для функций Лебега, зависящие от того, какую часть окружности «вырезали». За конечное число шагов, равное числу набранных дуг, строится вспомогательная функция f такая, что процесс Лагранжа для нее расходится на данном множестве, при этом используются полученные оценки функций Лебега.

Следует отметить, что и f связаны с определенной пачкой строк матрицы M. Именно расположение узлов на единичной окружности по отношению друг к другу в этой пачке позволило получить нужный результат.

Таким образом, для того чтобы перейти с круга на область с сохранением всех необходимых свойств у множества и функции fM, требуется некоторая «пропорциональность», т.е. отношение расстояний между точками на окружности и их образами на Г должны быть ограничены и сверху и снизу. Именно этим свойством обладают области Келлога - Альпера.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант 07-0100167).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Смирнов В. И., Лебедев Н. А. Конструктивная теория функций комплексного переменного. М.: Наука, 1964.

2. Шаталина А. В. Расходимость интерполяционных процессов Лагранжа на единичной окружности. Саратов, 1990. 30 с. Деп. в ВИНИТИ 19.07.90, № 4060-В90.