О сходимости процессов Лагранжа в областях Келлога-Альпера Текст научной статьи по специальности «Математика»

Библиографический список

1. Кожегельдинов С. Ш. Ал-хусайново уравнение х4 + у2 = г2 // Мат. заметки, 2011. Т. 89, вып. 3. С. 365—377.

2. Поляков В. Н. О некоторых диофантовых уравнениях // Чебышевский сборник : тр. VIII междунар. конф. «Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения». Тула : Изд-во Тульск. гос. пед. ун-та, 2011. Т. 12, вып. 2.

3. Диксон Л. Е. Введение в теорию чисел. Тбилиси : Изд-во АН ГрузССР, 1941.

УДК 517.51

А. В. ШАТАЛИНА, Л. В. БОРИСОВА

О сходимости процессов Лагранжа в областях Келлога—Альпера

Пусть О — ограниченная односвязная область с гладкой границей Г. АС — множество аналитических в О и непрерывных в О функций с равномерной нормой и обычным модулем непрерывности ш(/, 5).

Функция г = р('ш) однолистно и конформно отображает внешность единичного круга |W | > 1 на дополнение области О до расширенной плоскости так, что бесконечно удаленные точки переходят друг в друга, причем > 0. М = {гк,п} - матрица узлов интерполирования,

М е Г,к = 0,1,... ,п - 1; п = 1, 2,...

Определение. Матрица будет называться правильной, если узлы гк,п любой п-й строки при отображении Wk,n = ^-1(гк,п) переходят в вершины правильного п-угольника, вписанного в единичный круг.

Назовем функцию ш(5) мажорантой модуля непрерывности, если ш(5)- непреывная, полуаддитивная и неубывающая на [0, то), причем ш(0) = 0. Множество таких функций обозначим через Для каждой

фиксированной ш(6) £ Q построим классы функций:

ЛС(ш) = {/(г); /(г) е ЛС, ш(/, 6) = 0{ш(6)}} , ЛС» = {/(г); /(г) е ЛС, ш(/, 6) = о{ш(6)}} .

Пусть {Ьп(Ы, /, г)} — последовательность интерполяционных многочленов Лагранжа интерполирующих функцию /(г) в узлах гк,п.

При изучении аппроксимативных свойств процесса Лагранжа в случае единичного круга для функций из классов, заданных мажорантой модулей непрерывности, ранее были найдены необходимые и достаточные условия равномерной сходимости последовательностей полиномов к функции в замкнутом круге. Можно ли перенести полученные результаты на произвольные области, не забывая, что при этом придется учитывать их „вид"?

В качестве Э рассматриваются области, граница которых удовлетворяет некоторому условию гладкости.

Определение. Б удовлетворяет условию Келлога—Альпера, Б е (К— —Л), если угол 0(в), образованный касательной к границе Г с вещественной осью, как функция длины дуги Б на Г, имеет модуль непрерывности ш(в,Н), удовлетворяющий условию:

[с ш(в,Н)и

—- |1п ё,Н < то.

Л Щ

Для правильных матриц с ограничением на распределение узлов найдена метрическая характеристика множества точек расходимости {¿п(М,/,*)}.

Определение. Матрица М удовлетворяет условию (Вт), М е (Вт), если для любого е, 0 < £ < 1 существуют числа д = д(е), для которых можно указать последовательность номеров п такую, что для любого

натурального ß существует натуральное v, для которых

v

e^^Uj > 2п, nv <

i=^

и все узлы zk,nj ,zs,ni, ß < i = j < v, расстояние между образами которых Wk,nj = ^-i(zk,nj), Ws,ni = ^-i(zS)ni) меньше n-2q, принадлежат множеству Bm, содержащему не более m дуг границы Г, длина каждой из которых меньше 2n-2q.

Примерами таких матриц могут служить образы корней n-й степени из любого комплексного числа.

Теорема 1. Пусть M £ D — правильная матрица узлов интерполирования и область D £ (K — A). Если для ш £ Q выполняется

lim ш | — 1 • lnn = 0,

п^то [ n J

тогда для любой функции f £ AC(w,D) последовательность интерполяционных полиномов Лагранжа {Ln(M, f, z)} равномерно сходится к f (z) в D.

Если же для ш £ Q выполняется

lim ш I —1 • lnn < то,

п^то [ n J

то для любой функции f £ AC *(^,D) последовательность {Ln(M, f, z)} равномерно сходится к f (z) в D.

Теорема 2. Пусть M £ Г — правильная матрица, M £ (Bm). Область D £ (K — A). Если для ш(6) £ Q выполняется

1

lim ш — ln n > 0,

п^то yn J

тогда существует f (z) £ AC(ш) такая, что интерполяционный процесс Лагранжа для этой функции расходится почти всюду на Г. Если для ш(6) £ Q выполняется

1

lim ш — lnn = то,

п уто \n

тогда существует f (z) £ AC*(ш) такая, что процесс Лагранжа для этой функции неограниченно расходится почти всюду на Г.

Теорема 3. Пусть M £ Г — матрица, составленная из образов корней n-й степени из —1. Область D £ (K — A). Если для ш(6) £ ^ выполняется

1

lim ш — ln n > 0,

n^TO ^n у

тогда существует f (z) £ AC(ш) такая, что интерполяционный процесс Лагранжа для этой функции расходится всюду на Г. Если для ш (£) £ Q выполняется

1

lim ш — ln n = оо,

п^ТО ^n у

тогда существует f (z) £ AC*(ш) такая, что процесс Лагранжа для этой функции неограниченно расходится всюду на Г.

Как уже отмечалось, сформулированные выше результаты были ранее получены для круга.

Свойства областей, удовлетворяющих условию Келлога-Альпера, позволили перенести различные оценки и разработанную схему построения функции и множества с круга на область.

Доказательство можно условно разбить на следующие этапы:

- при каждом натуральном n для точек единичной окружности с "вырезанными" узлами найдена оценка снизу функции Лебега

n—1

^ |4,n(M,z)| > Ci lnn, (1)

k=0

где константа C1 зависит только от того, какую часть единичной окружности "вырезали"и 4,n(M, z) — фундаментальные многочлены Лагранжа;

- с использованием этой оценки строится вспомогательное, используемое в дальнейшем множество каждой точке которого соответствует

своя функция Лебега, а точнее, номер n = np из некоторой пачки номеров д < p < v, для которого справедливо (1). Отметим, что состоит из конечного числа непересекающихся дуг единичной окружности, которые полностью ее покрывают за исключением множества меры меньшей £ (0 < £ < п), причем каждой дуге соответствует номер np такой, что дуга заключена между двумя соседними узлами и Zk+i,np и выполняется (1) для всех точек этой дуги;

- доказывается свойство круга о том, что arg/k,n(M, z),k = 1,n — 1, остаются постоянными для всех z, лежащих между соседними узлами

Zi;n и при любом фиксированном 2,2 = 0,п — 1, это дает возмож-

ность определить такие числа что

n

k=0 k=0

l ^ Wk,n/k,n(M,z)| = ^ |1k,n(M,z)|.

Таким образом, оценка (1) будет справедлива уже для соответствующего полинома Лагранжа во всех точках г, принадлежащих фиксированной ранее дуге окружности, заключенной между и

- взяв на каждой дуге, входящей во множество произвольную точку г, определяем числа , к = 0, пр — 1, д < р < V, и строим вспомогательную функцию совпадающую с в узлах , пр и обладающую рядом дополнительных, необходимых в дальнейшем свойств;

- построенные вспомогательные множество и функция , связаны с соответствующей пачкой строк в матрице узлов интерполирования. Идея разбиения последовательности натуральных чисел на счетное число непересекающихся последователей, позволила объединить пачки и найти итоговую функцию в виде двойного ряда и множество, которые удовлетворяют утверждениям теоремы 2, но в качестве области О пока выбирается круг;

- выбирая конкретную матрицу корней п-й степени из "—1", показываем что расположение узлов на единичной окружности по отношению

друг к другу позволяет так объединить строки матрицы узлов интерполирования в пачки, что никаких "пропусков" при построении множества точек расходимости не будет. Таким образом добиваемся расходимости всюду на окружности процесса Лагранжа;

- для того чтобы перейти с круга на область (с сохранением всех необходимых свойств у множества и функции /м), требуется некоторая " пропорциональность" , то есть отношение расстояний между точками на окружности и их образами на Г должны быть ограничены и сверху и снизу. Именно таким свойством обладают области Келлога—Альпера. Воспользовавшись этими оценками, переносим ранее полученные результаты с круга на область и окончательно получаем утверждения теорем 1—3.

Библиографический список

1. Смирнов В. И., Лебедев Н. А. Конструктивная теория функций комлексного переменного. М. : Наука, 1964.

2. Шаталина А. В. Расходимость интерполяционных процессов Лагранжа на единичной окружности. Деп. в ВИНИТИ 19.07.1990, № 4060-В90.

УДК 516.9

В. Р. ШЕБАЛДИН

О необходимых условиях экстремума для одной задачи оптимального управления на бесконечном интервале времени

Рассмотрим следующую задачу оптимального управления: с нелинейными дифференциальными связями на бесконечном интервале времени

Х(£) = /(х(£),и(£)), х(£0) = х0, £ е [и, то), (1)