О необходимых условиях экстремума для одной задачи оптимального управления на бесконечном интервале времени Текст научной статьи по специальности «Математика»

друг к другу позволяет так объединить строки матрицы узлов интерполирования в пачки, что никаких "пропусков" при построении множества точек расходимости не будет. Таким образом добиваемся расходимости всюду на окружности процесса Лагранжа;

- для того чтобы перейти с круга на область (с сохранением всех необходимых свойств у множества и функции /м), требуется некоторая "пропорциональность", то есть отношение расстояний между точками на окружности и их образами на Г должны быть ограничены и сверху и снизу. Именно таким свойством обладают области Келлога—Альпера. Воспользовавшись этими оценками, переносим ранее полученные результаты с круга на область и окончательно получаем утверждения теорем 1—3.

Библиографический список

1. Смирнов В. И., Лебедев Н. А. Конструктивная теория функций комлексного переменного. М. : Наука, 1964.

2. Шаталина А. В. Расходимость интерполяционных процессов Лагранжа на единичной окружности. Деп. в ВИНИТИ 19.07.1990, № 4060-В90.

УДК 516.9

В. Р. ШЕБАЛДИН

О необходимых условиях экстремума для одной задачи оптимального управления на бесконечном интервале времени

Рассмотрим следующую задачу оптимального управления: с нелинейными дифференциальными связями на бесконечном интервале времени

ж(£) = ](ж(£),и(£)), ж(£0) = х0, I € [¿0, го), (1)

с ограничениями на управление

и(Ь) € и, для почти всех Ь € [Ь0, ж), (2)

с ограничениями на траекторию

х(13) < 0, з = 1,д; (3)

и с интегральным критерием качества

г Т

J(х,и) = ¡0(х,и,Ь)<И ^ шт, (4)

/-/- х,и,Т

где /(х,и) = (¡\(х,и),..., ¡п(х,и))т — заданная вектор-функция, при

чем /[(х,и), I = 1,п — скалярные, дифференцируемые функции своих аргументов; /0(х,и,Ь) — выпуклая, скалярная, дифференцируемая функция своих аргументов, и С Я1 — ограниченное выпуклое множе-

ство; х(Ь) € Яп, € [Ь0, <Х))з = 1,д — набор фиксированных точек.

Обозначим: (Х(Ь),и(Ь),Т) — оптимальное решение исходной задачи.

Функции и(Ь) будем считать допустимыми, если они являются измеримыми функциями и удовлетворяют ограничению (2). Множество допустимых управлений в задаче (1)—(3) будем обозначать символом V. В настоящей работе будут получены уравнения, определяющие необходимые условия экстремума в виде максиминной задачи.

Ранее в статьях [1—3] были получены уравнения необходимых условий экстремума в виде максиминной задачи для линейной задачи оптимального управления на конечном отрезке времени с терминальным критерием качества и доказана сходимость алгоритма, построенного на их основе. В настоящей работе, как и в статьях [1—3], необходимые условия экстремума будут получены с помощью теоремы Дубовицкого— Милютина (см.[4]). Для этой цели сведём исходную задачу на бесконечном интервале времени к задаче оптимального управления на конечном отрезке времени. Для полученной вспомогательной задачи необходимо

построить конуса допустимых вариаций и им сопряженные, соответствующие имеющимся ограничениям, а также конус запрещенных вариаций и его сопряженный для критерия качества в пространстве функций (x,u) Е Cn[0,1] х LTO[0,1]. Напомним, что согласно [4] конус запрещенных вариаций определяется следующим множеством:

Ко = {(x, u) | 3J > 0, £о > 0 Ve Е (0, £о] ||X|| < J, | |u|| < J,

J(X + e(x + X), u + e(u + u)) < J(X,u)}.

Конус допустимых вариаций для ограничений в виде неравенства типа ограничений (3) имеет вид:

Ко = {(x,u) | 3J > 0, £о > 0 Ve Е (0,£о] ||X|| < J, ||u|| < J

X(tj) + е(х(^-) + x(tj)) < 0, j = ITq},

а для ограничений в виде равенства, определённых дифференциальными уравнениями, было доказано (см.[4]), что конус допустимых вариаций состоит из пар функций (x(t),u(t)), удовлетворяющих равенству

X(t) = /x(X,u)x(t) + /u(X,u)u(t), x(tо) = 0.

Определим функционал

Fi(x) = max(xj(tj)).

В [1] было доказано, что пара функций (x(t),u(t)) принадлежит конусу Ki тогда и только тогда, когда имеет место неравенство

max xi(tj) < 0,

(i,j)EM j/

где

M = {i,j | max Xj(tj) = 0}, i = 1,n,j = 1,n.

Получим выражение для конуса, сопряженного для КГ1. Согласно [4] сопряженный конус образует множество линейных функционалов, положительных на исходном конусе. Поскольку исходный конус определяется

выражением F(x) < 0, то сопряженный конус состоит из функционалов вида —а^(х), см.[4], где а = const, а > 0, x) — функционал, опорный к F(x). Далее, если, как и в нашем случае, F(x) = max{fi(x),..., fm(x)}, fi — линейные функционалы, то опорный функционал к нему имеет вид

— У^ aifi(x), ai = const, ai > 0.

i=i

Следовательно, сопряженный конус для конуса K1 состоит из функционалов вида

J (x,ü) — ^ ^ ai,j xi,j1 ai,j — ai,j — 0 (i,j)eM (ij )eM

Приступим к доказательству необходимых условий экстремума для задачи (1)—(3).

Теорема. Пусть (X,ü,T) — оптимальное решение задачи(1)—(3), тогда существуют интегрируемые функции tj (t) £ Rn, (i,j) £ M, что имеют место следующие уравнения:

г?

max min / ф?,[f0(X,u,t) — f0(X,ü,t)]dt — 0,

ueV (i,j)gmи(0,0) Jt0 ,j

где

'tpij (t)i t £ [t0,tj L

A,3(t) =

0, t e (tj,T],

при (i,j) e M;

M = ii,jI xi(t3H0^ i = 1,n,j = 1,q;

A,3 (t) = —fX (x,U,t)ijhJ , (t3 ) = — 1,Äij (t3 ) = °

t e [t0,T], i = r, r,i = 1,n, j = 1,q, (i,j) e M t3 < T; ipo,o(t) = —fX(x, u, t)^0,0 + fo,x(X, u, t), фо,о(Т) = — 1

X(t) = f (x,u), x(t0) = x0.

Доказательство

Применим метод Дубовицкого—Милютина для вывода необходимых условий экстремума. Поскольку управляемая система определяется нелинейными дифференциальными связями и ограничения на управляющие функции не являются выпуклыми, то воспользуемся следующим способом преодоления этих трудностей, основные идеи которого изложены в [5]. По исходной задаче оптимального управления построим вспомогательную линейную задачу с выпуклыми ограничениями на управление. Обозначим символом д число точек tj таких, что tj < Т. Введем положительные функции по следующим правилам:

Г*(т), т е Д(и), Д(и) = и£=1 , Ак с [0,1]

) = < ,

[0, т С Д(^),

[ V = Т - ¿0,

Л

где V(t) — произвольная, ограниченная, измеримая, положительная функция, а Дк(V) = (4,вк] (см. [5, с. 160]).

Обозначим: ¿(т) = ¿0 + /0Т v(s)ds. Зафиксируем некоторую функцию с перечисленными выше свойствами. Тогда соответственно определим функцию

"Т

£*(т) = ¿о + / ^ 0

Обозначим

) = й(£*(т)).

Будем также рассматривать ограничения v(тj) < 0, где ^ являются решениями уравнения

^ = ¿0 + / ' ^Ж. 0

Определим: т(¿) = тт{£ е [0,1] | £(£) = ¿}. Таким образом, во вспомогательной задаче оптимального управления множество допусти-

мых управлений составят положительные, кусочно непрерывные, ограниченные функции v(т),т е [0,1] такие, что

¿0 + [ v(s)ds = ¿(т), / V= Т - ¿0. 00

Сформулируем вспомогательную задачу. Положим

[¿(¿*(т)), т е Д(^), <^*(т) = <

[м(т), т С Д(^),

где и(£) е и. Можно доказать (см. [5, с. 160—163]), что тогда пара функций (у* = уявляется оптимальной для следующей задачи оптимального управления:

у = /(у(т),^(т)Мт), у(0) = Х0, т е [0,1],

¿(т) = v(т), ¿(0) = 0, ¿(1) = Т - ¿0,

У(т,) < 0,j = ^ v(T) > 0,

Ji(y,v)= / ^(т)/о(у(т),^*(^(т)))^т —» min . Jo

Тогда согласно теореме 2.1 (см.[4, с. 400]) вид функционалов, принадлежащих сопряженным конусам, соответствует ограничениям данной задачи оптимального управления (см.[4], лемма 1), (см.[1], теорема 1), вследствие чего получим неравенство

у^ aij f )(v - v*)dT + д/ (v - v*)dT < 0,

где

y*(t) = y(t,v*), ai;j- > 0,ai;j- = const; д = const,

M = {(i, j) | y*i(Tj) = 0}, i = 1,n, j = 1, q;

y(t) = fx(y*,^,)y(T )v,(t ) + fv (y,,w,)v(T ),y(0) = 0,

г(т) = у(т), Ь(0) = 0, т € [0,1], V*(т) + г(у + V) > 0 при < 0, Уе € (0,ео], ■ф1,г(т) = (У*, ш*)'Фl,i, 'ф],,г(тз ) = -1, ААЪ ) = 0

т € (0,т3],фф) = 0 при т € (т3,Т]; 1,г = 1,п,з = 1,д,

Фо,о(т) = (у*,и*)Фо,о + v*fo,x(y*,и*), Фо,о(Т) = -1.

Тогда, как при доказательстве теоремы 1 из [1], можно получить

а3%f (у*,и*) < 0 для п.в.т € [0,1}/А(V*),

(1,з)еИ и(о,о) и при т € А^*) получим

^ а3 ФТ,3 f (у*,ш*) = 0.

(1,3 )€М и(о,о)

Согласно [5] при замене т = т(Ь), определения функции ш*(Ь) из последних двух выражений следует

[ т

^ / Ф1з (t)f (х,и)<Ь = 0,

^,3)еМи(о,о) 1о

а также

т

Е / а3Ш(х(Ь),и(Ь))<Ь < 0,

^,3)еМи(о,о)

где и € и,Ь € [Ьо,Т]. Откуда, как и в [1], можно получить необходимые условия экстремума в форме максиминной задачи.

Библиографический список

1. Шебалдин В. Р. Численное решение терминальной задачи оптимального управления с дискретными фазовыми ограничениями. Деп. в ВИНИТИ 1989, № 2999-В89ДЕП.

2. Шебалдин В. Р. Об одной задаче оптимального управления с ограничениями. Деп. в ВИНИТИ 1996, № 33074-В96.

3. Шебалдин В. Р. О минимизирующих последовательностях в задаче оптимального управления с дискретными фазовыми ограничениями. Деп. в ВИНИТИ 1998, № 709-В98.

4. Дубовицкий А. Я., Милютин А. А. Задачи на экстремум при наличии ограничений // ЖВМ и МФ. 1965. Т. 5, № 3. С. 395.

5. Иоффе А. Д., Тихомиров В. М. Теория экстремальных задач. М : Наука, 1974.

УДК 511.3

Д. С. СТЕПАНЕНКО Об аналитическом продолжении одного класса рядов Дирихле

Пусть поле к является нормальным расширением поля рациональных чисел конечной степени. Рассмотрим ряд Дирихле вида

/(') = № - ш )-1 = Е П, ^ = -+«. а)

в 1

где произведение берется по всем неразветвленным простым идеалам поля к.

Относительно рядов вида (1) имеет место следующее утверждение.

Теорема. Функция /(в), определенная рядом Дирихле (1), аналитически продолжается на комплексную плоскость как мероморфная функция с единственным полюсом в точке в = 1.

Замечание. При доказательстве теоремы 1 будут использоваться только факты относительно аналитических свойств Ь-функций с числовыми характерами Дирихле и поведения идеалов при расширении Галуа числовых полей.