О необходимых условиях экстремума в одной задаче оптимального управления с фазовыми ограничениями Текст научной статьи по специальности «Математика»

Теорема 3. Для сходимости ||Ат/ — /Цьж пРи а ^ 0 6 ^ 0 достаточно выполнения согласования а = а(6) такого, что а(6) ^ 0 и 6{а{6))—т ^ 0 щи 6 ^ 0.

Доказательство следует из формулы (2), оценок:

||Ат/ — / < ||Ат/ — / + б|Атус^£то,

Amii ^ отЛ — m

аWc^L ^ 2 а

и а iic —

и теоремы 2.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект Ks 1301-00238).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1, Хромов А. П., Хромова Г. В. Об одной модификации оператора Стеклова // Современные проблемы теории функций и их приложения : тез, докл. Сарат, зимней шк, Саратов : Изд-во Сарат, ун-та, 2010, 181 е,

2, Хромов А. А. О приближении функции вместе е ее производной на отрезке // Современные проблемы теории функций и их приложения : материалы 17-й Междунар, Сарат, зимней шк, Саратов : «Научная книга», 2014, С, 285-287,

УДК 516.9

В. Р. Шебалдин

О НЕОБХОДИМЫХ УСЛОВИЯХ ЭКСТРЕМУМА В ОДНОЙ ЗАДАЧЕ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ С ФАЗОВЫМИ ОГРАНИЧЕНИЯМИ

Рассмотрим следующую задачу оптимального управления: с нелинейными дифференциальными связями на конечном отрезке времени

x(t) = f (x(t),u(t)), x(to) = xo, t e [to,T], (1)

с ограничениями на управление u(t) e U, для почти всех

t e [to,T], (2)

и с недифференцируемыми ограничениями на фазовые переменные вида

|xz(ti) — xi(tj)| < c (3)

где l = 1, n, ti,tj e [t0,T], i = 1, q — 1,j = 2,q,i < j набор фиксиро-

c

критерием качества

f Т

J(x,u)= f0(x,u,t)dt ^ min, (4)

Jto

/(х,и) = (/1(х,и),..., /п(х,и))т - заданная вектор-функция, причем //(х,и), I = 1,п - скалярные, дифференцируемые функции своих аргументов; /°(х,и,1) - скалярная, дифференцируемая функция своих аргументов, х(Ь) € Кп, и С Я1 - ограниченное множество.

Обозначим: (Х(Ь),П(Ь)) - оптимальная пара исходной задачи.

Функции и(Ь) будем считать допустимыми, если они являются измеримыми функциями и удовлетворяют ограничению (2). Множество допустимых управлений в задаче (1)-(3) будем обозначать символом V.

В настоящей работе, как и в статьях [1-3], с помощью теоремы Д у б о! и 1 ц к о го Милютина (см. [4]) доказаны необходимые условия экстремума в виде максиминной задачи. Для этой цели в дополнение к известным конусам допустимых вариаций, соответствующих ограничениям (1)—(2), и конусу запрещенных вариаций для функционала (4) необходимо построить конус допустимых вариаций и ему сопряжённый, соответствующий ограничению (3). Докажем лемму.

Лемма. Пара функций (х,и) принадлежит, конусу допустимых вариаций, соответствующих ограничению (3), тогда и только тогда, когда

тах (х/(и) — х/(Ь3))в%дп(х/ (и) — Хг(гз)) < 0, (г,3,/)еИ

% = 1,(( — 1,] = 2, ((,%%< ],1 = 1,п,

где

М = {(%,], 1)\ |х/ (и) — х/ (^ )| = с}.

Тогда согласно [4] сопряжённый конус будет состоять из функционалов вида

/ *(х,и) = — аШ (х/ (и г) — х/ ))в%дп(х/ (и) — х/(Ь3)),

(г,3,/)еИ

где аг,3,/ = сопаг,3,/ > 0.

Докажем следующую теорему.

( х, и)

существуют такие интегрируемые функции, фг,з,/(и) € Яп, (%,],1) € е М0,% = 1,д — 1,] = 2,д,% < = 1,п, что имеют место следу-

ющие уравнения

т

тах тт / АИгз/ (иА)(И = 0,

и(г)еУ (г,з,/)еИ^г0 ,3,У

где

Мо = М и (0,0, 0), м = {(%],1)\ \Х1 (и) — XI(г3)| = с},

% = 1,(( — 1,] = 2, ((,%%< ],1 = 1,п, АНШ (и,и) = [/(х,й) — / ^^^

АНо,о,о = Фооо[/(х,и) — /(Х,и)}+ / (х,и,и) — / (x,u,t),

(фц(г) — Фу(и), и е [ио,иг}, Фг,3,1(и) = \ —ф1,3 (t), и е (и,,из \

[0, и е (и3,Т}

при XI((и) > XI(иу),

{—'¡Ли) + Фи (и), и е [и, и],

фг,У,1 (и)= \фи (t), и е (и г,иуI

[0, и е (у,Т}

при XI ((иг) < XI (иу ),

ф 1,г = — /Х (Х, и)ф1,г, [ф1,г (и)}г = —1, [ф1,г (и)}г = % = r,

Ф0,0,0 = —/х (X, и)форо(и) — /Х^, и, и),форо(Т) = 0, 00(1) = / ^(и)^^)), X(t0) = x0.

Доказательство. Применим метод Дубовпцкого^М илютина для вывода необходимых условий экстремума. Поскольку управляемая система определяется нелинейными дифференциальными связями и ограничения на управляющие функции не являются выпуклыми, то воспользуемся следующим способом преодоления этих трудностей, основные идеи которого изложены в [5]. По исходной задаче оптимального

управления построим вспомогательную линеиную задачу с выпуклыми ограничениями на управление. Введем положительные функции v(t) по следующим правилам:

) . v(r), т е A(v), A(v) = UL Ak, Ak с [0,1],

/ у(в)(в = т — ¿0, Л

где ?;(£) -произвольная, ограниченная, измеримая, положительная функция, а Ак (V) = (0к ,0к ] (см.[5, с. 160]). Обоз начим: ¿(т) = ¿0 + /0 у(б')(в. Зафиксируем некоторую функцию v*(t) с перечисленными выше свойствами. Тогда соответственно определим функцию

Цт )= to + I v*(£ )d£.

Определим точки ^ и nj как решения уравнений

i-Ti гщ

ti = to +/ )d£, tj = to + / )d£.

oo

Определим: т(t) = min{£ е [0,1} | t(£) = t}.

Сформулируем вспомогательную задачу. Положим

( ) = (й(и(т)), т е A(v*), ) {и(т), т С AV),

где u(t) е U. Тогда пара функций (y* = y(t,v*),v*) (см.[5, с. 160-163J;, является оптимальной для следующей задачи оптимального управления

У = f (у(т),ш*(т))v(т), y(0)= xo, т е [0,1},

i(т) = v(т), t(0) = 0, t(1) = T - to,

ЫЫ - yi1 <c,

v(r) > 0,

Ji(y,v)= v^)fo(у(т),ш*^(т)^(т)))<т —> min . o

Для данной задачи оптимального управления, как и в статье [1], доказываются необходимые условия экстремума и с помощью обратной замены т(t) получаются уравнения принципа максимума задачи (1)-(4).

1

o

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Шебалдин В. Р. Численное решение терминальной задачи оптимального управления е дискретными фазовыми ограничениями, Саратов, 1989, 37 с, Деп, в ВИНИТИ 23.05.89. № 2999-В89.

2. Шебалдин В. Р. Об одной задаче оптимального управления с ограничениями. Саратов, 1996. 14 с. Деп. в ВИНИТИ 30.03.96. № 3074-В96.

3. Шебалдин В. Р. О минимизирующих последовательностях в задаче оптимального управления с дискретными фазовыми ограничениями, Саратов, 1998, 12 с, Деп в ВИНИТИ 11.03.98. № 709-В98.

4. Дубовицкий А. Я., Милютин А. А. Задачи на экстремум при наличии ограничений // ЖВМ и МФ. 1965. Т. 5, № 3. С. 395-453.

5. Иоффе А. Д., Тихомиров В. М. Теория экстремальных задач. М, : Наука, 1974. 480 с.

УДК 517.984

В. А. Юрко

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ ПЕРЕМЕННЫХ ПОРЯДКОВ НА ПРОСТРАНСТВЕННЫХ СЕТЯХ

1. Исследуются обратные спектральные задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений переменных порядков на компактных звездообразных графах. Точнее, дифференциальные уравнения имеют разные порядки на разных ребрах. Краевые задачи на графах (пространственных сетях) часто возникают в естествознании и технике (см. [1]). Дифференциальные уравнения переменных порядков на графах появляются в различных задачах в математике и приложениях, например, при исследовании колебаний таких структур как кабельно-опорные мосты, мачта с растяжками и других.

В [2] обратная задача рассматривалась для весьма частного случая операторов переменных порядков на звездообразных графах, когда есть только два уравнения разных порядков. В данной статье рассматривается общий случай операторов на графе-звезде. Точнее, все ребра разбиты на т групп, в каждой из которых дифференциальные уравнения имеют различные порядки. Кроме того, мы рассматриваем обобщенные условия склейки во внутренней вершине. Этот общий случай порождает качественные изменения при формулировке и решении обратной задачи.

В качестве основной спектральной характеристики вводятся и изучаются так называемые матрицы Вейля, которые являются обобщениями функции Вейля для классического оператора Штурма Лиувилля и обобщениями матрицы Вейля для уравнений произвольных порядков