Численное решение задачи оптимального управления с интегральным критерием качества Текст научной статьи по специальности «Математика»

В. Р. Шебалдин

УДК 519.6

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ С ИНТЕГ РАЛЬНЫМ КРИТЕРИЕМ КАЧЕСТВА

Рассматривается задача оптимального управления с линейными дифференциальными связями на конечном интервале времени

х(0=Л*(О+ Ви(0, х(0) = х0, Ге[0,1], (1)

и(1) е и,

где хеН", А - матрица размерности пхп, В - вектор размерности их 1, и - отрезок с интегральным критерием качества

п 1

= Х Ь«1 л^ы. (2)

/=10

Управляющую функцию и(1) будем считать допустимой, если она измерима и м(г) е£У для п.в. С е [0,1]. Множество таких функций будем обозначать символом V; (х', и') - оптимальная пара задачи (1), (2). Цель статьи — получение необходимых условий экстремума для задачи (1), (2), построение на их основе алгоритма численного решения данной задачи и обоснование его сходимости.

Введём следующие обозначения:

М? = {I е[0,1]| х- (/) = 0}, м; = {/ е [0,Щ**(г) > 0}, М~[ = {/ е[0,1] | х*(() < 0}, / = 1,и.

Будем считать, что каждое из этих множеств есть объединение конечного числа интервалов

м?=*Лл> м-+=и

]=\ 7=1

__ _

м7 = и Д7,^>Л7,/=[T0'T,••^'г' = 1'"■

Множества индексов (/,/), соответствующие множествам А/,0, М*, М~[, будем обозначать №, N+, N~ соответственно. Применив теорему Дубовицкого - Милютина [1, 2], можно доказать теорему о необходимых условиях экстремума поставленной задачи, считая, что

цеоуА/,0 = 0, / = 1 ,п.

ТЕОРЕМА 1. Пусть (х",и') - оптимальная пара исходной задачи. Тогда существуют интегрируемые функции

(U)eN+\jN-, VijeR" такие, что имеют место уравнения

ma\S I К/(ОД(и(')-«*(О)Л = 0, (3)

где при (i,j)eN+ : у,- (f) = 0, если t <t Д* у и удовлетворяет дифференциальной системе

^4/^(0 + ^=0, = Cj = (0,...,-l;,0...0), (4)

если

при (i,j)&N~ :\\j/j(t)= 0, /«Д^;

+ЛГ1|/,.у(0 + с,=0, = с,- =(0,...,1,.0...0)г, (5)

¿*(0 = Л**(0 + Яи*(0. JC*(0) = JC0, is [0,1].

Доказательство теоремы проводится аналогично теореме 1 из [2]. На основе уравнений (3) - (5) построим алгоритм численного решения поставленной задачи.

Алгоритм (к-й шаг)

Пусть известны функции

Uk(t), xk(t) = x(t,uk), Бк = const, Е4 > 0 .

Шаг I. Определим множества Mik, М1к, Д, у , А¡ ¡, Nk, Nk , которые определяются аналогично множествам М*, MJ, А~ j, :V+, N по функции хк (t), / = \,п, то есть

Щк = {/ е [0,1] | дг* >е* }, МГк = {t е[0,1]|х,* <-£*}, / = 1Я Шаг 2. Определим функции 0 согласно дифференциальным системам (4), (5), взяв в качестве множеств Mj, М~ множества M'jk, М¡к

соответственно.

Шаг 3. Решим задачу

maxf X Jvfy(0^(v(0-uk(t))dt. (6)

Обозначим: vk(t) - решение данной задачи,

^ = £ Z \vfj(t)B(vk{t)-uk{t))dt.

Очевидно, >0.

Шаг 4. Для каждой константы а е [0,1] определим функцию

а*(г,а) = 11*(/) + а(у*(/)-н*(0)-

Шаг 5. Выберем ак из условия JQ(llk (7,а*)) < J0{uk).

Щагб. Если ¡лк< Ек, то положим е*+| = (Зе*, (3 = сош/, р е (0,1), ик+] = ик; если ц кжк , то определим е* + |= еа, г/+| = ик (/,«*) и перейдём к шагу 1.

В качестве обоснования данного алгоритма можно доказать следующую теорему, аналогичную доказанной в [2].

ТЕОРЕМА 2. Построенный алгоритм обеспечивает монотонное убывание критерия качества, при этом имеют место равенства

Пт гк= 0, Нт ц*=0.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Дубовицкий А. Я., Милютин А. А. Задачи на экстремум при наличии ограничений //ЖВМ и МФ. 1965 . К» 3. С. 395 -493.

2. Шебалдин В. Р.О существовании минимизирующей последовательности в задаче оптимального управления с фазовыми ограничениями. Саратов, 1999. 10 с Деп. в ВИНИТИ, № 2597-В99ДЕП.

УДК 517.5

В. И. Шевцов

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ ОБОБЩЁННЫМИ РЯДАМИ ЭКСПОНЕНТ

В данной статье рассматриваются ряды вида

Е4/М. (!)

4=1

аз

где /(г) = - целая функция порядка р, 0 < р < со и типа а Ф 0,оо,

А=о

1 1

Г,„арЫ\ак\ = (.аер)р. (2)

Представление целых функций рядами вида (1) изучались многими математиками. Фундаментальные исследования по теории представления функций рядами (1) проведены А.Ф. Леонтьевым [1,2] и его учениками.