Регуляризующее семейство операторов для уравнения Абеля с инволюцией Текст научной статьи по специальности «Математика»

Выделим из правой части оценки (7) «главную» часть. Это будет функция

Ф(а, 6) = Схав + С26а—,

и выберем а = а(6) из условия минимума этой функции. Тогда придем к формуле (2). Подставляем (2) в (7). При этом объединяем первые

6

Проводим вычисления и приходим к оценке в теореме.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Денисов А. М. Ведение в теорию обратных задач. М, : Изд-во Моек, ун-та, 1994. 206 е.

2. Хромов А. А. О решении одной обратной задачи // Современные проблемы теории функций и их приложения : материалы 18-й междунар, Сарат. зимн. шк. (Саратов, 27 янв. - 3 февр. 2016). Саратов : Науч. книга, 2016. С. 305-307.

УДК 517.968

А. А. Хромов, Г. В. Хромова

РЕГУЛЯРИЗУЮЩЕЕ СЕМЕЙСТВО ОПЕРАТОРОВ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ АБЕЛЯ С ИНВОЛЮЦИЕЙ

Рассматривается модифицированное уравнение Абеля, содержащее инволюцию:

1-х

Аи = I (1 - Г(-^-1 п(г) ¿1 = /(х), (1)

о

где 0 < в < 1, Г(в) — гамма функция. Пусть нам известно, что при данной /(х) существует непрерывная функция и(ж), являющаяся решением уравнения (1), но вместо ] (х) нам говеет на (х) такая, что

II/* - / 11ь2 < 6.

В данной работе приводится формула обращения для уравнения (1), а также семейство операторов, позволяющее по /*(х) и 6 получать равномерные приближения к и(х).

Теорема 1. Справедлива формула обращения:

1

и = А-1/ = ¿/ " щ - вГ/<г) (2)

1-х

Доказательство получится, если мы в (1) сначала сделаем замену переменной 1 — х на ж1? затем обозначим /(1 — х) = ^(ж), воспользуемся

формулой обращения для классического уравнения Абеля и, наконец, в этой формуле перейдем от #(£) к / (1 — £).

Построим семейство регуляризующих операторов для уравнения (1)по аналогии с [1]: возьмем разрывный оператор Стеклова

Sa u = <

'1 x+a 1

- j u(t) dt, x e [0, -],

(a x 2

1 x 1

- f u(t) dt, x e [-, 1],

V a x—a 2

и семейство Ra = SaA—1, где A—1 определен в (2).

Теорема 2. Операторы Ra являются интегральными операторами, с ядрами Ra(x,t); имеющими вид

R (x t) = — в)]—1Ra2(x,t), x e [0,1 ]

a( , ) \[аГ(1 — в)]—1Rai(x,t), x e [ 1, 1] ,

0, 0 < t < 1 — x, Rai(x,t) = { (t — (1 — x))-в, 1 — x < t < 1 — x + a,

(t — (1 — x) — a)—e — (t — (1 — x))—e, 1 — x + a < t < 1,

0, 0 < t < 1 — x — a, Ra2(x, t) = { (t — (1 — x) + a)—e, 1 — x — a < t < 1 — x,

(t — (1 — x) + a)—e — (t — (1 — x))—e, 1 — x < t < 1.

Теорема 3. Операторы Raj, j = 1, 2 щи, 0 < в < 1 являются линей-

a

ющими из L2[0,1] в C[ 1, 1] при j = 1 и в C[0, 2] при j = 2.

Будем считать операторы Ra, действующим и из L2[0,1] в LTO[0,1],

где

II • IIl<» = max (У • Ус [о, ^ II • Ус [1,1]}

Тогда справедлива

Ra

нения (1).

Доказательство вытекает из теоремы 3, из того, что RaA = Sa, а 11 Sau — uI^ ^ 0 при a ^ 0, и из определения регуляризующего оператора [2].

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1, Хромова Г. В. Регуляризация уравнения Абеля е помощью разрывного оператора Стеклова // Изв. Сарат, ун-та. Нов, сер. Сер, Математика, Механика, Информатика, 2014, Т. 14, вып. 4, ч, 2, С, 599-603

2, Иванов В. К., Васин В. В., Та,на,на В. П. Теория линейных некорректных задач и её приложения, М, : Наука, 1978, 206 е,

УДК 516.9

В. Р. Шебалдин

НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМА В ОДНОЙ ЗАДАЧЕ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ С НЕДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫМ КРИТЕРИЕМ КАЧЕСТВА

Настоящая статья содержит доказательство необходимых условий экстремума для линейной задачи оптимального управления с недиффе-ренцируемым критерием качества в форме максиминной задачи. Данная формулировка необходимых условий экстремума может быть использована для построения численного алгоритма решения данной задачи.

Рассмотрим следующую задачу оптимального управления: с линейными дифференциальными связями на конечном отрезке времени

x(t) = Ax(t) + Bu(t), x(to) = xo, t e [to,T], (1)

с ограничениями на управление

u(t) e U, для почти всех t e [t0,T], (2)

и с недифференцируемым критерием качества вида

J(x.u) = i {|g(u(t))| + ^(x(t))l}dt ^ min, (3)

Jto

где A—матрица размеры ости n x n, B—вектор размерн ости n x 1, g(u), ф(х) - дифференцируемые, скалярные функции, x(t) = (x1,x2, ...,xn), U С R1— ограниченное, замкнутое множество.

Обозначим: (x(t),u(t))—оптимальная пара исходной задачи. u( t)

римыми функциями и удовлетворяют ограничению (2). Множество допустимых управлений в задаче (1)-(3) будем обозначать символом V.

В настоящей работе, как и в статье [1], с помощью теоремы Дубовицкого-Милютина (см.[2]) будут доказаны необходимые условия