CC BY
17
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1, Хромова Г. В. Регуляризация уравнения Абеля е помощью разрывного оператора Стеклова // Изв. Сарат, ун-та. Нов, сер. Сер, Математика, Механика, Информатика, 2014, Т. 14, вып. 4, ч, 2, С, 599-603
2, Иванов В. К., Васин В. В., Та,на,на В. П. Теория линейных некорректных задач и её приложения, М, : Наука, 1978, 206 е,
УДК 516.9
В. Р. Шебалдин
НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМА В ОДНОЙ ЗАДАЧЕ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ С НЕДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫМ КРИТЕРИЕМ КАЧЕСТВА
Настоящая статья содержит доказательство необходимых условий экстремума для линейной задачи оптимального управления с недиффе-ренцируемым критерием качества в форме максиминной задачи. Данная формулировка необходимых условий экстремума может быть использована для построения численного алгоритма решения данной задачи.
Рассмотрим следующую задачу оптимального управления: с линейными дифференциальными связями на конечном отрезке времени
x(t) = Ax(t) + Bu(t), x(to) = xo, t e [to,T], (1)
с ограничениями на управление
u(t) e U, для почти всех t e [t0,T], (2)
и с недифференцируемым критерием качества вида
J(x.u) = i {|g(u(t))| + ^(x(t))l}dt ^ min, (3)
Jto
где A—матрица размеры ости n x n, B—вектор размеры ости n x 1, g(u), ф(х) - дыффереыцыруемые, скалярные функции, x(t) = (x1,x2, ...,xn), U С R1— ограниченное, замкнутое множество.
Обозначим: (x(t),u(t))—оптимальная пара исходной задачи. u( t)
римыми функциями и удовлетворяют ограничению (2). Множество допустимых управлений в задаче (1)-(3) будем обозначать символом V.
В настоящей работе, как и в статье [1], с помощью теоремы Дубовицкого-Милютина (см.[2]) будут доказаны необходимые условия
экстремума в виде максиминной задачи. Для этой цели нужно построить конус запрещенных вариаций и ему сопряженный, соответствующих функционалу (3).
Доказывается лемма.
Лемма. Пара функций (х,и) принадлежит, конусу запрещенных вариаций тогда и только тогда, когда
иы+иN -
+ / ^^Мг^^М < 0, (4)
Зш +и м -
где
= {г е [¿0,Т]| £(«(*)) > 0}, = {г е [¿0,Т]| £(й(г)) < 0}. М + = {г е [¿0,Т]| ф(Х(г)) > 0}, М- = {г е [¿0,Т]| ф(Х(г)) < 0}.
Результаты леммы используются при доказательстве следующей теоремы.
Теорема. Пусть (X, й)—оптимальная пара задачи (1)-(4). Тогда, существуют, такие интегрируемые функции, фз(г),^(г) е Яп, "¿то гше-юго место следующие уравнения:
Г Т
тах тт / = 0, (5)
г^е
Дя. ,№) + ^Т (г)в )(и(г) — й) при г е Д+П Д+ (6)
г'3 ^0 при ге Д+П Д+,
дя. [(—^/(й) + (г)в)(й(г) — й) при г е Д+ ПД— (7)
1,3 [0 при ге д+п Д—, ()
Дя.. Г(^/(й) — 3(г)в)(и(г) — й) при ге Д— ПД+ (8)
г'3 [0 при ге Д—ПД+, ()
Дя.. [(—^/(й) — ^(г)в)(п(г) — й) при ге Д— ПД— (9)
г'3 [0 при ге Д+ПД—,
м0 = Мх и м2 и м3 и м4, М1 = {(г,;)|Д+пД + = 0},; е Л ,г е /1; М2 = {(г,;)|Д+пД— = 0},; е
г е к; Мз = {(1,3)|Д-пД + = 0}, з е 12,г е /1; ыа = {(г, з)|Д-пД- = 0},
з е Л, г е /2,11 и 12 = {г|г = 1,я}, Л и = {313 = 1,^1}, М+ = и Д+, М- = и Д-, = и Д + , N - = у Д-,
Эе-Ь jеJ2 ¿е/1 iеh
Д+ = (йу-1,Ьу),з е 71; Д- = (¿2э-1,^2э),з е 72; Д + = (7^-1,7^), г е ¡1;Д- = (7^-1,7^), г е /2, где для Ь е Д+
* »>={ГЬ е Д+Д* '">
*(ь) = -Ат*(Ь) ф(х)х(Ь),*(Ь2э) = О,
а для Ь Е Д-
*(Ь) = -Ат*(Ь) - ра(1тф(х)х(Ь),*(г2]) = О,
*(*) = *(Ь), Ь е Д- (11) \о, Ь е Д-.
Доказательство. Для вывода необходимых условий экстремума применим метод Дубовицкого-Милютина. Согласно теореме 2.1 (см.[2, с. 4001
/о(х,и) + ¡1 (х,и) + /2 (х,и) = О,
где /i е К*, г = О, 2, К*, г = 1, 2 - сопряженные конусы, соответствующие конусам допустимых вариаций (1)-(2), К* - сопряженный конус, соответствующий конусу запрещенных вариаций. Тогда, аналогично доказательству теоремы 1.2 (см. [1]), получим неравенство
-А{ / ^'(и)и(ь^^п(^(и(ь)))^ь+
+ и N -
+ Г ^(ф^Мф^ф^М} < О, А = сопВ!, А > О.
,/М + и м -
Тогда, определив функции , *(Ь),*(Ь) согласно (6)-(11), получим
шт АИг л<И < 0.
Откуда следует доказательство теоремы.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИМ СПИСОК
1. Шебалдин В. Р. Численное решение терминальной задачи оптимального управления е дискретными фазовыми ограничениями. М, : 1989. Деп. в ВИНИТИ 23.05.89, № 2999-В89ДЕП, 37 с.
2. Дубовицкий А. Я., Милютин А. А. Задачи на экстремум при наличии ограничений // ЖВМ и МФ. 1965. Вып. 5, № 3. С. 395-453.
УДК 517.984
В. А. Юрко
ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ПУЧКОВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ НА ГРАФЕ С КОРНЕВЫМ ЦИКЛОМ
Исследуется обратная спектральная задача для несамосопряженных дифференциальных пучков второго порядка на компактных графах с корневым циклом при стандартных условиях склейки во внутренних вершинах и краевых условиях в граничных вершинах. Основное внимание уделяется наиболее важной нелинейной обратной задаче восстановления коэффициентов дифференциальных уравнений (потенциалов) при условии, что структура графа известна априори. Для этой обратной задачи доказана теорема единственности и получена процедура для построения решения. Для решения этой обратной задачи используется метод спектральных отображений [1].
Рассмотрим компактный граф О в Ит с множеством вершин V = = {^о,..., vr} и множеством ребер Е = (во,..., вг}, где во - цикл, VПв0 = = v0. Граф имеет вид О = в0 и Т, где Т - дерево (т.е. граф без циклов) с корнем ^^^ ^^^^инами {^0,... , vr} и ребрами {в1,..., вг}, Т П в0 = г>0.
Для двух точек а,Ь € Т будем писать а < Ь, если а лежит па единственном простом пути, соединяющем корень г>0 с Ь. Будем писать а < Ь, если а < Ь и а = Ь. Если а < Ь, то обозначим [а, Ь] := {г € Т : а < г < Ь}. В частности, если в = [V, и] - ребро, то V называется его начальной точкой, а эд - его конечной точкой; будем говорить, что в выходит из V и заканчивается в и. Для внутренней вершины V через В<{у) := {в € Т :
