CC BY
10
шт АИг л<И < 0.
Откуда следует доказательство теоремы.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИМ СПИСОК
1, Шебалдин В. Р. Численное решение терминальной задачи оптимального управления е дискретными фазовыми ограничениями, М, : 1989, Деп, в ВИНИТИ 23,05,89, № 2999-В89ДЕП, 37 с.
2, Дубовицкий А. Я., Милютин А. А. Задачи на экстремум при наличии ограничений // ЖВМ и МФ. 1965. Вып. 5, № 3. С. 395-453.
УДК 517.984
В. А. Юрко
ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ПУЧКОВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ НА ГРАФЕ С КОРНЕВЫМ ЦИКЛОМ
Исследуется обратная спектральная задача для несамосопряженных дифференциальных пучков второго порядка на компактных графах с корневым циклом при стандартных условиях склейки во внутренних вершинах и краевых условиях в граничных вершинах. Основное внимание уделяется наиболее важной нелинейной обратной задаче восстановления коэффициентов дифференциальных уравнений (потенциалов) при условии, что структура графа известна априори. Для этой обратной задачи доказана теорема единственности и получена процедура для построения решения. Для решения этой обратной задачи используется метод спектральных отображений [1].
Рассмотрим компактный граф О в Ит с множеством вершин V = = {^о,..., vr} и множеством ребер Е = (во,..., вг}, где во - цикл, VПв0 = = v0. Граф имеет вид О = в0 и Т, где Т - дерево (т.е. граф без циклов) с корнем v0, вершинами {^0,... , vr} и ребрами {в1,..., вг}, Т П в0 = г>0.
Для двух точек а,Ь € Т будем писать а < Ь, если а лежит па единственном простом пути, соединяющем корень г>0 с Ь. Будем писать а < Ь, если а < Ь и а = Ь. Если а < Ь, то обозначим [а, Ь] := {г € Т : а < г < Ь}. В частности, если в = [V, и] - ребро, то V называется его начальной точкой, а эд - его конечной точкой; будем говорить, что в выходит из V и заканчивается в и. Для внутренней вершины V через Я^) := {в € Т :
е = [V,эд], эд € V} обозначим множество ребер, выходящих из V. Для вершины V € V через | V | обозначим множество ребер между ^о и V. Число | V | называется порядком вершины V. Для ребра е € Т его порядок определяется как порядок его конечной точки. Числом := тах^^ |vj| называется высотой дерева Т. Пусть V(м) := {V € V : | V | = д}, д = 0, а - множество вершин порядка д, а Е(м) := {е € Е : е = V € V€ V(м)},
д = 1, а - множество ребер порядка д.
Для определенности занумеруем вершины Vj следующим образом: Г := {VI,..., - граничные вер шипы С, € V(1), а Vj, ] > р +1 занумерованы в порядке возрастания |vj Аналогично занумеруем ребра, а именно е^- = [vjk,Vj], ] = 1, г, < В частности, Е := {еу,..., еР} - множество граничных ребер, еР+1 = ^о,^+1]. Ребро еР+1, выходящее из корня vо, называется корневым ребром дерева Т. Ясно, что ej € Е(м) тогда и только тогда, когда Vj € V(м).
Пусть - длина ре бра е^ ^ = 0,г. Каждое ребро е € Е рассматривается как отрезок [0,^-] и параметризуется параметром Xj € [0, ]. Для нас удобно выбрать следующую ориентацию: для ^ = 1,г конечная вершина Vj соответств ует Xj = 0, а начальная вер шина Vjk соответствует Xj = для цикла ео обе точки хо = +0 и хо = йо — 0 соответствуют vо. Функция У на С представима в виде У = {yj }j=о7, где функция Уj (xj) определена па ребре е^ Пусть д = ^ }=о;г и р = {р^- }j=о"т - ком-
С
qj(xj) € £(0,Т), р^-(xj) € АС[0,Т]. Рассмотрим дифференциальное С
) + (Р2 + РР^"(х) + (хзШ(хз) = 0, хз € [0, Ф], (1)
где; = 0,г, р - спектральный параметр, функции у^-(xj), y,j(xj) абсолютно непрерывны на [0, dj] и удовлетворяют следующим условиям склейки во внутренних вершинах vо и к = р + 1, г для к = р + 1, г:
у № )= Ук (0) £ог а 11 е^- € ), ^ У (^ ) = ук (0), (2)
е^- €Й(«к)
И ДЛЯ vо
Ур+1(йР+1) = Уо(йо) = Уо(0), уР +1(йр+1) + уо (йо) = уо(0). (3)
Условия (2), (3) называются стандартными условиями склейки. В электрических сетях они выражает закон Кирхгофа; при колебаниях упругих сетей - баланс напряжений и т.д. Рассмотрим краевую задачу Ьо(С) для
уравнения (1) с условиями склейки (2), (3) и с условиями Дирихле в граничных вершинах VI,..., ур:
у (0) = 0, ; = 1,р.
Рассмотрим также краевые задачи Ьк (С), к = 1, р, для уравнения (1) с условиями склейки (2)-(3) и с краевыми условиями
Обозначим Лк = {ркп}, к = 0,р, - собственные значения (с учетом крат-ностей) задачи Ьк(С). В отличие от случая деревьев здесь задание спектров Л&, к = 0,р, не определяет потенциалы однозначно, и нам нужна дополнительная информация. Пусть Sj (жз-, р), С(жз-, р), ^ = 0,г, - ре-
шш I м <.! I ПА^ПЙ I Г' НЯТ1ЯПкИт/ГИ ссппшипш
] = 0,г, V = 0,1, являются целыми по р экспоненциального типа. Положим
Пусть V = - нули (с учетом кратностей) целой функции ^(р). Тогда - собственные значения краевой задачи В для уравнения (1) при ] = 0 с краевыми условиями уо(0) = Уо(^о) = 0. Пусть О = {шп} -О- последовательность для В (см. [2]). Например, если все нули ^(р) простые, то
Отметим, что для классической самосопряженной периодической обратной задачи Штурма-Лиувилля О - последовательность исследовалась в [3] и других работах. Обратная задача ставится следующим образом.
Обратная задача 1. Даны Лк, к = 0,р и О, построить д и р на С.
Эта обратная задача является обобщением классических обратных задач для дифференциальных операторов Штурма Лиушкыя на интервале и на деревьях. Сформулируем теорему единственности решения обратной задачи 1.
Теорема 1. Задание Лк, к = 0,р и О однозначно определяет потенциалы д и р на С.
у'к(0) = 0, уз (0) = 0, ] = 1,р \ к.
а(р) := С0(^о, р) - 50(¿о, р), Мр) := 50(4, р).
0, а(^) = 0,
+1, а(^) = 0, аща(^) е [0,п), — 1, а(^) = 0, аща(^) е [п, 2п).
Используя метод спектральных отображений [1], мы также получаем конструктивную процедуру решения обратной задачи 1.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект Ms 16-01-00015) и Минобрнауки РФ (проекты № 1.Ц36.20ЦК и 20Ц/203, 1617).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1, Yurko V. A. Method of Spectral Mappings in the Inverse Problem Theory, Inverse and Ill-posed Problems Series, Utrecht : VSP, 2002,
2, Yurko V. A. Inverse problems for non-selfadjoint quasi-periodic differential pencils // Analysis and Mathematical Physics. 2012. Vol. 2, № 3. P. 215-230.
3, Марченко В. А., Островский И. В. Характеристика спектра оператора Хилла // Мат. сб. 1975. Вып. 97, С. 540-606.
