Об обратной спектральной задаче на графах Текст научной статьи по специальности «Математика»

В. А. Юрко

УДК 517.984

ОБ ОБРАТНОЙ СПЕКТРАЛЬНОЙ ЗАДАЧЕ НА ГРАФАХ'

1. Рассмотрим компактное связное дерево Т в Rm с корнем v0, множеством вершин V = {v0,...,vr} и множеством ребер Е = {е¡,-..ег}. Предположим, что длина каждого ребра равна 1. Вершина называется граничной, если она принадлежит только одному ребру. Такое ребро называется граничным. Все остальные вершины и ребра называются внутренними. Без ограничения общности считаем, что v0 является граничной вершиной.

Для двух точек а,Ь еТ будем писать а <Ь, если а лежит на единственном простом пути, соединяющем корень v0 с Ь; пусть \Ь\ обозначает длину этого пути. Будем писать а <Ь, если а < b и аФЬ . Отношение < определяет частичную упорядоченность на Т. Если а<Ъ, то обозначим \a,b] := {z е Т : а < z < b}. В частности, если e~[v,w] - ребро, то мы будем называть v его начальной точкой, w - его конечной точкой и будем говорить, что е выходит из v и заканчивается в w. Для каждой внутренней вершины v мы обозначим через R(v):= {е е Е : е = [v,w], we V} множество ребер, выходящих из v. Для любой v е V число jv| является целым неотрицательным числом, которое называется порядком v. Для ееЕ его порядок определяется как порядок его конечной точки. Число o:=max^=p^ | v, ; называется

высотой дерева Т. Пусть :={veF:|v|=(i}, р = 0,ст - множество вершин порядка р, и пусть Е^ := {е е Е\е = [v,w], v е F(-u е F^}, р = 1,с — множество ребер порядка р.

Каждое ребро ееЕ рассматривается как отрезок [0,1 ] и параметризуется параметром хе[0,1]. Для нас удобно выбрать следующую ориентацию на каждом ребре e = [v, vyJeE: если z - z(x) ее, то z(0) = w, z( l) = v, т.е. x — 0 соответствует конечной точке w, а х = 1 соответствует начальной точке v. Для определенности занумеруем вершины vy следующим образом: Г := {Уо.У],...,^} - граничные вершины, v^, eF(1), a v;, j> р +1, занумерованы в порядке возрастания | v, j. Аналогично занумеруем ребра, а именно ey=[v,t,v;], j = l,r, jk < j. В частности, Е:={еи...,ер+У) - множество граничных ребер, =[v0,v +1]. Ясно, что е, е тогда и только тогда, когда v ■ е V^'.

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 04-01-00007) и программы «Университеты России» (проект ур.04.01.376).

2. Интегрируемая функция К на Т может быть представлена как вектор Л>) = [>^ (*)]>./, ^ е [0,1], где J :=и :у' = 1,г}, и функция у] (х) определена на ребре е¡. Пусть <? = [<7/]/6,/ - интегрируемая вещественно-

значная функция на Г, которая называется потенциалом. Рассмотрим уравнение Штурма - Лиувилля на Г:

-у";(х) + д](х)у;(х) = 1у^х), *е[0,1], (1)

где ¡eJ,~A. - спектральный параметр, функции у^(х),у/(х) абсолютно непрерывны на [0,1] и удовлетворяют следующим условиям склейки в каждой внутренней вершине Ук,к = р + \,г\

У) О = У к (0) Для всех е^ б ) ( условие непрерывности), (1) = У4 (0) (условие Кирхгофа).

Условия склейки (2) называются стандартными. В электрических сетях (2) выражает закон Кирхгофа; при колебаниях упругих сетей - баланс напряжений и т.д. Отметим, что в (2) мы имеем 2г - р -1 условий. Для того чтобы определить краевую задачу для (1), нам нужно дополнительно задать р+1 условие в граничных вершинах = Например, через Ь0 обозначим краевую задачу для уравнения (1) с условиями склейки (2) и с краевыми условиями Дирихле К,, = 0, у = 0,р.

3. Пусть = к = 0,р - решения уравнения (1), удовлетворяющие (2) и краевым условиям Ч^,. =б^, / = 0,р, где — символ Кронекера. Функции Ч^ называются решениями Вейля для (1) относительно граничной вершины ук. Обозначим М(к) = [М^ Д)]^--, где Мк(Х):—Ц1'кк (ОД). Функции М к(к) называются функциями Вейля, а М(А) называется вектором Вейля для (1). Обратная задача ставится следующим образом.

Обратная задача 1. По заданному М построить потенциал д на Т.

Понятие вектора Вейля М является обобщением понятия функции Вейля («7-функции) для классического оператора Штурма - Лиувилля. Таким образом, обратная задача 1 является обобщением классической обратной задачи для оператора Штурма — Лиувилля на отрезке по функции Вейля и (что эквивалентно) по спектральной мере.

Сформулируем теорему единственности решения обратной задачи 1. Для этого наряду с Т рассмотрим дерево Т того же вида, но с другим потенциалом с/. Везде в дальнейшем, если символ а обозначает объект, относящийся к Г, то а будет обозначать аналогичный объект, относящийся к Т.

ТЕОРЕМА 1. Если М = М , го q~q. Таким образом, задание вектора Вейля М однозначно определяет потенциал q на Т.

Доказательство теоремы конструктивно и дает процедуру решения обратной задачи 1. Известно, что для классического оператора Штурма - Лиувилля на отрезке задание /«-функции эквивалентно заданию спектральной меры и также эквивалентно заданию дискретных спектральных данных, введенных Марченко, Левинсоном и Боргом [1]. Аналогично задание вектора Вейля М на Т эквивалентно заданию некоторых дискретных спектральных характеристик. Например дадим постановку обратной задачи на Т по системе спектров, которая является обобщением классической обратной задачи Ьорга для уравнения Штурма - Лиувилля на отрезке по двум спектрам. Обозначим через Lj., к — \,р краевые задачи для уравнения (1) с условиями склейки (2) и с краевыми условиями >''А(0) = 0, К,,. — Ü,j = Q,p\k. Пусть J, к = 0,р, - собственные значения крае-

вых задач Lk .

Обратная задача 2. По заданным спектрам к= 0,р, постро-

ить потенциал q на Т.

Если /" = 1 (т.е. дерево Г является интервалом [0,1]), то /7 = 1, и обратная задача 2 совпадает с классической задачей Борга по двум спектрам.

ТЕОРЕМА 2. Если = к1к при всех 1>\,к = 0,р, то <q = q. Таким образом, задание спектров краевых задач Lk, к = 0,р, однозначно определяет потенциал q на Т.

Доказательство теоремы конструктивно и дает процедуру решения обратной задачи 2. Отметим, что для решения обратных задач 1 и 2 мы используем и развиваем идеи метода спектральных отображений [2].

Замечание. Функции Вейля М к(к) являются мероморфными по X с полюсами в точках {^./ц}/>1- Можно показать, что задание вектора Вейля М(Х) равносильно заданию дискретных спектральных данных S := {^/0'att}/>i к=\'р> где _ вычеты Мк('к) в точках А,/0. Таким образом, обратная задача 1 эквивалентна обратной задаче восстановления потенциала q на дереве Т по спектральным данным 5, которые являются обобщением спектральных данных Марченко для классического оператора Штурма - Лиувилля на отрезке [1].

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Юрко В. А. Обратные спектральные задачи и их приложения. Саратов. 2001.

2. Yurko V.A. Method of Spectral Mappings in the Inverse Problem Theory. Inverse and Ill-posed Problems Series. Utrecht, 2002.