CC BY
17
имеют оценку (5). Поэтому в силу теоремы Гашимова [5], так как функция ] (г) ограничена на веществен ной оси, f (г) = 0. Теорема доказана.
Заметим, что в доказанной теореме требование принадлежности функции / (г) классу В * является существенным. Для целой функции, принадлежащей классу В, ряд экспонент (2) может расходиться, а также сходиться не к функции ](г).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Леонтьев А.Ф. Ряды экспонент. М.. 1976.
2. Леонтьев А.Ф. Обобщения рядов экспонент. М,, 1981.
3. Шевцов В.И. К вопросу о восстановлении функции по известным коэффициентам соответствующего ей ряда по некоторой системе аналитических функций // Дифференциальные уравнения и вычислительная математика: Межвуз, науч. сб. Саратов, 1974. Вып. 4. С. 18-29.
4. Шевцов В.И. Представление целых функций уточненных порядков обобщенными рядами экспонент // Математика, Механика,: Сб. науч. тр. Саратов, 2006, Вып. 8, С. 157-160.
5. Гашимов Г.М. Теорема единственности для рядов Дирихле // Докл. АН СССР, 1963. Т. 150, Ж. С. 722-725.
УДК 517.984
В.А. Юрко
КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ НА ГРАФЕ С КОРНЕВЫМ ЦИКЛОМ
1. Исследуется обратная спектральная задача для операторов Штурма — Лиувилля на графе с корневым циклом. Доказана теорема единственности и получена конструктивная процедура решения обратной задачи. Отметим, что обратные задачи восстановления операторов Штурма — Лиувилля на дереве (т.е. на графе без циклов) исследовались в работе [1].
Рассмотрим компактный граф О в Ит с вершинами V = {^о,... , vr } и ребрами Е = {е0,..., ег}, где е0 - цикл, -и0 Е е0. Граф имеет вид О = е0иТ, где Т - дерево с корнем ^^^ ^^^^инами {^0,..., г>г} и ребрами {е^..., ег}, причем Т П е0 = г>0 и v0 - граничная верши па для Т. Если е = [V, ад] - ребро (см. [1]), то V - его начальная точка, а ад - его конечная точка; говорят, что е выходит из V и заканчивается в ад. Для каждой внутренней вершины V обозначим через Д^) := {е Е Е : е = ^,ад], ад Е V} множество ребер, выходящих из V. Для V Е V положим |V| - число ребер между v0 и V число IV| называется порядком вершины V. Порядком ребра е Е Е называется порядок его конечной точки. Числом := шах^у-р | называется высотой дерева Т. Пусть V:= {V Е V : |V| = д}, д = 0, а - множество вершин порядка д, а Е:= {е Е Е : е = ^,ад], V Е V(м-1),ад Е V(м)},
д = 1, ^ - множество ребер порядка д. Занумеруем вершины V? так, что Г := {VI,..., V,} - граничные вер шины С, € V(1), а Vj, 3 > р + 1, занумерованы в порядке возрастания ^ Аналогично занумеруем ребра: е? = К ,Vj ], 3 = 1, г, 3к < 3. В частности, Е := {е1,..., ер} - граничные ребра, ер+1 = [vo, %+1]. Ребро ер+1, выходящее из vo, называется корневым ребром для Т.
Пусть ¿у - длина ре бра е?, 3 = 0,г. Каждое ребро ej■ € Е параметризуется параметром х? € [0,^?], причем для 3 = 1,г конечная вершина V? соответствует х? = 0, а начальная вер шина V? соответств ует х? = ? для цикла е0 оба копца х0 = +0 и х0 = ¿0 — 0 соответствуют v0. Интегрируемая функция У па С имеет вид У = {у?}? =0^, где у? (х? ) определены на е?. Пусть д = {д?}? =0-7 - интегрируемая вещественная функция на С, которая называется потенциалом. Рассмотрим уравнение Штурма — ЛиС
—у/(х?) + д?(х?)У?(х?) = Лу?(х?), х? € [М?^ 3 = 0,Г (1)
где у?(х?), у?(х?) € АС[0, ] удовлетворяют следующим условиям склейки во внутренних вершинах v0 и Vk, к = р + 1, г:
у?) = ук(0) при всех е? € ), ^ у?) = ук(0), к = р + 1,г,
е^- €Й(г>й)
(2)
ур+1(^р+1) = у0(^0) = у0(0) уР +1(^р+1) + у0 МО = у0(0). (3)
Рассмотрим краевую задачу Ь0(С) для уравнения (1) с краевыми условиями у?(0) = 0, 3 = 1,р. Кроме того, рассмотрим краевые задачи Ьк(С), к = 1, р, для (1) с краевыми условиями ук(0) = 0, у? (0) = 0, 3 = 1,Р\ к. Пусть Лк = {Лкп}п>1 - спектр Ьк(С) к = 0,р (с учетом кратностей). Пусть (х?, Л), С?(х?, Л), 3 = 0, г, - решения (1) на ребре е? с начальными условиями (0,А) = С?(0, Л) = 0, (0,А) = С?(0,Л) = 1. Положим й(Л) := 50(^0, Л), й(Л) := 50(^0, Л), Н(Л) := С0(4, Л) — 50(4,Л). Пусть {^п}п>1 - нули целой функции Ь(Л), ¡х>п := ^пН(^п), ^ = {^п}п>ь
Обратная задача 1. По данным Лк, к = 0,р, и ^ построить потен-д С.
2. Фиксируем к = р + 1, г и обозначим фк := {г € Т : ^ < г}, Ск := = С \ фк. Тогда фк = ие,€дк) Ткг, где Ткг - дерево с корнем Vk и корневым ребром е^. Ясно, что Ск = е0 и Тк, где Тк = Т \ фк-
Условимся, что если Л - граф, то Ь0(Л) - краевая задача для (1) на ^ с краевыми условиями Дирихле в граничных вершинах. Пусть {У := {у? }е^- €_о .Если V? - граничная вер шина Л, то Ь? (Л) обозначает краевую задачу для (1) на Л с условием Неймана у^. = 0 в V?
и с условиями Дирихле во всех остальных граничных вершинах. Также рассмотрим краевую задачу Ь1 (Т) для (1) на Т с краевыми условиями ^ =0 ^ =0 1
Фиксируем к = 1,р. Пусть Ф* = {Ф*,},=о"Т _ решение уравнения (1), удовлетворяющее условиям склейки (2), (3) и краевым условиям
Ф*, (0,Л) = ^, 1 = 1,р, (4)
где - символ Кронекера. Обозначим М*(Л) := Ф**(0, Л), к = 1,р. Функция М*(Л) называется функцией Вейля относительно граничной вершины V*. Положим М*,(Л) = Ф*,(0,Л), М*,(Л) = Ф*,(0,Л), 1 = 0,г. Тогда
Ф*,(х,, Л) = М1-(Л)О,(х,, Л) + М0(Л)5,(х,, Л), 1 = 0,7. (5)
В частности, М*°*(Л) = М*(Л) М*1*(Л) = 1. Подставляя (5) в (2)—(4), получаем линейную систему й* относительно М0(Л),М*1(Л), 1 = 0,г. Определитель До (Л, С) этой системы не зависит от к и имеет вид
До(Л,С) = До(Л,Т )^(Л) + Д1(Л,Т )й(Л), (6)
где ¿(Л) = О0(^0, Л) + 50(¿0, Л) — 2, а Д0(Л, Т) и Д1(Л, Т) - характеристические функции задач Ь0(Т) и Ь1(Т) соответственно (см. [1]). Функция Д0(Л, С) является целой по Л порядка 1/2, и ее пули (с учетом кратно-стей) совпадают с собственными значениями задачи Ь0(С). Решая алгебраическую систему й *, получаем по формулам Крамера: М*, (Л) = = Д^(Л, С)/Д0(Л, С), V = 0,1,1 = 0, г, где определитель Д*(Л, С) получается из Д0(Л, С) заменой столбца, соответствующего М^-(Л), на столбец свободных членов. В частности,
М* (Л) = —Д*(Л,С)/До(Л,С), к = 1,р, (7)
где Д*(Л,С), к = 1,р, получаются из Д0(Л, С) заменой 5(^(^*,Л), V = 0,1 на О^^*, Л). Нули Д*(Л, С) (с учетом кратностей) совпадают с собственными значениями задачи Ь*(С). Функция Д*(Л,С), к = 0,р, называется характеристической функцией задачи Ь * (С).
Фиксируем к = р + 1, г. Пусть Д0(Л, С*) и Д *(Л, С*) — характеристические функции для Ь0(С *) и Ь*(С *) соответственно. Формула (6) преобразуется к виду
До(Л,С) = До(Л,д* )До(Л,С*)+( П До(Л,Т*г^Д*(Л,С*), (8)
где До(А, ) и Д0(Л, Tki) - характеристические функции are для L0(Qk) и L0(Tki) соответственно. Аналогично для ej G E П Tks имеем
Д,- (Л,С) = Д,- (Л,^ )Дс(Л,Ск) + (Д (Л,Щ Д До^Т^Д* (Л,Ск), (9)
где Дj(Л, ) и Дj(Л,Т^) получены из Д0(Л,^к) и Д0(Л,Ту) заменой Sjv)(dj ,Л), j = 0,1, на Cjv)(dj ,Л).
Пусть Л = р2, Imp > 0 Л5 := {р : argp G [£, п — £]}, Л^п = = (pkn)2, k = 0,p, - спектр задачи L^(G) с нулевым потенциалом q = 0, и пусть Дк(Л, G) - характеристические функции для L^(G). Используя (6), (8), (9), получаем следующие утверждения.
1) Существует h > 0 такое, что спектр Лкп = p|n лежит в полосе |Im р| < h.
2) При р G Л5, |р| ^ то имеем Дк(Л, G) = Д°(Л, G)(1 + O(p—1)).
3) При n ^ то имеем = pjn + O((pJn)—1).
4) Положим ЛкП = Лкп, ее л и Л^п = 0, и Л^П = 1, есл и Л^п = 0. Тогда
Ак(л,о = л2П^Л»—^, А = , (ю)
п=0 2П
где йг > 0 - кратность нулевого собственного значения для (С).
3. Рассмотрим вспомогательную обратную задачу для С на ребре б2, к = 1,р, которая называется 1Р(к): дана М2(Л), построить д2(х2), х2 С
е [0,^2].
Теорема 1. Задание функции, Вейля М2 однозначно определяет потенциал д2 па е2. Функция д2 строится методом спектральных отображений (см. [1]).
Рассмотрим вспомогательную обратную задачу на ребре е0, которая называется 1Р(0): даны ¿(Л), ^(Л), построить д0(х0), х0 е [0,^0].
Теорема 2. Задание ¿(Л),^(Л), ^ однозначно определяет потенциал д0(х0) па [0,^0]. Функция д0 может быть построена по следующему алгоритму.
Алгоритм 1. Даны, ¿(Л), ^(Л), Находим, {^п}п>1- нули ^(Л). 2) Вычисляем, Н(^п) = (х>п\/— 4. ^ Строим 50(¿0, = — Н(^п))/2.
^ Находим {ап}п>1 по формуле ап = /г,(^п)£0(¿0, ^п), /г(Л) := ^^. 5^) Строим д0 по спектральным данным {^п, ап}п>1? решая классическую обратную задачу Штурма — Лиувилля (см. [1]
Пусть даны Лк, k = 0,p, и Решение обратной задачи 1 состоит в реализации так называемых D^-процедур последовательно при д = а, а — 1,..., 1,0.
D^-процедура. 1) Для каждого k = 0,p строим Ak(Л, G) по (10).
2) Для каждого k = 1, p вычисляем функцию Вейля Mk(Л) по (7).
3) Для каждого ek Е Eрешаем обратную задачу IP(k) и находим qk(xk), Xk Е [0,4]•
4) Для каждого ek Е Eвычисляем ckv^(dk, Л), Sf^(dk, Л), v = 0,1.
5) Для каждого Vk Е V(а—1) \ Г выберем s и j так, чтобы ej Е E П Tks. Решая линейную алгебраическую систему (8), (9), находим A0^,Gk) и Ak(Л, Gk)-
6) При каждом Vk Е V(а—1) \ Г строим функцию Вейля Mk(Л) для Gk по формуле
Mk (Л) = —Ak (Л, Gk )/Ао(Л, Gk). (11)
Выполним D^-процедуры при д = = 2, а — 1 по индукции. Фиксируем д = 2, а — 1 и предположим, что Da-,..., D^+1-процедуры уже выполнены. Выполним D^-процедуру.
D^-процедура. 1) Для каждого ek Е Eрешаем обратную задачу IP(k) на Gk и находим qk(xk), xk Е [0,dk].
2) Для каждого ek Е Eвычисляем G^^(dk, Л), Skv)(dk, Л), v = 0,1.
3) Для каждого Vk Е V1) \ Г выберем s и j так, чтобы ej Е E П Tks. Решая линейную алгебраическую систему (8), (9), находим A0^,Gk) и Ak(Л, Gk)-
4) При каждом фиксированном Vk Е V1) \ Г вычисляем Mk (Л) для Gk по (11).
Di-процедура. 1) Решаем обратную задачу 1Р(р+1) на Gp+1 и находим qp+1(xp+1), xp+1 Е [0,dp+1] та корневом ребре ep+1.
2) Вычисляем CP+\(dp+1, Л), Sp+)1(dp+1, Л), v = 0,1.
3) Находим ¿(Л) and /г(Л), решая линейную алгебраическую систему
A0^,Gp+0 = Sp+1(dp+1, Л)^(Л) + 5^+1(^р+1,Л)^(Л), Ap+1(^ Gp+1) = Gp+1(dp+b Л)^(Л) + Л)^(Л).
Do-процедура. Строим q0(x0), x0 Е [0,d0] па e0 по алгоритму 1. Таким образом, доказана следуюгцяя теорема.
Теорема 3. Задание Л2, к = 0,р, п О однозначно определяет потенциал, д на С, который строится последовательным выполнением ..., 00-процедур.
Работа выполнена при, финансовой поддержке грантов РФФИ и ННС (проекты 07-01-00003 и 07-01-92000-ННС-а).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1, Юрко В.А. Введение в теорию обратных спектральных задач, М,: Физматлит, 2007.
