Принцип максимума для дискретной задачи оптимального управления со связанными краевыми условиями Текст научной статьи по специальности «Математика»

II. Ю. Трошина

УДК 517.977

ПРИНЦИП МАКСИМУМА ДЛЯ ДИСКРЕТНОЙ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ СО СВЯЗАННЫМИ КРАЕВЫМИ УСЛОВИЯМИ

Воспользуемся теорией Дубовицкого-Милютина [1] для вывода принципа максимума следующей задачи:

Здесь А, М - матрицы размерности пхп, В, О - матрицы размерности пхт,т хгп соответственно, Р, £) - гхп матрицы, а - г-вектор, л={д:(0),...гх(7)} дискретная траектория, и={г/(0), ,г^(7'-1)} - дискретное управление, <,> - скалярное произведение векторов.

Пусть М, О - симметричные матрицы, причем Б - неособенная, и пусть решение задачи (1) - (3) (оптимальная пара (.х*,и*)) существует. Будем предполагать, что ранг[#, АВ,.,.,А"~1В] = п, ранг[Р,0]=г, п<Тт, г < 2п В этом случае система (1) управляема и краевая задача (1) - (2) разрешима при любом а.

Обозначим: К0 - конус запрещенных вариаций функционала (3), А'ц - сопряженный конус к К0, К1 - конус касательных направлений для ограничений (1), (2), К* - сопряженный для К]

Нетрудно проверить, что выполняются все условия теоремы Дубовицкого-Милютина о пересечении выпуклых конусов. Следовательно, существуют не равные одновременно нулю линейные функционалы /о,/],

заданные на множестве пар (х,и) и принадлежащие конусам соот-

ветственно, для которых имеет место уравнение Эйлера

ЛЕММА 1. Функционал /0, принадлежащий конусу КЦ, имеет вид

+ 1) = Ах(() + Ви(О, I = О,.. ,,Т - 1,

Рх(0) + ()х(Т) = а,

г-\ ,

(О

(2)

(3)

(=0

/о + /.=0.

(4)

1=0

Лемма является следствием теоремы 4.1 в [2].

ЛЕММА 2. Пусть /, е Если пара (х,и) удовлетворяет дискретной системе (1), то существует вектор X е Цг такой, что имеет место равенство /,(*,«)=< \,Гх(0) + <2х(Т)>.

Доказательство. Рассмотрим семейство краевых задач

х(1+1)=Ах«)+Ви(1), 1=0,1,...,Г-1, (5)

Рх(О)+0х(Г>=а,, (6)

где а, - г-вектор, у которого /-я координата равна единице, а остальные равны нулю. Пусть (х,,и,) - решение задачи (5) - (6), и пусть пара (х,и)

г

удовлетворяет системе (1). Рассмотрим пару (х,й) = ]Га,(х1,и,)-(х,и),

/=1

где а, = [/"х(0) + (?х(7')]/ - 1-я координата вектора Рх(0)+£)х(Т). Покажем, что (х,и) принадлежит конусу К,, который состоит из пар, удовлетворяющих системе (1) и условию

Рх( 0)+2х(7)=0, (7)

что следует из определения конуса касательных направлений и линейности ограничений (1) - (2) Очевидно,

Рх( 0) + Ох{Т) = ¿а, (Рх, (0) + ()х, (7')) - (/>х(0) + 0г(Г)) = 0. /=1

Это равенство означает, что (х,й) удовлетворяет условию (7). Легко также проверить, что (х,и) удовлетворяет системе (1). Таким образом, (х,й) е К, и, следовательно, /¡(х,й) = 0, то есть

/,(*.й) = £а 1/,(х|-,и<)-/1(х,н) = 0. (8)

/=1

Обозначим: Х = (/л(х1,и1),...,/}(хг ,и ))г. Тогда из (8) для пары (х,и),

удовлетворяющей (1), получим

А(х,и)=< х,Рх(0) + дх(Т)>.

Лемма доказана.

ТЕОРЕМА (принцип максимума). Если (х*,"*) - решение задачи (1) - (3), то существуют векторы ХеЕт, ц(1)е Е"(1 = 0,...,Т -1) такие, что:

1) выполняется сопряженное уравнение

Ч/(Г)=ЛГЧ/(Г + \)-Мх(1), М),...,7-1; (9)

2) выполняются условия трансверсальности

4/(0 ) = -РГХ, (10)

^'П = дТХ- (11)

3) оптимальное управление определяется по формуле

Доказательство. Возьмем пару (дг,м), удовлетворяющую системе (1) Используя леммы 1,2, запишем уравнение Эйлера

- А.0£[<Л/х * (/),*(/) > + <1)и* (/),и(0 < КРх(0) + е*(Г) >= 0. (12)

1-0

Здесь Я.0 * 0, так как в противном случае /0 = 0, /[ = 0, что противоречит теореме Дубовицкого-Милютина, то есть можно считать, что = 1

Возьмем последовательность л-векторов у = {у(0),...,ч/(7' -1)}. Умножим (1) скалярно на >у(Г + 1), просуммируем по I от 0 до 7-1 и сложим с (12). Получим

-^[<Мх* (0,*(0 > + <Ои* (1),и(1) >}4- < Х,Рх(0) + ()х(Т) > + (=0

Г-1

+ Х<М'С + 1), -*(Г + 1) + Л*(0 + Яи(0>=0>

1=0

или

т-\ ,

- * (г),х(0 > + <Ии* (0,и(0 >}<- < Х,Рх(0) + бх(Г) > -

1=0

- £< 4/(0, лс(0 >+ < у(0),х(0)>-< 4/(7-),*(Г) > + (13) /=0

г-1 _ г-1

+ £< УС + 1),х(/) > + £< в ЧЧ' + 1),и(0 >= 0-1=0 1=0

Выберем чЧО как решение задачи Коши:

ц/(0 = + 1 )-Мх* (Г), ( = 0.....Г - 1 ч>СП = ОтК

Это будет означать, что выполняются условия (9), (11). При этом вместо (13) будем иметь

Г-1

- £[< йи * (/),"(') < РТК*Ф) > + < у(0),дг(0) > +

+ Х<вгч/(г + 1),и(0>=о. 1=0

На управление не наложено никаких ограничений, поэтому можно взять ы(?) = 0. Тогда <РгА.,д:(0)> + <:у(0),д:(0)>=0, и из-за произвольности х(0) отсюда будет следовать условие (10). Кроме того, получим

- £[< Пи * (0М0 >]+ Х< Вгч>(( + 1),и(0 >=0 . (15)

г=0 1=0

Так как в (15) управление ы={и(0),...,ы(У-1)} можно выбирать произвольно, то будем иметь

< Втц/(1 +1) - Ои * (ОАО >=0, / = 0,...7' -1, откуда В7 ц/(1 + 1)- Ои*(0 = 0 (/= 0,...7" - 1), то есть выполняется условие 3). Теорема доказана.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Дубовицкий А.Я, Милютин А А Задачи на экстремум при наличии ограничений // ЖВМ и МФ. 1965 № 3 С. 395 - 453.

2. Трошина НЮ Принцип максимума и задача силтеза для линейных дискретных систем Дис .. канд физ.-мат. наук Саратов, 1997 144 с

Е. А. Трушкова

УДК 517.977/977.58

ФУНКЦИИ, СИНТЕЗИРУЮЩИЕ СЕМЕЙСТВА ОПТИМАЛЬНЫХ ТРАЕКТОРИЙ ЛИНЕЙНЫХ УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ

( 0 1 .. 0 0

0 0 ; •• 9 0

0 0 . о

•• -£2 -ё\)

Рассмотрим управляемую систему

х(0=М0 + Ьи(0, (1)

где х(0 = (*,(/),...,д:л(0)7 б^Л«;!], и(Ое ¿2[о,1], Ь = (0,0,...,1)г е

А= : -матрица лхи, где е/?,/ = 1,2,....и.

Рассмотрим также функционалы качества следующего вида:

О О а

где М - неотрицательно определенная матрица пхп, а е(0;I).

Пусть Ъ - множество задач оптимального управления (1), /е[0;]], У—>гшп, с различными условиями, связывающими х(0), х(а) и х(1); - множество задач оптимального управления (1), /е[0;а], У0->пип, с различными условиями, связывающими дг(0) и х(а); Z1 - множество задач оптимального управления (1), Г е[а;1], J] ->тш , с различными условиями, связывающими х(а) и дг(1).