CC BY
13
УДК 517.51:519.6
Г. В. Хромова
ОБ АППРОКСИМАЦИИ ПРОИЗВОДНЫХ
НА ОТРЕЗКЕ
В данной работе формулы для конечных разностей увязываются с операторами, построенными на базе оператора Стеклова, и предлагается способ использования этих формул для аппроксимации производных на отрезке.
1. В [1] для получения равномерных приближений к непрерывной функции f(ж), заданной на отрезке [0, 1], было предложено семейство операторов Стеклова с разрывной областью значений (мы будем называть их разрывными операторами Стеклова)
^ [Sa2f, ж е [0,1/2],
\Salf, ж е [1/2,1],
где
БаЛ _- [ f (*) й1, Ба2f = ! / f (*) йг. а ] а ]
В [2] для получения приближения к непрерывной производной функции f (ж) было рассмотрено семейство интегральных операторов
ОБУ, ж е [0,1/2], ББи, ж е [1/2,1],
(2)
где О - оператор дифференцирования по ж. Функции и ОБа V рассматриваются как элементы подпространства из Ьто[0,1] с нормой
тах { У • Ус[0,1/2], У • Ус[1/2,1]} .
Пусть f (ж) е Ст[0,1], т > 1 - любое. Рассмотрим операторы:
Б(т) £ _) Бт>Л ж е [0,1/2], а -1 * ад, ж е [1/2,1],
^т^тг _ ) О Sа2f, ж е [0, 1/2], (1)
а * О'^-Б'^*, ж е [1/2,1], ()
где Dm - оператор дифференцирования по x порядка т. Теорема 1. Справедливы представления:
m
D-S^f = a-m £(-1)kCmf (x - ka) = Ami/, k=0
m
DmSm2f = a-m Cmf (x + (m - k)a), = Am/,
где
k=0
1
m > 1, a <
2т
Доказательство проводится по индукции.
Чтобы аргументы функций /, з = 1, 2, не выходили за границу
отрезка [0, 1], мы должны потребовать, чтобы выполнялись неравенства:
х — та > 0 при х Е [1/2,1], з = 1, х + та < 1 при х Е [0,1/2], з = 2.
Это приводит к ограничению на а: а < ^т? которое не является существенным в нашей задаче.
Таким образом, операторы, определенные в формуле (1), представ-
т
[ Amf, X Е [0,1/2], (2)
A f П Amif, x Е [1/2,1]. (2)
Теорема 2. Для любой /(х) Е Ст[0,1] прм а < 1/2т имеет, место сходимость
IIА?/ — /(т)И^[0,1]^ 0 ^ а ^ 0. (3)
Доказательство. Сходимость (3) эквивалентна сходимостям:
ЦДт2/ — /(т)11с[0,1/2] ^ 0 при а ^ 0, (4)
ЦА?1/ — /(т)||с[1/2,1] ^ 0 при а ^ 0, (6)
а сходимости (4),(5) имеют место, поскольку
Ат/ = Зт/(т), з = 1,2.
2. Пусть теперь функция /(х) задана ее ^-приближением /(х) в равномерной метрике: ||/(х) — /(х)||с[01] < 6. Построим в этом случае равномерные приближения к /(т) (х) на отрезке [0, 1] с помощью операторов А?-
Теорема 3. Для сходимости ЦДт^ — £\\ьж при а ^ 0 6 ^ 0 достаточно выполнения согласования а _ а(6) такого, что а(6) ^ 0 и 5(а(5))—т ^ 0 щи 6 ^ 0.
Доказательство следует из формулы (2), оценок:
цдт^ — £ (т)Уьто < — f (т)Уьто + бцдтус^,
Am Ii ^ om^ —m
аWc^L ^ 2 а
и а iic —
и теоремы 2.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект Ks 1301-00238).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1, Хромов А. П., Хромова Г. В. Об одной модификации оператора Стеклова // Современные проблемы теории функций и их приложения : тез, докл. Сарат, зимней шк, Саратов : Изд-во Сарат, ун-та, 2010, 181 е,
2, Хромов А. А. О приближении функции вместе е ее производной на отрезке // Современные проблемы теории функций и их приложения : материалы 17-й Междунар, Сарат, зимней шк, Саратов : «Научная книга», 2014, С, 285-287,
УДК 516.9
В. Р. Шебалдин
О НЕОБХОДИМЫХ УСЛОВИЯХ ЭКСТРЕМУМА В ОДНОЙ ЗАДАЧЕ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ С ФАЗОВЫМИ ОГРАНИЧЕНИЯМИ
Рассмотрим следующую задачу оптимального управления: с нелинейными дифференциальными связями на конечном отрезке времени
x(t) = f (x(t),u(t)), x(to) = xo, t e [to,T], (1)
с ограничениями на управление u(t) e U, для почти всех
t e [to,T], (2)
и с недифференцируемыми ограничениями на фазовые переменные вида
|xi(ti) — xi(tj)| < c (3)
где l = 1, n, ti,tj e [t0,T], i = 1, q — 1,j = 2,q,i < j набор фиксиро-
c
критерием качества
f Т
J(x,u)= f0(x,u,t)dt ^ min, (4)
Jto
