Научная статья на тему 'Регуляризация уравнения Абеля с помощью разрывного оператора Стеклова'

Регуляризация уравнения Абеля с помощью разрывного оператора Стеклова Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
133
35
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
УРАВНЕНИЕ АБЕЛЯ / ОПЕРАТОР СТЕКЛОВА / РАВНОМЕРНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ / ОТРЕЗОК / ABEL EQUATION / STEKLOV OPERATOR / UNIFORM APPROXIMATIONS / CLOSED INTERVAL

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Хромова Г. В.

Для нахождения равномерных приближений к точному решению уравнения Абеля с приближенно заданной правой частью предложено простое по конструкции семейство интегральных операторов.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Regularization of Abel Equation with the Use of Discontinuous Steklov Operator

For getting uniform approximations of the exact solution of Abel equation with an approximate right-hand part a simply constructed family of integral operators is suggested.

Текст научной работы на тему «Регуляризация уравнения Абеля с помощью разрывного оператора Стеклова»

Г. В. Хромова. Регуляризация уравнения Абеля с помощью разрывного оператора Стеклова

Approximation of Function and Its Derivative by the Modificated Steklov Operator

A. A. Khromov

Saratov State University, 83, Astrakhanskaya str., Saratov, 410012, Russia, KhromovAP@info.sgu.ru

With the use of modification of Steklov operator are constructed families of integral operator which allow us to get uniform derivative on a closed.

Keywords: derivative, uniform approximations, Steklov operator.

This work was supported by the Russian Foundation for Basic Research (project no. 13-01-00238). References

1. Ivanov V. K. Ob integral'nykh uravneniiakh Fredgol'ma prilozheniia: Tez. dokl. 15-i Sarat. zimn. shkoly [Modern

I roda [Fredholm integral equation of the first kind]. problems of function theory and their applications: Differents. uravneniia [Differ. Equations], 1967, vol. III, abstracts of the 15-th Saratov winter school], Saratov, no. 3, pp. 410-421 (in Russian). Saratov Univ. Press, 2010, pp. 181 (in Russian).

2. Khromov A. P., Khromova G. V. Ob odnoi modifikatsii 3. Khromova G. V. Error estimates of approximate solu-operatora Steklova [One modification of the Steklov tions to equations of the first kind. Doklady Math.. 2001, operator]. Sovremennye problemy teorii funktsii i ikh vol. 63, no. 3, 390-394.

УДК 517.51:571.968

РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ УРАВНЕНИЯ АБЕЛЯ С ПОМОЩЬЮ РАЗРЫВНОГО ОПЕРАТОРА СТЕКЛОВА

Г. В. Хромова

Доктор физико-математических наук, профессор кафедры математической физики и вычислительной математики, Саратовский государственный университет им. Н. Г. Чернышевского, KhromovAP@info.sgu.ru

Для нахождения равномерных приближений к точному решению уравнения Абеля с приближенно заданной правой частью предложено простое по конструкции семейство интегральных операторов.

Ключевые слова: уравнение Абеля, оператор Стеклова, равномерные приближения, отрезок.

1. Рассмотрим уравнение Абеля:

х

Au = J (x —в) u(t) dt = f (x), 0 <в< 1, 0 < x < 1. (1)

0

Пусть известно, что при данной f (x) существует непрерывная функция u(x), являющаяся решением уравнения (1), но сама функция f(x) нам неизвестна — вместо нее известна fs (x) такая, что

II fs — f II l2 < Поставим задачу: по fs (x) и S найти равномерные приближения к u(x).

Возьмем разрывный оператор Стеклова из [1]:

х+а

а / u(t)dt, x е [0,1/2],

x

а / u(t)dt, x е [1/2,1].

х-а

(2)

По методу, предложенному в [2], построим семейство операторов Яа = £аА-1. Теорема 1. Операторы Яа являются интегральными операторами с ядрами Яа(ж,£), имеющими вид

(аГ(1 — в))-1 R«2(x,t), x е [0,1/2], (аГ(1 — в))-1 R«i(x,t), x е [1/2,1],

Ra(x,t) = dz): ~ z--гУ _ (3)

Sau = {

© Хромова Г. В., 2014

Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2014. Т. 14, вып. 4, ч. 2

'(ж - t)—e - (ж - а - t)—e, 0 < t<x - а, Rai (М)=<(ж - t)—e, ж - а < t < ж, (4)

Д ж < t < 1,

' (ж + а - t)—в - (ж - t)—в, 0 < t < ж, Ra2 (ж, t) = \ (ж + а - t)—в, ж < t<ж + а, (5)

Д ж + а < t < 1.

Доказательство основано на том, что в данном случае вид оператора -1 известен:

x

A-i f = ш/ Ж-ß) f (t) dt (6)

0

Тогда из (2) и (6) следуют (3)-(5).

Теорема 2. Операторы Raj, j = 1, 2, при 0 < ß < 1/2 являются линейными, ограниченными при каждом значении а операторами, действующими из пространства L2 [0,1] в С[1/2,1] при j = 1 и в C[0,1/2] при j = 2. При этом справедлива двусторонняя оценка:

2ß+1 ,, ,, ^ 2ß + 1 „ ч Се а ~ < ||Ra|k ^ <\f2Cß а ~ , (7)

где Се = (Г(1 - ß))-1 (1 - 2ß)-1/2, || ■ ||Ьте = max {|| ■ ||с[0,1/2], || ■ ||с[1/2,1] }.

Доказательство. Из неравенства Буняковского следует, что операторы Raj, j = 1, 2, определены на всем пространстве L2 [0,1] и ограничены при каждом фиксированном а и 0 <ß< 1/2. Действительно, например для j = 1 и t <G [ж - а, ж) имеем:

(ж - t)-ef (t) dt

1/2

< / (ж - t)-2edt ||f ||l2 = (1 - 2ß) —1/2а1—2e|

IL2 •

Аналогичные оценки получаются для других интервалов изменения I и также для ] = 2. При этом значения интегральных операторов с ядрами (ж,£), определенными в (4), (5), являются непрерывными функциями на соответствующих половинах отрезка [0,1]. Это следует из непре-

х

рывности функции /(ж — £)-в/которая устанавливается при выводе формулы (6).

о

Далее, очевидно, что

НЯаН^з^Ьгс = тах { ||Ла1 ||ь2 [0,1]^С [1/2,1], ||^а2 11^2 [0ДНС[0,1/2] } • (8)

При этом

1 {)

||Да11|^2[0,1^01/2,1 = [аГ(1 — в)] 1^таХа I I (ж,^ I , (9)

1 Д \1/2

Ра2 Ць2[0ДНС0Д/2 = [аГ(1 — в)] 1 тах /^2(ж> ^ • (10)

0<х<1/м о у

Рассмотрим сначала операторы Ла1. Подставив (4) в (9) и сделав замену переменных ж — I = т, придем к выражению

1 х а

J л2а1 (ж, = I[т-в — (т — а)-в]2dт + I т-2в¿т.

0 а 0

Отсюда имеем:

J Ra1 (ж, t)dt > (1 - 2ß)-1а1-2в. (11)

0

x

x

x — a

x — a

Г. В. Хромова. Регулярпзацпя уравнения Абеля с помощью разрывного оператора Стеклова

Далее, поскольку т-в < (т — a)-e, то [т-в — (т — a)-e]2 < (т — a)-2e — т-2в, а отсюда следует:

х

У [т-в — (т — a)-e]2 dт < (1 — 2в)-1 [(x — a)1-2e — x1-2e + a1-2e].

а

Поскольку (x — a)1-2e < x1-2e, то в итоге приходим к оценке

1

J да1 (x,t)dt < 2(1 — 2в)-1 а1-2в. (12)

0

Аналогично подставив (5) в (10) и сделав замену: x + a — t = т, придем к оценкам (11), (12) для

1

/R22(x,t)dt. 0

Наконец, из (8)-(12) следует (7).

Следствие 1. Операторы Яа являются регуляризующими [3, с. 44] для уравнения (1). Доказательство. Поскольку ЯаA = £а, то требуемая для регуляризирующих операторов сходимость ||ЯаAu — u||L^ ^ 0, где u(x) — любая непрерывная функция, заданная на отрезке [0,1], выполняется. Остальные требования к таким операторам устанавливаются в теореме 2. Рассмотрим величину

Д(5, Яа, u) = sup (||Rafs — u||l^ : ||fs — f ||l2 < 5} •

Следствие 2. Для сходимости Д(5, Яа, u) ^ 0 при a ^ 0,5 ^ 0 необходимо и достаточно выполнения согласования a = a(5) такого, что a(5) ^ 0 и 5(a(5))-^ 0 при 5 ^ 0. Доказательство аналогично доказательству теоремы 1 из [4] с привлечением оценки (7).

2. Найдем конкретное согласование a = a(5), обеспечивающее неулучшаемую по порядку оценку погрешности приближенных решений уравнения (1) в случае, когда u(x) е LipM 1-Рассмотрим величину

Д(5, Яа, LipM 1) = sup {||Яаfs — u||ltc : u е LipM 1, ||fs — f ||l2 < 1} •

Теорема 3. Справедлива неулучшаемая по порядку 5 оценка:

1 2 2

2C1 (в)5та < Д(5,Яа^,LipM 1) < C2(в)5та, (13)

где

a(5) = Я(в )5 та, (14)

3+W ^ Г . ^ / т_\ < nw- 2в + 1

т

Я(в) = (21/2M-1 Ce(2в + 1)) 3+2в , С1(в) = MM^(в) + Св(Я(в))-^,

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

С2(в) отличается от С1(в) множителем 2 во втором слагаемом.

Доказательство. Пользуемся методом, приведенным в [5], и известной из теории некорректно поставленных задач оценкой:

1 p(a, 5) < Д(5, Яа, LipM 1) < p(a, 5), (15)

где

^(a,5) = Д1(Яа A,LipM 1) + 5||Яа|^ ^lх , (16)

Д1 (ЯаA, LipM 1) = sup {|^Au — u||l^ : u е LipM 1} •

Очевидно, что

Д1 (ЯаA, LipM 1) = Д1 (^а, LipM 1).

Математика

601

Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2014. Т. 14, вып. 4, ч. 2 Далее, из условия Липшица следует оценка

а

Ai(Sa,LipM 1) < M2 ,

которая достигается на функции f0(x) = Mx. Отсюда получаем равенство:

а

Ai(RaA,LipM 1) = M2 . (17)

Из равенств (16), (17) и двусторонней оценки (7) получаем оценку:

Ф1(а, 5) < ^(а, 5) < Ф2(а, 5),

где Ф1(а,5) = Mа +Сва-, а Ф2(а,5) отличается от Ф1 (а, 5) множителем л/2 во втором слагаемом. В соответствии с [5] найдем а = а(5) из условия Ф2 (а, 5) ^ inf и придем к формуле (14).

а

Подставляя (14) в оценку (15), получаем оценку (13).

Сравнение регуляризации, проведенной здесь, с регуляризацией уравнения Абеля из [6] показывает, что в данном случае и семейство регуляризирующих операторов, и доказательства соответствующих теорем являются более простыми.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 13-01-00238).

Библиографический список

1. Хромов А. П., Хромова Г. В. Об одной модификации 4. Иванов В. К. Об интегральных уравнениях Фред-оператора Стеклова // Современные проблемы теории гольма первого рода // Дифференц. уравнения. 1967. функций и их приложения : тез. докл. 15-й Сарат. зимн. j щ № 3 C 410-421

школы. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 2010. C. 181.

2. Хромова Г. В. Об одном способе построения мето- 5. Хромова Г- В. Об °ценках п°грешн°сти приближен-дов регуляризации уравнений первого рода // Журн. ных решений уравнений первого рода // Докл. АН. вычисл. матем. и матем. физ. 2000. Т. 40, № 7. C. 997- 2001. Т. 378, № 5. C. 605-609.

1002.

6. Хромова Г. В. О приближенных решениях уравне-

3. Иванов В. К., Васин В. В., Танана В. П. 1еория ' ^ ^

линейных некорректных задач и ее приложения. М. : ния Абеля // Вестн. Моск. ун-та. Сер. Ш. 2°Ш. № 3. Наука, 1978. 206 с. C. 5-9.

Regularization of Abel Equation with the Use of Discontinuous Steklov Operator

G. V. Khromova

Saratov State University, 83, Astrakhanskaya str., Saratov, 410012, Russia, KhromovAP@info.sgu.ru

For getting uniform approximations of the exact solution of Abel equation with an approximate right-hand part a simply constructed family of integral operators is suggested.

Keywords: Abel equation, Steklov operator, uniform approximations, closed interval.

This work was supported by the Russian Foundation for Basic Research (project no. 13-01-00238).

References

1. Khromov A. P., Khromova G. V. Ob odnoi modifikatsii operatora Steklova [One modification of the Steklov operator]. Sovremennye problemy teorii funktsii i ikh prilozheniia: Tez. dokl. 15-i Sarat. zimn. shkoly [Modern problems of function theory and their applications: abstracts of the 15-th Saratov winter school], Saratov, Saratov Univ. Press, 2010, pp. 181 (in Russian).

2. Khromova G. V. On a technique for constructing regularization methods for equations of the first kind.

Comput. Math. Math. Phys., 2000, vol. 40, no. 7, pp. 955-960.

3. Ivanov V. K., Vasin V. V., Tanana V. P. Teoriya lineinykh nekorrektnykh zadach i ee prilozheniya [Theory of linear ill-posed problems and its applications]. Moscow, Nauka, 1978, 206 p.(in Russian).

4. Ivanov V. K. Ob integral'nykh uravneniiakh Fredgol'ma I roda [Fredholm integral equation of the first kind]. Differents. uravneniia [Differ. Equations], 1967, vol. III, no. 3, pp. 410-421 (in Russian).

O. Y\. Шаталина. О приближении и восстановлении непрерывных функций с краевыми условиями

5. Khromova G. V. Error estimates of approximate solu- 6. Khromova G. V. On the approximate solutions of tions to equations of the first kind. Doklady Math.. 2001, the Abel's equation. Vestnik Moskovskogo universiteta. vol. 63, no. 3, 390-394. Ser. 15, 2001, no. 4, pp. 5-9 (in Russian).

УДК 517.51

О ПРИБЛИЖЕНИИ И ВОССТАНОВЛЕНИИ НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ

С КРАЕВЫМИ УСЛОВИЯМИ

О. И. Шаталина

Специалист отдела расчетных операций, Локо-Банк, Саратов, OShatalina@srt.lockobank.ru

В работе приведено семейство интегральных операторов, с помощью которых получаются равномерные приближения к непрерывной функции, удовлетворяющей краевым условиям (при этом указанные приближения удовлетворяют тем же условиям), и решена задача типа Колмогорова-Никольского на некотором компактном классе. Кроме того, с помощью полученного семейства интегральных операторов решается известная задача из теории некорректно поставленных задач, так называемая задача восстановления непрерывной функции по ее среднеквадратичному приближению.

Ключевые слова: функционал Тихонова, семейство интегральных операторов, некорректно поставленная задача, задача типа Колмогорова-Никольского, равномерные приближения.

1. Пусть непрерывная функция u(x) удовлетворяет краевому условию:

U(ü) = в1 u(0) + 02u(1) = 0, в2 + > 0. (1)

Получим равномерные приближения к u(x), используя модификацию функционала Тихонова, известного в теории некорректно поставленных задач [1], а именно рассмотрим функционал

Ma[u,u] = Иu - U|||2 + a||"u||W2i, (2)

( 1 \1/2

где a > 0 — параметр, ||u||W;i = ( /(pu2 + (qu')2) dx I , p, q — положительные константы. Это

так называемый тихоновский функционал, но в данном случае он связывается не с интегральными уравнениями 1-го рода, как у А. Н. Тихонова, а с простейшим уравнением 1-го рода — уравнением с оператором вложения из пространства C[0,1] в пространство L2[0,1]. При этом будем считать допустимыми функциями функции, удовлетворяющие условию (1).

Обозначим через ua(x) — функции, минимизирующие функционал (2) при каждом фиксированном значении a. Существование этих функций при каждом фиксированном a доказывается точно так же, как в классической постановке А. Н. Тихонова [2].

Лемма 1. Минимизирующие функции ua (x) при каждом фиксированном a являются решением краевой задачи:

'-qy'' + (p + a )у = au

< 01 y(0) + 02y(1)=0, (3)

J2 y'(0) + 01 y'(1) = 0. Доказательство. Рассмотрим функционал (2) и его приращение

AMa [u, u] = Ma[ua + 0n, u] - Ma[ua, u],

где n(x) <E W2 [0,1] и удовлетворяет условию (1), 0 > 0 — произвольное вещественное число. Сделав необходимые преобразования, учитывая свойства скалярного произведения, получаем:

AMa[u, u] = 20 I(ua - u, n)L2 + a(ua, n)w2 } + 02 { NHL + a||n||} . Приравнивая линейную часть приращения функционала к нулю, получаем:

(ua - u,n)L2 + a(ua,n)w2i = 0. (4)

© Шаталина О. И, 2014

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.