CC BY
35
Г. В. Хромова. Регуляризация уравнения Абеля с помощью разрывного оператора Стеклова
Approximation of Function and Its Derivative by the Modificated Steklov Operator
A. A. Khromov
Saratov State University, 83, Astrakhanskaya str., Saratov, 410012, Russia, KhromovAP@info.sgu.ru
With the use of modification of Steklov operator are constructed families of integral operator which allow us to get uniform derivative on a closed.
Keywords: derivative, uniform approximations, Steklov operator.
This work was supported by the Russian Foundation for Basic Research (project no. 13-01-00238). References
1. Ivanov V. K. Ob integral'nykh uravneniiakh Fredgol'ma prilozheniia: Tez. dokl. 15-i Sarat. zimn. shkoly [Modern
I roda [Fredholm integral equation of the first kind]. problems of function theory and their applications: Differents. uravneniia [Differ. Equations], 1967, vol. III, abstracts of the 15-th Saratov winter school], Saratov, no. 3, pp. 410-421 (in Russian). Saratov Univ. Press, 2010, pp. 181 (in Russian).
2. Khromov A. P., Khromova G. V. Ob odnoi modifikatsii 3. Khromova G. V. Error estimates of approximate solu-operatora Steklova [One modification of the Steklov tions to equations of the first kind. Doklady Math.. 2001, operator]. Sovremennye problemy teorii funktsii i ikh vol. 63, no. 3, 390-394.
УДК 517.51:571.968
РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ УРАВНЕНИЯ АБЕЛЯ С ПОМОЩЬЮ РАЗРЫВНОГО ОПЕРАТОРА СТЕКЛОВА
Г. В. Хромова
Доктор физико-математических наук, профессор кафедры математической физики и вычислительной математики, Саратовский государственный университет им. Н. Г. Чернышевского, KhromovAP@info.sgu.ru
Для нахождения равномерных приближений к точному решению уравнения Абеля с приближенно заданной правой частью предложено простое по конструкции семейство интегральных операторов.
Ключевые слова: уравнение Абеля, оператор Стеклова, равномерные приближения, отрезок.
1. Рассмотрим уравнение Абеля:
х
Au = J (x —в) u(t) dt = f (x), 0 <в< 1, 0 < x < 1. (1)
0
Пусть известно, что при данной f (x) существует непрерывная функция u(x), являющаяся решением уравнения (1), но сама функция f(x) нам неизвестна — вместо нее известна fs (x) такая, что
II fs — f II l2 < Поставим задачу: по fs (x) и S найти равномерные приближения к u(x).
Возьмем разрывный оператор Стеклова из [1]:
х+а
а / u(t)dt, x е [0,1/2],
x
а / u(t)dt, x е [1/2,1].
х-а
(2)
По методу, предложенному в [2], построим семейство операторов Яа = £аА-1. Теорема 1. Операторы Яа являются интегральными операторами с ядрами Яа(ж,£), имеющими вид
(аГ(1 — в))-1 R«2(x,t), x е [0,1/2], (аГ(1 — в))-1 R«i(x,t), x е [1/2,1],
Ra(x,t) = dz): ~ z--гУ _ (3)
Sau = {
© Хромова Г. В., 2014
Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2014. Т. 14, вып. 4, ч. 2
'(ж - t)—e - (ж - а - t)—e, 0 < t<x - а, Rai (М)=<(ж - t)—e, ж - а < t < ж, (4)
Д ж < t < 1,
' (ж + а - t)—в - (ж - t)—в, 0 < t < ж, Ra2 (ж, t) = \ (ж + а - t)—в, ж < t<ж + а, (5)
Д ж + а < t < 1.
Доказательство основано на том, что в данном случае вид оператора -1 известен:
x
A-i f = ш/ Ж-ß) f (t) dt (6)
0
Тогда из (2) и (6) следуют (3)-(5).
Теорема 2. Операторы Raj, j = 1, 2, при 0 < ß < 1/2 являются линейными, ограниченными при каждом значении а операторами, действующими из пространства L2 [0,1] в С[1/2,1] при j = 1 и в C[0,1/2] при j = 2. При этом справедлива двусторонняя оценка:
2ß+1 ,, ,, ^ 2ß + 1 „ ч Се а ~ < ||Ra|k ^ <\f2Cß а ~ , (7)
где Се = (Г(1 - ß))-1 (1 - 2ß)-1/2, || ■ ||Ьте = max {|| ■ ||с[0,1/2], || ■ ||с[1/2,1] }.
Доказательство. Из неравенства Буняковского следует, что операторы Raj, j = 1, 2, определены на всем пространстве L2 [0,1] и ограничены при каждом фиксированном а и 0 <ß< 1/2. Действительно, например для j = 1 и t <G [ж - а, ж) имеем:
(ж - t)-ef (t) dt
1/2
< / (ж - t)-2edt ||f ||l2 = (1 - 2ß) —1/2а1—2e|
IL2 •
Аналогичные оценки получаются для других интервалов изменения I и также для ] = 2. При этом значения интегральных операторов с ядрами (ж,£), определенными в (4), (5), являются непрерывными функциями на соответствующих половинах отрезка [0,1]. Это следует из непре-
х
рывности функции /(ж — £)-в/которая устанавливается при выводе формулы (6).
о
Далее, очевидно, что
НЯаН^з^Ьгс = тах { ||Ла1 ||ь2 [0,1]^С [1/2,1], ||^а2 11^2 [0ДНС[0,1/2] } • (8)
При этом
1 {)
||Да11|^2[0,1^01/2,1 = [аГ(1 — в)] 1^таХа I I (ж,^ I , (9)
1 Д \1/2
Ра2 Ць2[0ДНС0Д/2 = [аГ(1 — в)] 1 тах /^2(ж> ^ • (10)
0<х<1/м о у
Рассмотрим сначала операторы Ла1. Подставив (4) в (9) и сделав замену переменных ж — I = т, придем к выражению
1 х а
J л2а1 (ж, = I[т-в — (т — а)-в]2dт + I т-2в¿т.
0 а 0
Отсюда имеем:
J Ra1 (ж, t)dt > (1 - 2ß)-1а1-2в. (11)
0
x
x
x — a
x — a
Г. В. Хромова. Регулярпзацпя уравнения Абеля с помощью разрывного оператора Стеклова
Далее, поскольку т-в < (т — a)-e, то [т-в — (т — a)-e]2 < (т — a)-2e — т-2в, а отсюда следует:
х
У [т-в — (т — a)-e]2 dт < (1 — 2в)-1 [(x — a)1-2e — x1-2e + a1-2e].
а
Поскольку (x — a)1-2e < x1-2e, то в итоге приходим к оценке
1
J да1 (x,t)dt < 2(1 — 2в)-1 а1-2в. (12)
0
Аналогично подставив (5) в (10) и сделав замену: x + a — t = т, придем к оценкам (11), (12) для
1
/R22(x,t)dt. 0
Наконец, из (8)-(12) следует (7).
Следствие 1. Операторы Яа являются регуляризующими [3, с. 44] для уравнения (1). Доказательство. Поскольку ЯаA = £а, то требуемая для регуляризирующих операторов сходимость ||ЯаAu — u||L^ ^ 0, где u(x) — любая непрерывная функция, заданная на отрезке [0,1], выполняется. Остальные требования к таким операторам устанавливаются в теореме 2. Рассмотрим величину
Д(5, Яа, u) = sup (||Rafs — u||l^ : ||fs — f ||l2 < 5} •
Следствие 2. Для сходимости Д(5, Яа, u) ^ 0 при a ^ 0,5 ^ 0 необходимо и достаточно выполнения согласования a = a(5) такого, что a(5) ^ 0 и 5(a(5))-^ 0 при 5 ^ 0. Доказательство аналогично доказательству теоремы 1 из [4] с привлечением оценки (7).
2. Найдем конкретное согласование a = a(5), обеспечивающее неулучшаемую по порядку оценку погрешности приближенных решений уравнения (1) в случае, когда u(x) е LipM 1-Рассмотрим величину
Д(5, Яа, LipM 1) = sup {||Яаfs — u||ltc : u е LipM 1, ||fs — f ||l2 < 1} •
Теорема 3. Справедлива неулучшаемая по порядку 5 оценка:
1 2 2
2C1 (в)5та < Д(5,Яа^,LipM 1) < C2(в)5та, (13)
где
a(5) = Я(в )5 та, (14)
3+W ^ Г . ^ / т_\ < nw- 2в + 1
т
Я(в) = (21/2M-1 Ce(2в + 1)) 3+2в , С1(в) = MM^(в) + Св(Я(в))-^,
С2(в) отличается от С1(в) множителем 2 во втором слагаемом.
Доказательство. Пользуемся методом, приведенным в [5], и известной из теории некорректно поставленных задач оценкой:
1 p(a, 5) < Д(5, Яа, LipM 1) < p(a, 5), (15)
где
^(a,5) = Д1(Яа A,LipM 1) + 5||Яа|^ ^lх , (16)
Д1 (ЯаA, LipM 1) = sup {|^Au — u||l^ : u е LipM 1} •
Очевидно, что
Д1 (ЯаA, LipM 1) = Д1 (^а, LipM 1).
Математика
601
Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2014. Т. 14, вып. 4, ч. 2 Далее, из условия Липшица следует оценка
а
Ai(Sa,LipM 1) < M2 ,
которая достигается на функции f0(x) = Mx. Отсюда получаем равенство:
а
Ai(RaA,LipM 1) = M2 . (17)
Из равенств (16), (17) и двусторонней оценки (7) получаем оценку:
Ф1(а, 5) < ^(а, 5) < Ф2(а, 5),
где Ф1(а,5) = Mа +Сва-, а Ф2(а,5) отличается от Ф1 (а, 5) множителем л/2 во втором слагаемом. В соответствии с [5] найдем а = а(5) из условия Ф2 (а, 5) ^ inf и придем к формуле (14).
а
Подставляя (14) в оценку (15), получаем оценку (13).
Сравнение регуляризации, проведенной здесь, с регуляризацией уравнения Абеля из [6] показывает, что в данном случае и семейство регуляризирующих операторов, и доказательства соответствующих теорем являются более простыми.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 13-01-00238).
Библиографический список
1. Хромов А. П., Хромова Г. В. Об одной модификации 4. Иванов В. К. Об интегральных уравнениях Фред-оператора Стеклова // Современные проблемы теории гольма первого рода // Дифференц. уравнения. 1967. функций и их приложения : тез. докл. 15-й Сарат. зимн. j щ № 3 C 410-421
школы. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 2010. C. 181.
2. Хромова Г. В. Об одном способе построения мето- 5. Хромова Г- В. Об °ценках п°грешн°сти приближен-дов регуляризации уравнений первого рода // Журн. ных решений уравнений первого рода // Докл. АН. вычисл. матем. и матем. физ. 2000. Т. 40, № 7. C. 997- 2001. Т. 378, № 5. C. 605-609.
1002.
6. Хромова Г. В. О приближенных решениях уравне-
3. Иванов В. К., Васин В. В., Танана В. П. 1еория ' ^ ^
линейных некорректных задач и ее приложения. М. : ния Абеля // Вестн. Моск. ун-та. Сер. Ш. 2°Ш. № 3. Наука, 1978. 206 с. C. 5-9.
Regularization of Abel Equation with the Use of Discontinuous Steklov Operator
G. V. Khromova
Saratov State University, 83, Astrakhanskaya str., Saratov, 410012, Russia, KhromovAP@info.sgu.ru
For getting uniform approximations of the exact solution of Abel equation with an approximate right-hand part a simply constructed family of integral operators is suggested.
Keywords: Abel equation, Steklov operator, uniform approximations, closed interval.
This work was supported by the Russian Foundation for Basic Research (project no. 13-01-00238).
References
1. Khromov A. P., Khromova G. V. Ob odnoi modifikatsii operatora Steklova [One modification of the Steklov operator]. Sovremennye problemy teorii funktsii i ikh prilozheniia: Tez. dokl. 15-i Sarat. zimn. shkoly [Modern problems of function theory and their applications: abstracts of the 15-th Saratov winter school], Saratov, Saratov Univ. Press, 2010, pp. 181 (in Russian).
2. Khromova G. V. On a technique for constructing regularization methods for equations of the first kind.
Comput. Math. Math. Phys., 2000, vol. 40, no. 7, pp. 955-960.
3. Ivanov V. K., Vasin V. V., Tanana V. P. Teoriya lineinykh nekorrektnykh zadach i ee prilozheniya [Theory of linear ill-posed problems and its applications]. Moscow, Nauka, 1978, 206 p.(in Russian).
4. Ivanov V. K. Ob integral'nykh uravneniiakh Fredgol'ma I roda [Fredholm integral equation of the first kind]. Differents. uravneniia [Differ. Equations], 1967, vol. III, no. 3, pp. 410-421 (in Russian).
O. Y\. Шаталина. О приближении и восстановлении непрерывных функций с краевыми условиями
5. Khromova G. V. Error estimates of approximate solu- 6. Khromova G. V. On the approximate solutions of tions to equations of the first kind. Doklady Math.. 2001, the Abel's equation. Vestnik Moskovskogo universiteta. vol. 63, no. 3, 390-394. Ser. 15, 2001, no. 4, pp. 5-9 (in Russian).
УДК 517.51
О ПРИБЛИЖЕНИИ И ВОССТАНОВЛЕНИИ НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ
С КРАЕВЫМИ УСЛОВИЯМИ
О. И. Шаталина
Специалист отдела расчетных операций, Локо-Банк, Саратов, OShatalina@srt.lockobank.ru
В работе приведено семейство интегральных операторов, с помощью которых получаются равномерные приближения к непрерывной функции, удовлетворяющей краевым условиям (при этом указанные приближения удовлетворяют тем же условиям), и решена задача типа Колмогорова-Никольского на некотором компактном классе. Кроме того, с помощью полученного семейства интегральных операторов решается известная задача из теории некорректно поставленных задач, так называемая задача восстановления непрерывной функции по ее среднеквадратичному приближению.
Ключевые слова: функционал Тихонова, семейство интегральных операторов, некорректно поставленная задача, задача типа Колмогорова-Никольского, равномерные приближения.
1. Пусть непрерывная функция u(x) удовлетворяет краевому условию:
U(ü) = в1 u(0) + 02u(1) = 0, в2 + > 0. (1)
Получим равномерные приближения к u(x), используя модификацию функционала Тихонова, известного в теории некорректно поставленных задач [1], а именно рассмотрим функционал
Ma[u,u] = Иu - U|||2 + a||"u||W2i, (2)
( 1 \1/2
где a > 0 — параметр, ||u||W;i = ( /(pu2 + (qu')2) dx I , p, q — положительные константы. Это
так называемый тихоновский функционал, но в данном случае он связывается не с интегральными уравнениями 1-го рода, как у А. Н. Тихонова, а с простейшим уравнением 1-го рода — уравнением с оператором вложения из пространства C[0,1] в пространство L2[0,1]. При этом будем считать допустимыми функциями функции, удовлетворяющие условию (1).
Обозначим через ua(x) — функции, минимизирующие функционал (2) при каждом фиксированном значении a. Существование этих функций при каждом фиксированном a доказывается точно так же, как в классической постановке А. Н. Тихонова [2].
Лемма 1. Минимизирующие функции ua (x) при каждом фиксированном a являются решением краевой задачи:
'-qy'' + (p + a )у = au
< 01 y(0) + 02y(1)=0, (3)
J2 y'(0) + 01 y'(1) = 0. Доказательство. Рассмотрим функционал (2) и его приращение
AMa [u, u] = Ma[ua + 0n, u] - Ma[ua, u],
где n(x) <E W2 [0,1] и удовлетворяет условию (1), 0 > 0 — произвольное вещественное число. Сделав необходимые преобразования, учитывая свойства скалярного произведения, получаем:
AMa[u, u] = 20 I(ua - u, n)L2 + a(ua, n)w2 } + 02 { NHL + a||n||} . Приравнивая линейную часть приращения функционала к нулю, получаем:
(ua - u,n)L2 + a(ua,n)w2i = 0. (4)
© Шаталина О. И, 2014
