Представление целых функций обобщенными рядами экспонент Текст научной статьи по специальности «Математика»

Очевидно, >0.

Шаг 4. Для каждой константы а е [0,1] определим функцию

а*(г,а) = 11*(/) + а(у*(/)-н*(0)-

Шаг 5. Выберем ак из условия JQ(llk (7,а*)) < J0{uk).

Щагб. Если ¡лк< Ек, то положим е*+| = Ре*, (3 = сош/, р е (0,1), ик+] = ик; если ц кжк , то определим е* + |= еа, г/+| = ик (/,«*) и перейдём к шагу 1.

В качестве обоснования данного алгоритма можно доказать следующую теорему, аналогичную доказанной в [2].

ТЕОРЕМА 2. Построенный алгоритм обеспечивает монотонное убывание критерия качества, при этом имеют место равенства

Пт гк= 0, Нт ц*=0.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Дубовицкий А. Я., Милютин А. А. Задачи на экстремум при наличии ограничений //ЖВМ и МФ. 1965 . К» 3. С. 395 -493.

2. Шебалдин В. Р.О существовании минимизирующей последовательности в задаче оптимального управления с фазовыми ограничениями. Саратов, 1999. 10 с Деп. в ВИНИТИ, № 2597-В99ДЕП.

УДК 517.5

В. И. Шевцов

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ ОБОБЩЁННЫМИ РЯДАМИ ЭКСПОНЕНТ

В данной статье рассматриваются ряды вида

Е4/М. (!)

4=1

аз

где /(г) = - целая функция порядка р, 0 < р < со и типа а Ф 0,оо,

к=0

1 I

Г,„,крЦ\ак\=(аер)р. (2)

Представление целых функций рядами вида (1) изучались многими математиками. Фундаментальные исследования по теории представления функций рядами (1) проведены А.Ф. Леонтьевым [1,2] и его учениками.

Пусть ¿,(Я)= ~ целая функция порядка р, (р, > р) и типа

к= О

оо

Ь2(Х) = - целая функция порядка р, и типа Предполо-

к~0

жим, что все нули функций Ь\(к) и Ь2(Х) - простые и эти функции не имеют общих нулей, обозначим их соответственно через (/.^ }"=] и

Ым-

Введём необходимые для дальнейшего обозначения

Ф(х,3;) = (хр2)РЧ№,)р,(о1р) р, (3)

где — = -—'-, х > 0, >> > 0 , с, =тах(ст||\с^2)) и о, = с^1)+ар).

Р2 Р Р|

Пусть затем

ОО

(4)

к=О

- целая функция порядка р2 и типа а2, а<а2<Ь, где ф(а,0|)=1, (р(й,СТ| )= 1, Класс таких целых функций обозначим через А. По определению выражение

= = (5)

к~п ак

называется обобщённой производной порядка п функции , порожденной функцией /(г). Обозначим через А подкласс А такой, что любая

функция Р' е А' удовлетворяет следующей системе уравнений бесконечного порядка в обобщенных производных:

(Л= о* *■(*) = о,

к=о

= 0. (6)

к=0

Предполагаем, что класс А непустой. Отметим, что если функция Р е а' имеет тип а2 < а и удовлетворяет системе (6), то /г(г)=0, это утверждение доказано в [4]. Ограничение сверху на тип ст2 обеспечивает сходимость рядов в (6) для любой функции F е Л.

Обозначим через С'/^ц) (п = 0,1,2,..., / = 1,2) тейлоровские коэффициенты функций

п=О

147

Функции

л=0

называются интерполирующими. Если Ре А, то интерполирующие функции являются целыми функциями комплексного переменного ц. Свойства таких функций подробно изучены в [1 - 2] (см. также [3]). Функции приведём в соответствие ряды

/Ч*)-!\АкП\кг), (8)

к=1

]Вк/(цк2), (9)

к=1

Л „

где Ак =-;-, Вк =-;-.

' /(0)1, ть2^к)

Рассмотрим случай, когда функция ДА.) = Ьх (Я.)Л2 (Я.) удовлетворяет условию: имеются окружности Ш = гк , гк Т оо, на которых

1п |Щ)| > (а, - еЩ* , = гк, к > К(г), (10)

где е > 0 - любое.

Сформулируем следующую теорему.

ТЕОРЕМА 1. Если Г е А , функция ¿(А.) удовлетворяет условию (10), тогда последовательность £?*(*)= ^ \Ajf('KjZ)~B¡f(\X|Z)\ схо-

К <гк

|м> <гк

дится к нулю равномерно на любом компакте и справедлива следующая оценка: ¡£?*(г)| < , где у определяется из уравнений

ф(ст2, ст, + 6) = 1, ф(у,5) = 1.

Доказательство теоремы 1 основано на следующей лемме. ЛЕММА. Если РеА*, тогда у (г) = ^ (г,/7)-Ь2{г)Шц -

целая функция порядка р, и типа а < а, - 5, где 8 определяется из уравнения ф(а2, а, + 8) = 1.

Укажем также на теорему, которая доказывается непосредственным применением теоремы 1.

ТЕОРЕМА 2. Пусть Ге А* и выполнено условие (10), если ряд (8) сходится равномерно на любом компакте и сумма его равна /г(г), тогда последовательность ^ B¡f{\\.jZ) сходится равномерно на любом ком-

пакте к функции /-"(г).

Отметим в заключение, что теоремы типа 1 и 2 для функции /{г) = е" и более сильных ограничений приведены в [3, 4].

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Леонтьев А. Ф. Ряды экспонент. М., 1976.

2. Леонтьев А. Ф. Обобщения рядов экспонент. М., 1981.

3. Шевцов В. И. Об одной системе уравнений бесконечного порядка // Теория функций и приближений. Саратов, 1983. С. 40 - 45.

4. Шевцов В. И. Об одной системе уравнений бесконечного порядка // Теория приближения функций: Тр. междунар. конф. по теории приближения функций. 31 мая -5 июня 1983 г., Киев. М., 1987. С. 476 - 477.

УДК 517.51:518

Е. В. Шишкова

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ КОЛМОГОРОВА - НИКОЛЬСКОГО ДЛЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ С ПОЛИНОМИАЛЬНЫМИ ФИНИТНЫМИ ЯДРАМИ*

В статье решается задача Колмогорова - Никольского для интегральных операторов с полиномиальными финитными ядрами на ограниченных множествах пространства Соболева.

Рассмотрим интегральные операторы из [1]:

Так/ = )как(х,1)Д0Ж = ак )((1-х)2-а2)*/(0<* (* = 1,2,...),

а х-а

( 4 , V1

где параметр а> 0, ак = Ака"(2*+1), Ак =

* _НГС[_

„%2(к-п) + \

Через Т£к (р = 0,к) обозначим интегральный оператор, ядро которого есть р -я производная по х от ядра оператора Так.

Известно [1], что если f(x)eCk[a,b], то fc&/-/(p)|->0 (p = 0j)

при а —» 0 для любого х е [а + e,b - е], е > а. Рассмотрим величины

W(TakM+l) = supj|Ttff - /(">|| с :/(*) е М^[а,Ь]},

' Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Президента РФ для поддержки ведущих научных школ РФ (проект НШ-1295.2003.1).

149