Представление целых функций уточненных порядков обобщенными рядами экспонент Текст научной статьи по специальности «Математика»

точек расходимости «перекрыть пропуски» и построить функцию, для которой процесс Лагранжа расходится всюду.

Метод, разработанный в [2], построения функций из класса АС( со)

или АС*(а), для которых процесс Лагранжа расходится почти всюду (либо всюду) на единичной окружности применим для исследования других интерполяционных процессов. Установлено, что многочлены Эрмита - Фей-ера и многочлены третьего и усредненного процессов Бернштейна можно представить как сумму интерполяционного многочлена, аналогичного многочлену Лагранжа, и некоторого «добавочного» слагаемого. Полученные удобные для дальнейших рассуждений оценки этого слагаемого, позволили использовать уже известные факты для построения функций с нужными свойствами.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Лозинский С. М Об интерполяционном процессе Ре]ег'а // ДАН СССР. 1939. Т. 24. С. 318-321.

2. Шаталина А. В. Расходимость интерполяционных процессов Лагранжа на единичной окружности. Саратов, 1990. 30 с. Деп. в ВИНИТИ 19.07.90, №4060 - В90.

УДК 517.5

В. И. Шевцов

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ УТОЧНЕННЫХ ПОРЯДКОВ ОБОБЩЕННЫМИ РЯДАМИ ЭКСПОНЕНТ

Рассматриваются ряды вида

|]АкДХкг), (1)

*=1

®

где /(г) = ~ Целые порядка р, 0 < р < да и типа а,

к=о

Иткр<^\=(.аер)р, (2)

к->оо

Представления функций такими рядами изучались многими математиками. Фундаментальные исследования по теории представления функций рядами (1) проведены А.Ф.Леонтьевым [1, 2] и его учениками.

30

Пусть ¿|(7.) = У с^Кк - целая функция уточненного порядка р((г),

к= О

Ишр1(г) = р1 (р,>р) и типа Ь2{Х) = ~ целая функция уточ-

Г->=о - к=0

ненного порядка Р((г) и типа о}'1. Предположим, что все нули функций Lx (А,) и L2 (к) - простые и эти функции не имеют общих нулей, обозначим их соответственно и {ц^ [.

По определению функция р(г) называется уточненным порядком, если существуют lim p(r) = р, lim rp'(r)[nr = 0. Обозначим через г - ф,(Г)

Г—>00 г~>°0

функцию, обратную к функции t = Будем считать в дальнейшем, что

-»да, ¿-»оо. (3)

fvP

Ф1<0

Последнее условие означает, что ^ - —» оо, г —» оо .

гр

Введем необходимые для дальнейшего обозначения

J j_

ф,у) = (хр2)рЦур^ (стр)р,

где

— + — = x>0,y>0,CTi =тах(а|1),стр)),Э1 =а{|} +а{2). (4) Pi Р2 Р

Обозначим через B(L) класс целых функций F(z), коэффициенты bk которых таковы, что

1

Р2)Р2, (5)

i-кофДА) v

где ст2 < Ъ, ф(6,01) = 1. При условии (3) класс B(L) действительно состоит из целых функций.

По определению выражение

00 , .

D"F = Dn(F,f) = k-nzk-"

k=n ak

называется обобщенной производной порядка п функции F{z), порожденной функцией /(г).

Обозначим через B*L подкласс B(L) такой, что любая функция F е В L удовлетворяет следующей системе уравнений бесконечного порядка в обобщенных производных:

Mk(F)= YckDkF(z) = 0,

k= О

00

ML2(F)=^dkDkF(z) = 0 (6)

k=О

В классе целых функций 5(1) ряды в (6) сходятся равномерно на любом компакте.

ТЕОРЕМА 1. Если Ге в"и и ст2 < а, где ф(а,Э,) = 1, то F(z) = 0. В случае обычных порядков и типов эта теорема доказана в [3].

Рассмотрим класс Вь, когда а<а2 <Ь, где ф(а,<7|) = 1. Предполагаем, что такой класс непустой. Функции приведем в соответствие ряды

П*)~1,Ак/М- (7)

*=I

*Х«)~1Х/<И**)- (8)

к=\

С0£ (хкС0£ где „ЫТ'П \' - интерполирующие

функции, введенные А. Ф. Леонтьевым [1,2].

Рассмотрим случай, когда функция удовлетворяет условию: существуют окружности |А.| = гк, гк Т оо, на которых

1п|Щ)|>(ст,-е)гр1(г), г=\\\ = гк, к>К(г), (9)

где е > 0 любое.

ТЕОРЕМА 2. Если е В*ь, а <а2 <Ь, функция Ь(\) удовлетворяет условию (9), тогда последовательность

Ы<г*

сходится к нулю равномерно на любом компакте и справедлива следующая

оценка: < 5(е)е<'у+Е>'^ , где у определяется из уравнений

ф(а2,СТ| +5) = 1, ф(у,5) = 1.

В случае обычных порядков и типов теорема, аналогичная теореме 2, приведена в [4].

Из теоремы 2 следует следующее утверждение: если в условиях теоремы 2 ряд (7) сходится равномерно на любом компакте и сумма его равна У(г), тогда последовательность У й;/(руг) сходится равномерно на

!иу|<*

любом компакте к функции F(z).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Леонтьев А. Ф. Ряды экспонент. М., 1976.

2. Леонтьев А. Ф. Обобщения рядов экспонент. М., 1981.

3. Шевцов В. И. Об одной системе уравнений бесконечного порядка // Теория функций и приближений. Саратов, 1983. С. 40 - 45.

4. Шевцов В. И. Представление целых функций обобщенными рядами экспонент // Математика. Механика. Сб. науч. тр. Саратов, 2004. Вып. 6. С. 146 - 149.

УДК 519.642.8

Е. В. Шишкова

0 СКОРОСТИ АППРОКСИМАЦИИ ПРИБЛИЖЕННЫХ РЕШЕНИЙ

ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ВОЛЬТЕРРА I РОДА В ПРОСТРАНСТВЕ ГЛАДКИХ ФУНКЦИЙ

В данной статье решена задача нахождения асимптотически точных верхних граней отклонений решения интегрального уравнения Вольтерра

1 рода вместе с производными решения от их приближений, построенных с помощью некоторого семейства интегральных операторов

Рассмотрим уравнение

Ли = /мол = /(*), (1)

о

где А(х,Г) удовлетворяет условиям: существуют и непрерывны производ-

(

ные А , (х,?) (/ = 1,и)

А , (х,0 = ~А(х,О х дх'

А „Ах,Г) (/ = 1,и),

А ,(х,х)-0 (¡ = 0,п-2), А„(х,х) = 1,

(*,*) = 0 (/ = 0,77-1). Для п = 1 уравнение (1) рассматривалось в [1]. Пусть и(х) е С9[0,1]. Рассмотрим семейство операторов:

(р = М, Ч + п<к),

где

а> 0 - параметр, ак = Ака(и+]\ Ак=(-1)к

Операторы являются регуляризирующими для уравнения (1) в случае, если они являются ограниченными, действующими из Ь2 [ОД] в СЕ[0,1] операторами [2].