Решение задачи Колмогорова-Никольского для интегральных операторов с полиномиальными финитными ядрами Текст научной статьи по специальности «Математика»

Отметим в заключение, что теоремы типа 1 и 2 для функции /{г) = е" и более сильных ограничений приведены в [3, 4].

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Леонтьев А. Ф. Ряды экспонент. М., 1976.

2. Леонтьев А. Ф. Обобщения рядов экспонент. М., 1981.

3. Шевцов В. И. Об одной системе уравнений бесконечного порядка // Теория функций и приближений. Саратов, 1983. С. 40 - 45.

4. Шевцов В. И. Об одной системе уравнений бесконечного порядка // Теория приближения функций: Тр. междунар. конф. по теории приближения функций. 31 мая -5 июня 1983 г., Киев. М., 1987. С. 476 - 477.

УДК 517.51:518

Е. В. Шишкова

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ КОЛМОГОРОВА - НИКОЛЬСКОГО ДЛЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ С ПОЛИНОМИАЛЬНЫМИ ФИНИТНЫМИ ЯДРАМИ*

В статье решается задача Колмогорова - Никольского для интегральных операторов с полиномиальными финитными ядрами на ограниченных множествах пространства Соболева.

Рассмотрим интегральные операторы из [1]:

Так/ = )как(х,1)Д0Ж = ак )((1-х)2-а2)*/(0<* (* = 1,2,...),

а х-а

( 4 , V1

где параметр а> 0, ак = Ака"(2*+1), Ак =

2{Ж

„%2(к-п) + \

Через T£k (р = 0,к ) обозначим интегральный оператор, ядро которого есть р -я производная по х от ядра оператора Так.

Известно [1], что если f(x) е Ск[а,Ь], то fc&/-/(p)|-> 0 (p = 0j)

при а —» 0 для любого х е [а + e,b - е], е > а. Рассмотрим величины

W(TakM+l) = supj| Ttff - /(">|| с : f{x) е М^[а,Ь]},

' Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Президента РФ для поддержки ведущих научных школ РФ (проект НШ-1295.2003.1).

149

где Af|+l[a,|>] = {/(x)e^+1[a,b]:|]/| w <1}, W2k+][a,b] - одномерное

пространство Соболева, Се =С[а + б,Ь - е] .

Рассмотрим постановку задачи Колмогорова - Никольского [2]: получить представления вида

^\Рк(Так,М^) = <р\?(а) + у\р(а.) (к = 1,2,..., р = ОХ),

где =

В работе [3] решена задача для случаев к = 1, р = 0,1. ТЕОРЕМА 1 (Хромовой [2]). Имеют место представления

^{Так,Мг+')= sup

а<х<Ь

Ь qp др д2р

ь

где g(x, а) = О, T])G(E,, Ti)ifr| - х),

а

|) - функция Грина дифференциального оператора

/(>') = (-1)*+У*+2(0 + y(t), у{'\а) = y(r\b) = О (г = k +1.....2к + 1).

Для функции Грина из теоремы 1 справедливо равенство

1 2(*+,) „ Г ■> Е 2(* + 1) „ с

С&т,) = —Ц- I + I cmlex

где А,/ = , ст/ - некоторые константы, зависящие от краевых

условий; знак "+" соответствует £ < г|; знак "-" - Е, > г) [2].

2

Введём обозначения: = £

я=о к-п + т

(-1)'

Y(*,P)= I „ , C -T1' I

% 2(k - s) + 3 ¿tS ¡'! (2A: + l-i)!(2(*-л) + /+1)

ЛЕММА 1. Пусть к е N, р = ОД -1, тогда £ = 0.

5-0

ЛЕММА 2. Для любых натуральных к и т, = справедливы равенства:

/=о ¿о j\{j + 2(k-s)-p + \) ' ¿0 2(/r - л) +1 2 Ак '

150

3) Ф(к,рУ

{-\У(2т-\)\

= Ф(к,0) = (—1)

(»7—1)!

(р + 1)...(р+2т-1) х""'"' ' (к + 1)...(к + т)' Доказательство лемм 1и 2 осуществляется методом математической индукции.

ЛЕММА 3. Для любых к е N , р = 0,к :

2 )У(к,0).

(-1Г

/я —,к + 1 # 0, где В - интеграл Эйлера первого рода.

Чтобы показать 1), использовался постулат Бертрана и идея представления У(к,р) в виде суммы двух чисел: целого и дробного, из чего следует, что У(к,р) й Ъ и, следовательно, отлично от нуля, а доказательст-

во 2) основано на представлении

2и + 3

Следующая теорема даёт решение задачи Колмогорова - Никольского.

ТЕОРЕМА 2. Имеют место представления, асимптотические по а при а —> 0 :

\(4) _

Як ,а72 + 0(а?2), А\кГ]) = Як к_,а7> + 0(а»),

■ К

, Уг 1

вкк_2а'+0( а'), Д^=аЖ+0(ач) =» 0, * - 3),

где

^4 4 -

'("1)4

ч2(* + 1) ,=0

х у -ЬЬыаИщ,п)

„% (4к-2п-2* + 3)

2(^-5)

/2

Ч 4-1 -

' (-Р*+Ч 12(* + !)(* + 2)

4-1,

_ 2((Л -1)!) Ак £ (-1 ГкС1С:

5=0

.4-1 2(4-5)

4

') с4(-44-2и+2

„Го (4* -2« -25 + 5) К 1> * -У(*,р)У(*,0)

(/? + !)(/?+ 2)

(р = 0,к- 2),

Якк, Якк_\, £>к п отличны от нуля, 7,(к,п), У(к,р),Ак определены выше.

В доказательстве при получении указанных в теореме выражений используется теорема 1, свойства биномиальных коэффициентов, разложе-

ние экспоненциальных функций в ряды, выделение главных частей асимптотик по а, леммы 1 и 2. Отличие от нуля Rk р доказывается аналогично

рассуждениям в [4]. Отличие от нуля Qk р следует из леммы 3 и того, что норма, входящая в Qk совпадает [5] с

sup{|/("+2)|c : f(x) е Mk2+\a,b})* 0.

БИБЛИОГ РАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

]. Хромова Г. В. О дифференцировании функций, заданных с погрешностью // Дифференциальные уравнения и вычислительная математика: Межвуз. сб. науч. тр. Саратов, 1984. Вып. 6. С. 53 - 58.

2. Хромова Г. В. Об оценках погрешности приближённых решений уравнений первого рода//ДАН. 2001. Т. 378, № 5. С. 605 - 609.

3. Хромова Г. В., Шишкова Е.В. О скорости сходимости приближений функции вместе с её производной // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2003. Вып. 5. С. 136 - 138.

4. Хромова Г. В. О скорости сходимости приближений функций на некоторых компактных классах и задаче восстановления функций//Вестн. МГУ. Сер. 15. 1993 № 1. С. 13-18.

5. Хромова F. В. О верхних гранях норм функций и их производных // Вестн. МГУ. Сер. 15. 1998. № 2. С. 45 - 47.

УДК 517.95

В. А. Юрко

ИНТЕГРИРОВАНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ НА ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ МЕТОДОМ ОБРАТНОЙ СПЕКТРАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ*

При исследовании нелинейных вполне интегрируемых дифференциальных уравнений на полупространстве будем применять метод обратной спектральной задачи и в качестве основной спектральной характеристики будем использовать матрицу Вейля [1,2]. Исследование нелинейных вполне интегрируемых уравнений на полупространстве сталкивается с существенно большими трудностями, чем на всём пространстве, что связано, в частности, с наличием нелинейного отражения. При этом эволюционные уравнения на матрицу Вейля получаются нелинейными. Однако их можно свести к цепочке последовательно решаемых уравнений Риккати, которые в свою очередь сводятся к системам линейных дифференциальных уравне-

Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования (проект Е02-1.0-186), программы «Университеты России» (ур.04.01.042) и Российского фонда фундаментальных исследований (проект 04-01-00007).