Построение расширенных операторов, дающих приближение к функции и ее производным на отрезке Текст научной статьи по специальности «Математика»

Библиографический список

1. Filippov V. IOswald P. Representation in Lp by Series of Translates and Dilates of One Function //J. Approx. Theory. 1995. V. 82. P. 15-29.

2. Терехин П. А. Неравенства для компонентов суммируемых функций и их представления по элементам системы сжатий и сдвигов // Изв. вузов. Математика. 1999. Т. 8(447). C. 74-81.

УДК 517.51

Е.В. ШИШКОВА

Построение расширенных операторов, дающих приближение к функции и ее производным на отрезке1

Рассмотрим семейство интегральных операторов:

Ь х+а

Так f = / Как (х,г)1 (г)йг = ак I ((г - х)2 - а2)к f к = 1,2,...,

а х-а

(1)

где а > 0 — параметр, ак выбираются из условия Так 1 = 1 и имеют вид

/ к (_л\пгчи \

ак = * а-™,* = (2 § ¿=-^+1) ■ (2>

Известно [1], что если f (х) е С [а, Ь], то \\Такf — f \\с ^0 при а ^ 0, где С£[а, Ь] = С [а + г,Ь — г], г > а.

Поставим задачу: построить расширенные операторы ТРк (р = 0,к), такие что

TPpk f - f(p)

—при a — 0.

C [a,b]

1 Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Президента РФ на под-

держку ведущих научных школ (проект НШ — 1295.2003.1).

Лемма 1. Для любого натурального числа к и А? из (2) справедливо неравенство

(—1)к • Ак > 0.

Доказательство Из определения Ак, используя формулу бинома Ньютона и свойство биномиальных коэффициентов С? = С?-п, получаем:

k í i \пгт \ í k í i \nr*m^

(-1)' • Ak = (-1)k ( 2 V Cn = hV^1^

( ) k ( ) l ^ 2(k - n) +1 \ ^ 2n + 1

n=0 v ' / \ n=0

k (_i \nrm\ ( k i

E1-1^ = (E(-i)n°n / tn-2 dt

n=o n + 2 / \n=o 0

J t-2 Cn(-t)ndtj = t-1 (1 - t)kdtj > 0.

Лемма доказана. В [2] приведена

Лемма 2. Для любого натурального числа к и т = 0, к — 1 справедливо:

[к-т ]

< л\$г ,

ук С2 (к—в)

Е (-1)sckC2mk-S)=о.

s=0

Теорема 1. Операторы

b

Tak f = j Kak (x,t)f (t)dt,

a

где Kak(x, t) при x g [a, a + a]:

Aak(x,t) + Cak(x,t), t g [a, 2a - x + a] Kak(x,t) = ak <{ Cak(x,t), t g [2a - x + a,x + a]

0, t g [x + a, b]

при х е [а + а,Ь — а].

Как (х,г) = ак

Сак(х,г), г е [х — а,х + а] 0, г е [а,х — а] и [х + а, Ь]

при х е [Ь — а,Ь]:

0, г е [а,х — а] Как(х,г) = ак • \ Сак(х,г), г е [х — а, 2Ь — х — а]

Вак(х,г) + Сак(х,г), г е [2Ь — х — а,Ь]

= (2а — г — х)2 — а2 к ,

Аак (х,г) = ((2а — г — х)

(3)

Вак (х,г) = ((2Ь — г — х)

— г — х)2 — а2 к ,

(4)

= кг — х)2 — а2)к ,

Сак (х,г) = ((г — х)

(5)

дают равномерное приближение к любой непрерывной функции f (х) на всем отрезке [а,Ь].

Доказательство Построим расширенный оператор путем продолжения непрерывной на [а, Ь] функции f (х) за границы отрезка [а, Ь] четным образом по аналогии с [3]. Пусть

/

f (2а — х), х < а Мх) = ^ (х), а ^ х ^ Ь f (2Ь — х), х > Ь.

Разобьем [а,Ь] на три отрезка:[а, а + а], [а + а,Ь — а] и [Ь — а,Ь] и применим к fl(x) оператор (1):

1. Пусть х е [а, а + а], тогда 2а — х + а ^ х + а и

х+а

((г — х)2 — а2)к Л(г)^г = ( 1+1 ) ((* — х)2 — а2)к Л(г)^г

а /

а х+а

= У ((г — х)2 — а2)к /(2а — г)^г + I ((г — х)2 — а2)к /(г)^г =

х—а а

2а—х+а х+а

/ ((2а — г — х)2 — а2)к /(г)^г + / ((г — х)2 — а2)к /(г)^г

а

2а—х+а

2 2) к ( 2 2) к

2а — г — х)2 — а2)к + ((г — х)

х) а

х+а

+ I ((г — х)2 — а2)к /(г)^г = ТакЛ

2а—х+а

2. На отрезке х е [а + а, Ь — а] Так Л = Так / = Так /.

3. Пусть х е [Ь — а, Ь], тогда х — а ^ 2Ь — х — а и

х+а Ь

/ ((г — х)2 — а2)к л(г)^г = / ((г — х)2 — а2)к /(г)^г+

х+а Ь

+ У ((г — х)2 — а2)к /(2Ь — г)^г = J ((г — х)2 — а2)к /(г)^г—

Ь х—а

2Ь—х—а 2Ь—х—а

2 2) к ( 2 2) к

■ J ((2Ь — г 1 — х)2 — а2)к / (г 1 )^г 1 = J ((г — х)2 — а2)к / (г)^г+

Ь х—а

Ь

+ I {((2Ь — г — х)2 — а2)к + ((г — х)2 — а2)к} /(г)^г = Так/.

2Ь—х—а

Отсюда следует вид оператора в формулировке теоремы.

Докажем, что

Так / /

—^0 при а — 0.

С [а,Ь]

х—а

ж—а

Заметим, если f (t) = 1, то f\(t) = 1 и Tak 1 = Tak 1 = 1. Следователь-

но,

f (x) = Kak (x,t)f (x)dt.

Рассмотрим

Takf f

C [a,b]

I

max< max

Ia^x^a+a

Takf f

max

a+a^x^b—a

Takf f

max

b—a.<x<b

Takf f

При x E [a + a,b — a]:

Takf f

= \Tak f — f \ — 0.

Пусть x E [a, a + a]. Тогда, если a ^ t ^ x + a, то —a ^ t — x ^ a и

Takf — f = \ak \

2a—x+a

2a — t — x)2 — a2)k + ((t — x)2 — a2)k} x

x+a

x (f (t) — f (x))dt + ((t — x)2 — a2)k (f (t) — f (x))dt

2a-x+a

<

2a—x+a

< \ak\

((2a — t — x)2 — a2)k + ((t — x)2 — a2)k

x

x+a

x \f (t) — f (x)\ dt + ((t — x)2 — a2)k \f (t) — f (x)\ dt} ^

2a—x+a 2a—x+a

^ u(a)

ak [(2a — t — x)2 — a2)k

dt +

x+a

+

ak ((t — x)2 — a2)

dt

где ui(a) = sup \f (t) — f (x)\ — модуль непрерывности функции f (x).

\t—x\^a.

b

k

В первом интеграле а ^ г ^ 2а — х + а, поэтому (2а — г — х)2 — а2 ^ 0, а во втором интеграле а ^ г ^ х + а, поэтому (г — х)2 — а2 ^ 0, следовательно, по лемме 1 ак ((2а — г — х)2 — а2)к ^ 0 и ак ((г — х)2 — а2)к ^ 0, значит, модули под знаками интегралов можно опустить. Отсюда следует оценка:

Так/ — / < ^(а).

Очевидно, ¡х>(а) — 0 при а — 0 в силу непрерывности функции /(х). Аналогичная оценка получается и в случае х е [Ь — а, Ь]. Теорема 1 доказана.

Теорема 2. Пусть функция /(х) е Ск[а, Ь]. Тогда операторы

ь

ТО,/ = (—!)"/ Л"КА(х'г) Л(г)^г' р =

а

где Как(х,г) — ядра операторов Так из теоремы 1 , а > 0 — параметр, дают равномерное приближение к р-й производной функции /(х) на всем отрезке [а, Ь] ^ Т"к/ — /^ ^ — 0 при а — 0^, если /("—1) (а) = /("—1)(Ь) = / ("—3)(а) = / ("—3)(Ь) = ... = / (а) = / (Ь) = 0

= / ("—1)(Ь) = / ("—3)(а) = / при р нечетном и /("—1)(а) = /("—1)(Ь) = /("—3)(а) = /("—3)(Ь) = ... = = /'(а) = /'(Ь) = 0 при р четном.

Доказательство

Рассмотрим Аак(х,г),Вак(х,г) и Сак(х,г) из (3), (4) и (5) соответственно.

Заметим, что по формуле бинома Ньютона

к

Аак (х, г) = ((г + х — 2а)2 — а2)к = 1)'Ска2в(г + х — 2а)2(к—в),

в=0

следовательно, дифференцируя почленно т раз сумму для т = 0,р — 1,

р = 1, к (т.е. т = 0, к — 1), имеем

(!тЛак (х,г)

(гг

Ь=2а—х+а

[к—т ]

§ —УС^Ст—т^г + х — 2а)2(к

— з)—т

в=0

Ь=2а—х+а

= т!а

! „ 2к—т

[к—т ]

§ (—^СС^)

=0

в=0

по лемме 2, то есть

(тЛак (х,г)

(гт

= 0, для любого т = 0, р — 1.

Ь=2а—х+а

(6)

Аналогично,

(тВак (х,г)

(гт

= 0, т = 0, р — 1

г=2Ь-х-с

(7)

и

(тСак (х,г)

(гт

Заметим также, что

= 0, т = 0,р — 1.

(8)

Ь=х±а

(тЛак (х,г)

(гт

=т!

Ь=а

[к—т ]

в=0

и

= (—1)'

(тСак (х,г)

(тВак (х,г)

(гт

= (——1)'

1=а

г=ь

(тСак (х,г) (гт

(9)

(10)

г=ь

Запишем оператор Так, определенный в теореме 1, в виде

2а—х+а х+а

/ Аак(х,г)/(г)^г + Сак(х,г)/(г)^г, х е [а, а + а]

а

х+а

ТакЛ = ак • <

Сак(х,г)/(г)^г, х е [а + а,Ь — а]

Ь Ь

I Вак(х,г)/(г)^г + ^ Сак(х,г)/(г)^г, х е [ь — а,Ь].

2Ь—х—а х—а

(11)

Применим оператор Т"к из (11) к /(")(х) и произведем р раз интегрирование по частям.

1) Пусть х е [а,а + а]. Учитывая (6),(8) и (9) и полагая /("—1)(а) = = /("—3)(а) = ... = /(а) = 0 при р нечетном и /("—1)(а) = /("—3)(а) = ... = = /'(а) = 0 при р четном, получим:

2а—х+а х+а

Так/(") = ак ( / Аак(х,г)/(")(г)^г + / Сак(х,г)/(")(г)^г

= а^ Аак (х,г)/("—1)(г)

¿Аак(х, г) /("—2) (г)

2а—х+а

¿г

¿=а 2а—х+а

+ Сак (х,г)/("—1)(г)

¿Сак(х,г) /("—2) (г)

х+а

I / 1 Л"—1 Аак(х,г) Р/.ч

+(—1) Л (г)

¿=а

2а-х+а

+ (—

¿=а

х+а

+...+

¿=а

.. \"—1 1Сак(х,г) 1) 1

¿г

¿=а

¿г"

/(г)

+

¿=а

2а—х+а

х+а

+(—1)" / ¿"Аак"х,г)/(г)^г + (—1)" / ¿"Ссак(х,г)/(г)^г) =

¿г"

¿г"

2а—х+а

х+а

= (—1)"ак ( / "х,г) /(г)^г + / Саак"х,г) /(г)л) = тг"?/.

¿г"

¿г"

2) пусть х е [а + а, Ь — а]. Используя (8), имеем

Так / (") = ак Сак (х,г)/("—1)(г)

х+а — ¿Сак (х,г) /("—2) (г)

£=х—а

¿г

х+а

¿г +...+

£=х—а

ха

+ ( — 1)

_1 (Р^Сак (х,г)

(Ш

-1

f (г)

х+а

х+а

Ь=х—а

+ (—1)р I а'С^)}'№ I =

х+а.

= —п* I (РС^х,1)fт = трк¡.

3) пусть х е [Ь — а,Ь]. Применяя (7), (8) и (10) и полагая f(р 1^(Ь) = f (р—)(Ь) = ... = f (Ь) = 0 при р нечетном и f (р—1)(Ь) = f (р—3)(Ь) = ... = }'(Ь) = 0 при р четном, получим:

т} = * ( / ^+ ¡^ш^'Чт) =

2Ь х а х—а

аЛ Вак(х,г)1'(р—1)(г)

(Вак (х,г) ,(р—2) (г)

(г } ()

1=2Ь—х—а

+ Сак (х,г^ (р—1)(г)

Ь=х—а

+ — 1У—1 (Р Вак (х,г) f (г)

1=2Ь—х—а Ь

(Сак (х,г) , (р—2) (_.)

(г } ()

+...+

Ь=х—а

(гр—1

ь

+ —1У—1 (Р Сак (х,г) f (г)

г=2Ь-х-а

(гр

+

Ь=х—а

+(—1)р [ (Вак(х,гf(г)(г + (—1)р [ (Сак(х,гf(г)(г | =

2Ь— х— а Ь

= (—1)

(гр

(рВак (х,г)

(гр

(гр

х— а Ь

/(г)(г + {—1у[ /(г)(г = трк^

2Ь х а

Таким образом,из построения оператора Трк и теоремы 1 следует:

Трк f — f(р)

С [а,Ь]

Так f(р) — f(р)

С [а,Ь]

^ 0 при а ^ 0.

Теорема 2 доказана.

Библиографический список

ха

ха

Ь

Ь

Ь

Ь

Ь

Ь

ха

1. Хромова Г.В. О дифференцировании функций, заданных с погрешностью // Дифференциальные уравнения и вычислительная математика:

Межвуз. сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та. 1984. Вып. 6. С. 5358.

2. Шишкова Е.В. Решение задачи Колмогорова—Никольского для интегральных операторов с полиномиальными финитными ядрами // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та. 2004. Вып. 6. С. 149-152.

3. Хромова Г.В. О задаче восстановления функции // Дифференциальные уравнения и вычислительная математика: Межвуз. сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та. 1975. Вып. 5, ч. 2. С. 60-76.

УДК 519.517.948

Е.В. ШИШКОВА

О восстановлении решения вместе с его производной уравнения Абеля е приближенно заданной правой частью1

Рассмотрим уравнение Абеля:

х

Аи = щ / (х —(гг)в—1 ¿г = / (х), 0 <в< 1, 0 ^ х ^ 1. (1) 0

Пусть известно, что при данной правой части существует непрерывная функция и(х), являющаяся решением уравнения (1). При этом вместо точной правой части нам известна функция / (х), такая что ii/ — Лii^ В [1], используя общий подход из [2], по аналогии с [3] построен метод регуляризации уравнения (1), с помощью которого можно получать равномерное приближение к и(х), а также к производной от решения (если и(х) е С 1[0,1]).

1 Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Президента РФ на поддержку ведущих научных школ (проект НШ — 1295.2003.1).