CC BY
31
29. Lagomasino (Lopez) G. Survey on multipoint Pade approximation to Markov type meromorhic functions and asymptotic properties of the orthogonal polynomials generated by them // Lect. Notes Math. 1985. V.1171. P.309-316.
30.Galluci M.A., Jones W.B. Rational approximations corresponding to Newton series (Newton-Pade approximants) // J. Approx. Theory. 1976. V. 17. P.366-392.
31 .Antoulas A.C., Anderson B.D. O. A summary of recent results on the scalar rational interpolation problem // Proc. 25th IEEE Conf. Decis. Control. 1986. P.2187-2188. 32. Baltensperger R. Some results on linear rational trigonometric interpolation // Comput. Math. Appl. 2002. V.43. P.737-746.
33 .Berrut J.-P. Rational functions for guaranteed and experimentally well-conditioned global interpolation // Comput. Math. Appl. 1988. V.15. P.l-16.
34.Berrut J.-P., Mittelmann H.D. Rational interpolation through the optimal attachement of poles to the interpolating polynomial // Numerical Algorithms. 2000. V.23. P.315-328.
35. FournierJ.-D., PindorM. Rational interpolation from stochastic data: a new Froissarts phenomenon // Reliable Computing. 2000. V.6. P.391^09.
36.Gutknecht M.H. In what sense is the rational interpolation problem well posed? // Consr. Approx. 1990. V.6. P.437-450.
37.Nananukul S„ Gong W.-B. Rational interpolation for stochastic DES's: convegence issues // IEEE Trans. Autom. Control. 1999. V.44. P.1070-1073.
38. Ravi M.S. Geometric methods in rational interpolation theory // Lin. Alg. Appl. 1997. V.258. P.159-168.
39. Henry M.S., Swetits J.J. Lebesgue and strong unicity constants for Zolotareff polynomials // Rocky Mount. J. Math. 1982. V.12. P.547-556.
40.Лебедев В.И. Экстремальные многочлены и методы оптимизации вычислительных алгоритмов // Ма-тем. сб. 2004. Т. 195, №10. С. 21-66.
41 .Lukashov A.L. On Chebyshev-Markov rational fractions over several intervals // J. Approx. Theory. 1998. V.95. P.333-352.
42 .Лукашов АЛ. Неравенства для производных рациональных функций на нескольких отрезках // Изв. РАН. Сер. Матем. 2004. Т.68, №3. С.115-138.
43 .Ransford Т. Potential theory in the complex plane. Cambridge, 1995.
44.Stahl H., Totik V. General orthogonal polynomials. N.Y., 1992.
45. Peherstorfer F., Steinbauer R. Strong asymptotics of orthonormal polynomials with the aid of Green's function // SIAM J. Math. Anal. 2000. V.32. P.385-402.
46.Totik V. Polynomial inverse images and polynomial inequalities //Acta Math. 2001. V. 187. P. 139-160.
УДК 517.984
О РЕГУЛЯРНОСТИ САМОСОПРЯЖЕННЫХ КРАЕВЫХ УСЛОВИЙ
A.M. Минкин, А.П. Хромов
Саратовский государственный университет, кафедра дифференциальных уравнений и прикладной математики E-mail: [email protected]
В статье дается подробное изложение положительного решения гипотезы Камке о регулярности самосопряженных краевых условий и устанавливается аналог теоремы Жорда-на-Дирихле о равномерной сходимости разложений в тригонометрические ряды Фурье для случая разложений по собственным функциям одного класса самосопряженных интегральных операторов.
Введение
On regularity of self-adjoint boundary conditions
A.M. Minkin, A.P. Khromov
In this paper we expound the favourable decision of Kamke's (Камке) hypothesis that self-adjoint boundary conditions are regular and we also establish an analogue of Jordan—Dirichlet theorem on uniform convergence of trigonometric Fourier series for the case of the expansions in eigen functions of self-adjoint integral operators from the certain class.
В 1948 году Э. Камке [1, с.360] высказал гипотезу о регулярности самосопряженных краевых условий для обыкновенного дифференциального оператора произвольного порядка с двухточечными краевыми условиями. Положительное решение ее для оператора четного порядка
дал С. Салаф [1, 2] и для случая непостоянной весовой функции при старшей производной -X. Фидлер [3], для случая оператора нечетного порядка - A.M. Минкин [4, 5]. В данной статье приводится подробное изложение этого материала, единообразное для любого порядка дифференциального оператора, принадлежащее с несущественными изменениями первому ученому. Второму автору статьи принадлежит приложение регулярности самосопряженных краевых условий для установления аналога теоремы Жордана-Дирихле о равномерной сходимости разложений в тригонометрические ряды Фурье на случай разложений по собственным функциям одного класса самосопряженных интегральных операторов.
1. Гипотеза Камке
Рассмотрим дифференциальный оператор:
1[у] = /л)+р](х)/Л-"+... + рп(х)у, X е [0,1]
с краевыми условиями:
(1)
а10 v(0) +... + а1шЯ_у-" (0) + Д0 v(l) +... + Ри_Уп~1) (1) = 0
("-1)ЛЛ - I
(2)
В матричной форме граничные условия (2) запишутся так:
Ву = 0, (3)
где у = {>>(0),...,Уп"о(0), v(l),...,y"_1,(l)} и В- матрица n х 2п ранга п.
Обозначим через l*[z\ - сопряженное дифференциальное выражение. Тогда формула Лаг-ранжа принимает вид
(/[у],г) = } 1[у]2 (1х = \уГ[2№ + {Ау,¿)*= {у,I [2]) + {Ау,г).
о п
Последнее скалярное произведение берется в пространстве С2". Пример. Пусть п = 3,1[у] = у"'+ рху"+ р2у'+ р3у■ Тогда
(4)
(l[y], Z) = \l[y]z dx = Jy(x)[~z"'+ (ptz)"-(p2z)' + p,z]dx-о 0
"-p\ + p2 p2 l4
= CM*[>]) +
\\
-Px 1
-1 0 0 0
t
V
У v
z
V J)
Таким образом, в этом случае
А-
Р\ (0) -1 о о о
-р2( 0) 1 о о о о
о о о о о
о о о
о о о
-А( 1) 1
-1 о
(Л
о
о
-р\(\)+р2(1) р2( 1) 1
И в общем случае
А =
"Л | 0 1
где А. =
(-1)"
О
и Л о с такой же структурой, что и буквой X обозначены воз-
можные ненулевые элементы, образованные из коэффициентов дифференциального выражения /[у].
Замечание. Если 1[у] = ум, то Xв А0 и А\ равны нулю, т.е.
А =
(-1)
о
п—1
-1
Определение 1. 5" = {у \ Ву = 0}.
Таким образом, 5 с: С2". Условие В у = О означает, что у ортогональна строкам матрицы В, если эти строки перевести в столбцы. Так как rang В = п, то линейно независимых строк матрицы В есть п, и поэтому 5 есть и-мерное пространство.
Лемма 1. АБ есть п-мерное пространство.
Доказательство. А есть невырожденная матрица размера 2п х 2п. Поэтому А, рассматриваемая как оператор, переводит линейно независимую систему в линейно независимую. Значит, АБ есть я-мерное пространство.
Определение 2. 5' = (АЯ)1.
По лемме 1 5" есть п-мерное пространство. Поэтому ортогональное дополнение к также и-мерное. Берем базис (5")1: с1\, ..., с1п. Тогда
(¿„г) = 0 (/ = 1, ■ ■■, п),
(5)
когда 5 е Б'. Образуем матрицу
В'=
Ч
Тогда (5) запишутся таким образом:
В'2 = 0, (6)
т.е., ¿6 о 5'£ = 0. Конечно, гшщ В'= п.
Определение 3. Краевые условия В 'г = 0 называются сопряженными. Лемма 2. (Ау,2) - 0 для любой у е Б тогда и только тогда, когда В' г = 0. Доказательство. Условие (Ау, г) = 0 для любой у е 5 означает, что г ± АБ, т.е. г е (АБ)1 = Б', и наоборот.
Следствие, (/[у], г) = {у, Г [г]) для любой у тогда и только тогда, когда г е 5", т.е. В' г = 0. Определение 4. Краевые условия самосопряжены, если 5" = 5", т.е. = О,* (О, - область определения оператора Ь).
Лемма 3 ([1]). Условия В у = 0 самосопряжены тогда и только тогда, когда ВА~]В* = 0. Доказательство. Для прямоугольных матриц матрица В* определяется из условия (Вх, у) = (х, В'у) (эти скалярные произведения в разных пространствах). Мы имеем
(Ву,и) = (у,В'2) (7)
для любых _>'е С2" и ¿6 С". Пусть уе Б, т.е. В у = 0. Тогда из (7) получаем
В*г ±Б.
Но В*I есть я-мерное пространство. Значит,
В'С^Б1- (8)
Так как 5 = У, то (АБ)~ = Б. Отсюда АБ = Б1. Поэтому из (8) получаем
АБ = В* С". (9)
Отсюда 5 = А~ХВ*С", но ВБ = 0. Тогда получаем ВА-{В*С" = 0. Отсюда ВА~ХВ* = 0. Обратно, пусть ВА~ХВ* - 0. Тогда В*СУ - есть л-мерное пространство. Тогда А~]В*С' -и-мерное пространство. Значит, из (9)
А^В*Сп='$>. (10)
Отсюда В*СУ =АБ. Тогда (В*С")1 = (АБ)1. Но (АБ)1 = БЗначит, (В*С")1 = Б'. В силу (7) (В* С")1 = Б. Значит, 5 = 8'. Лемма доказана. Еще заметим, что
0 (-1)" (_1Г> Л 0
1 X
-1
0 7
0 -1 X 1
Матрицу В запишем в виде
В = {Bb(],...,Bl_vB\,...,Bi'_,),
где В) - столбцы матрицы В. Рассмотрим матрицу ^В{)п_х,В\_х) из двух столбцов. Пусть
r„_J = rang (B°n l, Bxn XТогда 0 < г ч < 2. Выполняем в матрице В следующие преобразования. Переходим от В к матрице В (новая матрица со старым обозначением), которая представляет собой матрицу, строки которой являются линейными комбинациями строк матрицы В, и так, чтобы ранг
f О О Л
такой матрицы В был также п, и , В\_х) -
О О
ь1-\
, где 0 - скаляры, а (Ъ 5 Ь ) - матрица
размера гпА х 2 (т.е. ее может и не быть, если гп_х= 0) и rang(b°_^,b1n_x) = г Теперь из новой В вычеркнем г„_, последних строк. В полученной матрице В проделаем те же преобразования,
' 0 0 4
что и выше, т.е. рассмотрим матрицу (В°_2, В\_2) и перейдем от нее к
ры, а (¿п°ч,Ь\_{) - матрица размера rn_x х 2, где rn_2 - rang (В°п_2, В\_2). Продолжая этот процесс, получим, что матрица В — блочная:
0 0
Ь° b1
Jn-2 ип-2
, где 0 - скаля-
Ъ\
К,
п—1
АЛ!. Минкин, А/1 Хромов. О регулярности самосопряженных краевых условий т.е. здесь (х...65°0...0:х...6'0...) представляет собой матрицу г5 х 2п ранга г5, т.е. Ь° либо отсут-
п—1
ствует, либо Ь° - число, либо - столбец из двух компонент. В итоге г = (6°,Ь]) =п.
.5=0
Краевые условия В у = О теперь запишутся так:
Ь°у (0) + х0+Ь\уи'(1) + х1 =0 (0 < } < п -1), где х0 и X) - блоки, содержащие производные <у. Запишем теперь В = (В0, 5,), где
К 0 > К 0 >
В0 = , 4 =
X V ь~ч X \
и рассмотрим ВА ]В*. Имеем
ВА~]В'=(В0,В1)
-Л"1 0
0
В
\
"о
Л
V 1 У
Вычислим В\А\ 1В*. Рассмотрим сначала
вХ =
(¿л
К
х
о
-1
(-1)
л-1 л
(-1)
и-2
(Аf 1 на блоки не разбиваем).
Пусть Ь(] отсутствует. Тогда этой строки не будет и в произведении.
Пусть Ь\ - число. Тогда первая строка в произведении будет обычной и она равна (0, 0 (-1)" 1
Пусть теперь - вектор из двух компонент. Тогда
о
-1
(-1)
п-1 \
(-1)
п-2
X
будет матрицей из двух строк, и поскольку Ъ\ - столбец, то
(¿¿Д....0)
-1
(-1)
я-1 \
(-1)"
X
и, таким образом,
"о
АЛ =
(-1)
п-1 Л
(-1)"
X
(-1
Лемма 4. Если Вх отличается от В\ тем, что добавляется в качестве г-строки строка нулей (т.е. строк стало на одну больше), то
о о ... о о
ш.е. г-строка произведения и г-столбец произведения состоят из нулей, и если вычеркнуть эти строку и столбец, то ВХА~1 В* = ВХА~1В'{. Доказательство. Имеем
ВХА;1В* = = (О,...,О 1-е место)(Д"'Д*),
и отсюда /-строка ВХАХХВ* состоит из нулей. Аналогично,
вха;1в; = (в1а;1)в; =(в1л;1)
(ох
о
V У г
т.е. /-столбец В]А1 'Д* состоит из нулей.
Теперь заметим, что элементы остальных строк и столбцов получаются минуя /-строку и /-столбец.
Лемма 5. Имеет место формула
вл1в; =
(-1ТЖ-14
(-1ГЖ
-ь1Х
х
ь\-Х
Доказательство. Обозначим через Д матрицу, получающуюся из Вх добавлением строк из нулей на /-м месте, если г, = 0. Тогда по предыдущей лемме
=
-ъ\-Х
К~Х
(-1 гжл
(-1 Т2ъх_2
X
Теорема 1. Имеет место формула
В А'1 В' =
К-Х -К-Х
(-1
0/0*
Доказательство следует из того, что
ВА"В = -ВПА^ВП + в, А;1 В,
и предыдущей леммы.
Следствие (необходимое условие самосопряженности). Если ВА^В* = 0, то
ьих-ьиа°* = о (к = о,...,п-\). (и)
Лемма 6 ([1]). Пусть краевые условия самосопряженные. Тогда:
1) если г, - гп_._, = 1, то Ь°Ь0, = Ь1Ь1, ;
' ] П I—/ > / и—1—/ /"-1-/
2) если Гу =2, то гп ] у = 0;
3) случаи г; = = 0 к г, =0, г„_1_у = 0 невозможны. Доказательство
1) Уже получено.
2) Пусть г7- =2. Тогда существует невырожденная матрица С размера 2x2 такая, что
'1 (П 'Г 0/ =
, т.е. ~
0 1 0 , > 1
\ > V ^ V /
. Тогда из (11) при А; =_/ имеем
" ] "n-1-J Jn-l-j
(12)
'О 7,0*
V ¿>°* = í°]
0 V Л
7 1*
К- 1-П т-е-
п
о
V У
(АА) =
1
V у
(Х1.У2).
Отсюда
А М
О О
V У V
71—1
/i
3) Имеем ^Г г. =п, и пусть и - четное. Тогда
. Следовательно, ß,- у, = 0, т.е. rang rn_j . = 0.
у=0
71-1
Имеем rk + г < 2. А тогда ^г < — ■ 2 = п, но ^= п. Поэтому rk + rn_hk = 2, и 3) доказано.
у=о 2 у=о
Дадим определение условий регулярности по Салафу. Пусть £ = е"-' (/' = 0, ..., n-1). Положим
со0 = % ®i = £п-ь со2 = sb со3 = еи_2, ...
и выберем луч arg р = const так, чтобы
Re рсо0 > Re рю1 >... > Re pcon_r
Пусть n = 2m. Представим
coX ... 0>lX (oUbl+tfs) ш„>0° ... Ч0_Д0
<[bL ... a>:-_\(bil+btlS) (bi.+bi^: ... cíe
Условие регулярности ö0>92 * 0. Пусть n = 2m +1. Тогда
&JfA
«
0/7,0 , 7.1
О .0
... «ÖL сче.+е^) ÖL •
Условия регулярности в этом случае Э092 Ф 0. Обозначим
Щ\ь°) =
„07 1 „0 .1 „0,0
ZA ... £„,.,¿0 £„А
О 7Z—1 6Ш-16'л-1 /Л
АО
©„-А-1
bn-iu0
п—1 Un-1
е,- - последовательно по кругу.
Лемма 7 ([1]). Для четного п условия регулярны тогда и только тогда, когда 9(Ь\Ь°)Ф 0. Для нечетного п условия регулярны тогда и только тогда, когда Щ\Ь°)Ща,ЬХ) # 0. Доказательство. Пусть п = 2т. В этом случае
Э,=\со1Ь\,...,а>:п_2Ъ), соЩ,
т.е. в $0 и Э2 т столбцов, содержащих Ь\ и т столбцов, содержащих Ь°.
Кроме того, щ ,..., <лт 1 занимают т мест подряд без пропусков и со0 ,..., со,„ 2, со„, также занимают т мест подряд без пропусков. Поэтому умножим j-ю строку на еш>, где а - вещественное и такое, что е'а со0 ,..., е'а озт_ь будут г0, еь ..., гт_\,правда, может быть в другом порядке, т.е. некоторая их перестановка е'аыт ,..., е1аи>п_\ представляет собой некоторую перестановку из г„„..., в,г_]. Каждый из столбцов с номером я из 0 < л1 < т -1 есть
( £° Ь1 \
Ьк, п—1
V /
и к5 пробегают все номера из 0, ..., т-1. Каждый из столбцов с номером л- из т < .V < п -1 станет таким
ьк1и0
£П~1Ь° '
ск, ип-\ \ /
причем будет одним из номеров т,1, когда л- пробегает т<я<п-1, то и пробегает все т, ..., п-1, и после надлежащей перестановки столбцов получим
е1а(1+"+"'1)9а=±3(Ь\Ь°). Аналогично поступаем с Получим
и в этом случае лемма установлена.
Пусть теперь п = 2т+\. В этом случае
Тогда в число столбцов с Ь1 есть т, а число столбцов с Ь° есть т + 1. Поэтому получим
е,аа+-+"-1)9п=±9(Ь1,Ь°). Это рассуждение, примененное к &ь дает
е"311+-+п-1)31=±д(Ь\Ь°).
Лемма полностью доказана.
Теорема 2. Если условия самосопряжены, то они регулярны. Доказательство. Покажем, что
&(Ь°,Ь1) = \е»Ъ) е)Ь) ... Ет~'Ъ) е"'Ь) ...■ е?Ъ)\Ф 0.
гг I ( и И п
Умножим первый столбец на 1, второй - на ек и последний умножим на (е'1" | . Тогда из Ь]) получим
-ILO „»IL 1
где У] - =ел'{2т'а.
Условия самосопряженности дают: 1)ГУ+ = 2; 2 )Ь%\_;=Ь)Ь11Ч.
Надо доказать, что О (Ь°, Ь1) * 0. Допустим противное, т.е. пусть О (Ь°, Ь1) = 0. Тогда столбцы определителя В (Ь°, Ь1) будут линейно зависимы, т.е. существуют х0,..., хп } (£ | х,-1 > 0), что
-0 Ш + ь (у)Ъ°) + ... + хт_х (уГъП + х. (у.Ъ)) + ..Лхп_х (у?ъ)) = 0. Подробно и по-другому перегруппируем:
bl (хо7о° +... + х^уГ1 ) + Н {хтУа +... + хп_1Г^) = 0, b: (хоУ ° +... + Wr') + bl (хи/Г +... + хп_,уГ) = 0,
или
+ = 0 (/ = 0,...,и-1), (13)
где Р0(у) и /'[(у) — многочлены:
ад = Х0у° + ... + хт , Г"1, Л (У) = *тТ + - + Хи-1 У • Лемма 8. Имеет место
= 0 (/' = 0, ...,"-1). (14)
Доказательство. Пусть сначала = 2. Тогда без ограничения общности можно считать, что
'1 04
. Тогда из (13) получаем Р0(У/) = 0, /3](у.) = 0 и тем самым в этом случае выпол-
няется (14).
Пусть теперь г,- = 1. Тогда из 1) вытекает гп_^ - 1. Поэтому в этом случае мы имеем
Ь°Р0(У;) + Ь).Р1(У;) = 0, (15)
ь* р0 )+к_х_ я )=о. (16)
Но уя_!_у = е -е = у]. Поэтому из (16) получаем
+ = ' (17)
Значит, из (15) и (16) и (2) получаем т.е. имеем
(Ро (уЛ^-ЩГМГЛ = 0- (18)
Пусть Ь°Ь°_1_/ Ф 0. Тогда из (18) следует (14). Пусть теперь Ф 0, для определенности
пусть Ь° = 0. Тогда Ь\ ф 0, и потому из = 0 следует . = 0, а значит, Ь°п_1_] Ф 0. Поэтому
из (15) и (17) получаем Р,(у;) = 0, Р0(уу) = 0, и, значит, (14) выполняется.
Наконец, пусть гу = 0. Тогда из 1) получаем г„_1-у = 2. Значит, уже по доказанному
Отсюда
Переходим к сопряженным величинам:
(Г, ) Д (У, ) - ^ (7; )Л (7;) = 0. Отсюда получаем (14). Лемма доказана.
Продолжаем доказательство теоремы
2. Положим в(У) = — %(?).
Тогда
Пусть п = 2т. Положим
г(у)=р0(у)Д(у)+е(у)ё(у)-
Это многочлен степени < тах {2{т - 1), 2(п - 1- т)} = 2{т - 1), и по лемме 8 с учетом
у)т = у) = е11]+1)к' = -1 получим
2Г(Ху) = + ) = + =
= + = 0 О' = 0, л-1).
Значит, 2(у) = 0. Пусть у - вещественны. Тогда
0 = Ду)ЧРо(у)|2 + 1Ш12-
Отсюда Р()(у) = у) = 0 при вещественных у, а значит, и при комплексных у. Отсюда все х, = 0. Противоречие.
Пусть теперь п = 2т +1. Тогда
у2т _уП-1 _ е~(2)+т-1) _е„ц2;+1)е-£1(2;+1) _ __ ___1_
' ' ' У/
Известия Саратовского университета. 2005. Т. 5. Сер. Математика. Механика. Информатика, вып. 1 Положим
z(Y) = yP0(Y)Po(y)+Q(r)Q(r>
Тогда Z(у) — многочлен степени < max {1 + 2(m - 1), 2(n - 1- m)) = max {2m - 1,2m} = 2m = = n-1. Далее,
Z{Y;) = YjP^Yj)Po(Yj) + -^Pi(Yj)P1(Yj) = YjiPoiYjWY^-PiiYjWYj) = 0 по лемме.
' j
Поэтому Z(y) = 0, и при у > 0 имеем
0=z(r) =1 4YPo(Y) I2 +1 Q(Y) I2-
Отсюда PQ(y) - Q(y) = 0 при у > 0, а потому и при любых комплексных у . Отсюда х,- = О (г = 0, ..., п - 1). Противоречие. Теорема доказана.
2. Равносходимость разложений по собственным функциям интегральных операторов
В статье [6] рассмотрен интегральный оператор
1
Af = \A(x,t)f(t)dt х е [0,1], (19)
ядро которого А(х, /) симметрично: А(х^) = Дх,г)- Кроме того, предполагается, что выполнены условия:
а) при некотором натуральном п производные
Э^
А,,=-г А(х, () (5, / = 0, ..., п)
непрерывны при / < х и ? > х;
б) скачки
рМ) = М,\ =А,.\ -А.\
Гц V ' х',1 |г=, х-1' |х=,+0 хЧ' |я.=,_о
принадлежат [0,1] (у = 0, п - 1);
в) ноль не является собственным значением оператора А;
г) АА^ | = г"<5; ,1_1 (у = 0, ...,«), где 5д - символ Кронекера;
1
д) Vаг А ,ограничена по /.
При выполнении этих требований в [6] получен следующий результат (теорема равносходимости): существует такая последовательность номеров {к/}, что для всякой функции Дх) е ¿[0,1] и любого 5 е (0,1/2)
Нт||^(/)-а/(/)|с[г1_г] = 0, (20)
где /) и сгк( /) - частичные суммы рядов Фурье функции / (х) яо собственным функциям оператора А и обычной тригонометрической системе (к - число членов).
Условия а), б), д) ослабить нельзя. Условие в) необходимо, а условие г) говорит о каноническом виде интегрального оператора, для которого имеет место равносходимость, точнее, если
имеет место (19), то всегда можно указать такой интегральный оператор FORMULA с теми же собственными функциями, что и у оператора А, для которого выполняется г).
Теперь для самосопряженного оператора (16) с условиями а)-д) приведем такой результат.
Теорема 3. Если f е Ad (АЛ - область значения оператора А и А 4 — ее замыкание в С
1
[0,1 ]) и У ar(f ) < оо) mof(x) разлагается на [0,1] в равномерно сходящийся ряд по собственным функциям.
Это есть аналог теоремы Жордана—Дирихле из теории тригонометрических рядов Фурье и получается методом, указанным в [6, 7], с существенным использованием результата, аналогичного теореме 2, и здесь не приводится из-за большого объема изложения.
Работа выполнена при финансовой поддержке програ.имы Президента РФ поддержки ведущих научных школ (проект НШ-1295.2003.1), РФФИ (проект 03-01-00169) и программы «Университеты России» (проект УР.04.01.041).
Библиографический список
1. Salaff S. Regular boundary conditions for ordinary differential operators // Trans. Amer. Math. Soc. 1968. V.134, №2. P.355-373.
2. Salaff S. Regular boundary conditions for ordinary differential operators // Тез. крат. науч. сообщ. Секция 6. JCM. М., 1966. С. 15.
3. Fiedler Н. Zur Regularitat selbstadjungierte Randwertautgaben // Manuscripta Math. 1972. V.7., № 2. P. 185-196.
4. Минкин A.M. Регулярность самосопряженных краевых условий // Матем. заметки. 1977. Т. 22, вып. 6. С. 835-846.
5. Минкин A.M. Теорема равносходимости для дифференциального оператора: Дис. ... канд. матем. наук. Саратов, 1982.
6. Корнев В.В., Хромов А.П. О равносходимости спектральных разложений самосопряженных интегральных операторов // Современные методы в теории краевых задач. Воронеж, 2000. Ч. 2. С.73-82.
7. Корнев В.В., Хромов А.П. О сходимости разложений по собственным функциям в пространствах дифференцируемых функций // Интегральные преобразования и специальные функции: Информ. бюл. 2004. Т. 4, № 1. С. 19-31.
УДК 519.48
ПРОДОЛЖЕНИЕ УПОРЯДОЧЕННОСТИ НА МНОЖЕСТВО ВЕРОЯТНОСТНЫХ МЕР
В.В. Розен
Саратовский государственный университет, кафедра геометрии E-mail: [email protected]
Предложен общий метод для продолжения упорядоченности на множество вероятностных мер. Он основан на наличии связи Галуа между всеми продолжениями упорядоченности на множество вероятностных мер и подмножествами изотонных отображений в числовую прямую. Продолжение порядка, которое определено множеством всех изотонных отображений, названо каноническим. Для канонического продолжения дано эффективное описание и найдены вероятностные меры, которые являются максимальными в выпуклых многогранниках вероятностных мер. Указаны некоторые приложения рассмотренных методов для задач принятия решений.
An extension of the ordering to the set of probability measures
V.V. Rozen
A general method for extension of the ordering to the set of the probability measured. It based on the Galois connection between all such extensions and subsets of isotone mappings of the given ordered set in the real numbers. The canonical extension is defined as extension determined by the set of all isotone mappings. For canonical extension, an effective description is given and the maximal measures in convex polyhedra are found. Some applications of considered methods for decision making problems are indicated.
