CC BY
13
ние экспоненциальных функций в ряды, выделение главных частей асимптотик по а, леммы 1 и 2. Отличие от нуля Rk р доказывается аналогично
рассуждениям в [4]. Отличие от нуля Qk р следует из леммы 3 и того, что норма, входящая в Qk совпадает [5] с
sup{|/("+2)|c : f(x) е Mk2+\a,b})* 0.
БИБЛИОГ РАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Хромова Г. В. О дифференцировании функций, заданных с погрешностью // Дифференциальные уравнения и вычислительная математика: Межвуз. сб. науч. тр. Саратов, 1984. Вып. 6. С. 53 - 58.
2. Хромова Г. В. Об оценках погрешности приближённых решений уравнений первого рода//ДАН. 2001. Т. 378, № 5. С. 605 - 609.
3. Хромова Г. В., Шишкова Е.В. О скорости сходимости приближений функции вместе с её производной // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2003. Вып. 5. С. 136 - 138.
4. Хромова Г. В. О скорости сходимости приближений функций на некоторых компактных классах и задаче восстановления функций//Вестн. МГУ. Сер. 15. 1993 № 1. С. 13-18.
5. Хромова F. В. О верхних гранях норм функций и их производных // Вестн. МГУ. Сер. 15. 1998. № 2. С. 45 - 47.
УДК 517.95
В. А. Юрко
ИНТЕГРИРОВАНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ НА ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ МЕТОДОМ ОБРАТНОЙ СПЕКТРАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ*
При исследовании нелинейных вполне интегрируемых дифференциальных уравнений на полупространстве будем применять метод обратной спектральной задачи и в качестве основной спектральной характеристики будем использовать матрицу Вейля [1,2]. Исследование нелинейных вполне интегрируемых уравнений на полупространстве сталкивается с существенно большими трудностями, чем на всём пространстве, что связано, в частности, с наличием нелинейного отражения. При этом эволюционные уравнения на матрицу Вейля получаются нелинейными. Однако их можно свести к цепочке последовательно решаемых уравнений Риккати, которые в свою очередь сводятся к системам линейных дифференциальных уравне-
Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования (проект Е02-1.0-186), программы «Университеты России» (ур.04.01.042) и Российского фонда фундаментальных исследований (проект 04-01-00007).
ний. Этот механизм является универсальным и может быть применен для любых нелинейных вполне интегрируемых дифференциальных уравнений. В данной статье этот метод применяется при исследовании системы Богоявленского на полуоси.
Рассмотрим следующую краевую задачу:
и( = -иххх +6иих + 6 ух , V, = 2уххх - 6т>х, х > 0, ^ > 0,
м|(=0 = "<>(*)> у|/ = о =уоМ,
- = и*(0. тт_1— = * = 1,з.
~ 4-1 ОХ 1х=0
(1) (2)
(3)
дхК >=о
Система (1) равносильна уравнению Лакса Ь = [А,Ь], где Ьу:=у(4) ~2(иу'У+(у + и2 -и")у, Ау:=-4/"+6иу'+Зи'у [3]. Здесь "штрих" обозначает дифференцирование по х, а "точка" -дифференцирование по
Пусть {и(х,1), у(х,0} - решение задачи (1) - (3). При фиксированном г > 0 рассмотрим дифференциальное уравнение относительно л-
1У:= у<4> -2(и/У+ъу = Ху, х>0, (4)
где и>:= у + и2 - и". Пусть 1</и< j< 4 — функции Вейля для
соответствующие линейным формам (>"):= £ = 1,3 (см. [I, 2]).
Обозначим М„.-(к) = Мт,(ОД) - функции Вейля для начальных данных {к0,у0}. Введём матрицу = по формуле
Зн2 6г<| 0 -4
- 4А + 4у, + 4«,2 - иъ "2 -2 щ 0
4у2 + - «4 - 4Л, + 4У| + 4ггр -и2 -- 2«|
^4, 8у2 + \2ихи2 - иА - 4Х + 4У| - и3 - Зи2
где
= —2м, (Л. — V, -и\ -Зи3) + 4у3 +8(г/|)-«5,
2
м4 =-«| +6г<|!<2 + 6У2, И5 = -И2 +6И|К3 + 6М2 + 6У3. ТЕОРЕМА 1. Пусть
>2,"
М1 з 7° - < 0(1) _ ^31
_М14 < /41.
о<-') - Г Уп -П1-
ей-
^22 ^23 -^24 ~
^32 ^33 ^34
^42 ^43 ^44.
Тогда 2{(1,к) является решением следующей задачи Коши для уравнения Риккати:
10).
(5)
Используя лемму Радона, можно записать решение задачи Коши (5)
в виде
г,(гД) = 71(/Д)(^| (гД)Г',
(6)
где пара {^(/Д^У^/Д)} является решением задачи Коши для линейной системы
хх=<2Ух1+о?2% х,(од) = 1, 1
Л +022^1. г,(0Д) = г1°Д).|
ТЕОРЕМА 2. Пусть
(7)
22 = "М23 М2 4 1 2 "к. ^32-^12^13
>33- Лз- ^14^14. е,(22)=[^з
Тогда
¿2 ~ 22012 '^2> 22(0,Л) = 2° (Л). (8)
По лемме Радона для решения задачи Коши (8) имеем
22((Л) = У2{1Л){Х7(1,Х)У, (9)
где пара {Х2((,Х% Т2(/Д)} является решением задачи Коши для линейной
системы
х2 = + д\\)у2, х2 (од) = 1, 1 >2 = в^х2 + д™г2, у2(од) = 22(>.).]
ТЕОРЕМА 3. Пусть
" -/34, 2° = А/34,
(10)
: г43 - Ъ3М24 - (М14 - М12М24)^з, = о,
= ^44 - ^33 - ^24^24 + ^23^23 + (^13
(3)=( и 1
М12М2 з)^13
-(Л/,4 -М12М24)^4,
01(23) = ^34 - ^24^23 - (М13 - ^,2^23)^14-
Тогда
= Й+ 022^3 - - г3(0,Я) = г;'(Л).
По лемме Радона для решения задачи Коши (11) имеем
23([,Л) = У3(1,Л)(Х3((,Л)Т\
(И) (12)
где пара {Х3(Г,Х), У3(гД)} является решением задачи Коши для линейной системы
*3=в$х3+о$% х3(од)=1, | (1з)
Г3 = 3 + Q$Y3, Т3( ОД) = Z3°(>.).J Таким образом, мы получаем следующий алгоритм решения задачи
0)-(3). _
Алгоритм 1. Пусть заданы функции ик ,vk ,к = 0,3.
1. Строим функции Вейля M°mj (X), 1 <т< j < 4.
2. Последовательно при к = 1,2,3 вычисляем Zk(tД) по формулам (6), (9), (12), где Xk(t,X) и Yk(tД) находятся из (7), (10), (13). Тем самым построены функции Вейля Mm (t Д), 1 < m < j < 4 .
3. Строим функции {м(д:,г), v(jc,i)}, решая обратную задачу по функциям Вейля Mmj(t,X), \<т< j <4, методом спектральных отображений
[II-
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. К Л. Method of Spectral Mappings in the Inverse Problem Theory. Inverse and Ill-posed Problems Series. VSP, Utrecht, 2002.
2. Юрко В. А. Обратные спектральные задачи и их приложения. Саратов: Изд-во Сарат. пед. ин-та, 2001.
3. Богоявленский О. И. Опрокидывающиеся солитоны. Нелинейные интегрируемые уравнения. Москва: Наука, 1991.
