Системы уравнений свертки в комплексных областях Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 10. № 2 (2018). С. 76-92.

УДК 517.5

СИСТЕМЫ УРАВНЕНИИ СВЕРТКИ В КОМПЛЕКСНЫХ ОБЛАСТЯХ

С.Г. МЕРЗЛЯКОВ

Аннотация. В данной статье изучаются системы уравнений свертки в пространствах векторнозначных функций одной переменной. Для таких систем определен аналог интерполирующей функции Леотьева и приведен ряд свойств этой функции. Для изучения этих систем вводится геометрическая разность множеств и приводятся ее свойства.

Доказана теорема о представлении произвольных вектор-функций в ряд по элементарным решениям однородной системы уравнений свертки. Эти результаты обобщают некоторые известные результаты А.Ф. Леонтьева о методах суммирования ряда элементарных решений к произвольному решению и усиливают результаты И.Ф. Красичкова-Терновского о суммируемости квадратной системы уравнений свертки.

Приводится явный вид областей, в которых сходится ряд элементарных решений для произвольных вектор-функций. Эти области зависят от областей определения вектор-функций, от роста преобразований лапласа элементов системы и от оценок снизу его определителя. Построены примеры, показывающие точность этого результата.

Аналогичные результаты получены для решений однородной системы уравнений свертки, и приведены примеры, в которых ряд сходится во всей области определения вектор-функции.

Ключевые слова: системы уравнений свертки, векторнозначные функции, интерполирующая функция Леотьева, ряды по элементарным решениям.

Mathematics Subject Classification: 30В50

1. Введение

Пусть € N [Д, и2,..., ид области в комплексной плоскоети, Н(и^) пространство функций, голоморфных в области и^ с топологией равномерной сходимости на компактах, — линейные непрерывные функционалы па пространстве Н(и)),] = 1,...,д, р = 1,... ,г.

Рассмотрим систему уравнений свертки

я

3 = 1 3=1

Y,(s3,fi (* + Ь)> = 0, р =1,...,г, f =(fi,...,fq) е П н{и>).

В работах И. Ф. Красичкова-Терновского [1]—[Т] изучался вопрос аппроксимации произвольного решения этой системы линейными комбинациями элементарных решений, а в работах [8]-[10] суммируемость ряда элементарных решений.

S.G. Merlyakov, Systems of convolution equations in complex domains. © 2017 Мерзляков С. Г.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проекты № 17-01-00794 и 15-01-01661). Поступила 24 октября 2017 г.

В данной статье мы перенесем на решения подобных систем некоторые известные результаты А. Ф, Леонтьева о методах суммирования ряда элементарных решений к произвольному решению для случая q = 1 и одного уравнения свертки (см, [11]) и усилим некоторые результаты И, Ф, Красичкова-Терновского о суммируемости,

2. Обозначения, предварительные сведения и результаты

Для множества М комплексной плоскости через

сопуМ, Ш М, М, М,ш,

где т Е С, будем обозначать соответственно его выпуклую оболочку, внутренность, замыкание и связную компоненту, содержащую точку IV.

Сумму и геометрическую разность множеств М1, М2 С С определим соответственно как множества

М\ + М2 = {г1 + ¿2 : ¿1 е М1,г2 Е М2} , М1 - М2 = {г Е С : г + М2 С М1} . Для операций с пустыми множествами, очевидно, имеем:

М + 0 = 0, М - 0 = С, 0 - М1 = 0, М1 = 0. Опорная функция множества М С С определяется по формуле

к(в,М) = вир ае-в, в Е [0, 2ъ].

аем

Эта функция обладает следующими свойствами (см, [12], с, 18-19, [13], с, 125):

Лемма 1.1) Ц(в,М) = Цв, сопуМ).

2) (к(в,М1) < к(в, М2), в Е [0, 2п]) ^ (М1 С соПУЩ.

3) к(в, М1 + М2) = к(в,М1) + к(в, М2).

Лемма 2. Операция разности множеств обладает следующими соотношениями:

1) (м + к с и) ^^ (м с и - К).

2) (и1 С и2, К1 Э К2) (и1 - К1 С и2 - К2).

3) [(и1 + и2) - К] э [(и1 - К) + и2].

4) и - (К1 + К2) = (и - К1) - к2■

5) Для, произвольных множеств индексов А и В имеет место равенство:

П № - кр)=( п ц,) - (и кр)

\еА,[5ев \аеА / \рев )

6) Если множества ип открыты, а множества Кт компактны, причем, ип С ип+1, Кт Э Кт+1, п,ш — 1, 2,..., то

^ Кт

и (ип - Кт) = (и ип) - (П Кт)

п,т \ п / \ т /

1) Если множество и открыто, а множество К компактно, то множество и - К открыто.

8) Если множество и выпукло, то и множество и - К выпукло, и

и - К = и - сопук.

9) Для множеств и, К С С, К = 0, имеет место неравенство

Цв, и - К) < Цв, и) - Цв, К), в Е [0, 2ъ].

10) Если выпуклое множество и замкнуто или открыто, а множество К компактно и не пусто, то

(и + К) — К = и.

11) Пусть открытое множество и односвязно, тогда, все связные компоненты множества и — К также односвязны.

Доказательство. Свойства 1)-7) легко следуют из определения разности множеств и свойств компактов,

8) Выпуклость множества и — К вытекает из свойства 5):

и — К = р| (и — г).

хек

Так как множество и выпукло, то

(г + К С и) ^^ (г + сопуК) С и. Свойство 9) вытекает из включения

(и — к) + к с и

и свойства 3) опорных функций,

10) По предыдущему свойству

к(в, (и + К) — К) < И(в, и + К) — И(в, К) =

Н(д, и) + Н(д, К) — И(в, К) = И(в, и), в е [0, 2ъ],

поэтому по свойству 2) опорных функций в случае замкнутости множества и имеем соотношение

(и + к) — к с и.

Обратное включение очевидно.

Если же множество и открыто, то его можно исчерпать возрастающей последовательностью выпуклых компактов и искомое равенство несложно вывести из свойства 6),

Замечание. Если множество и не выпукло, то последнее свойство, вообще говоря, не верно.

Пусть, например,

и = [г е С : 1т г > 0} , К = [г е С : —1 < И,е г < 1, 1т г = 0} .

Как несложно показать,

и + К = С,

и

С = (и + К) — к = и.

11) Пусть С С и — К — замкнутый контур, содержащий точку г внутри, В таком случае для любой точки т е К имеем т + С С и и замкнутый контур т + С содержит точку т + г внутри,

В силу односвязности области и имеет место включение

т + г е и,

откуда, как нетрудно показать, и вытекает искомое утверждение, □

Пусть и и К соответственно открытое и компактное подмножества комплексной плоскости.

Через Н(и) и Н(К) будем обозначать соответственно пространство голоморфных функций в области и и пространство ростков голоморфных функций на компакте К с естественными топологиями.

Через Н*(и) и Н*(К) обозначим пространство линейных непрерывных функционалов соответственно на пространстве Н(и) и Н(К) с сильными топологиями.

Для произвольного функционала Б Е Н(С), как известно (см, [14]), найдется компакт К С С и голоморфная вне К функция 7, 7(то) = 0, что

(Я,!) = -¿¡¡1Ш (№, IЕ н(С),

где контур С охватывает компакт К.

Преобразование Лапласа ¿>(А) функцнонала Б определяется по формуле

§(\) = (Б,, еХг) ,

и является целой функцией экспоненциального типа. Наименьший выпуклый компакт, содержащий все особенности функции 7, называется сопряженной диаграммой функции

в(Х).

Обратно, для любой целой функции экспоненциального типа найдется функционал пространства Н*(С), преобразование Лапласа которого совпадает с этой функцией.

Пусть компакт К С С является сопряженной диаграммой функции Б(Х). Если область и С С такова, что К С £7, то в пространстве Н(и) можно определить оператор свертки Б * с характеристической функцией Б(Х) по правилу:

(3 * f)(г) = -^1'уШ& + f Е Н(и).

Как несложно показать, этот оператор будет линейно и непрерывно отображать пространство Н (и) в пространство Н ([и — К]0),

Если функционал Р лежит в пространстве Н*(С), компакт Я является сопряженной диаграммой функции _Ри К + К С [/, то можно определить свертку функционалов Р и Б как функционал Р * Б на пространстве Н(и), действующий по формуле

(Р * Б,/) = (Р,Б * I), f Е Н(и).

В монографии [15] (см, с, 21) показано, что это линейный и непрерывный функционал на пространстве Н(и), для которого, как нетрудно видеть, имеют место соотношения:

Р* Б = Б * #

Р* Б = РБ.

Пусть области в комплексной плоскости, Б^ Е H*(Uj), ф^(^) = Б^(^), компакты Кр- С являются сопряженными диаграммами функций ] = 1,... ,д, р = 1,... ,г,

мм ■ >А(Р)\

= ч?М .. . 'А М

ч>1(») .. ■ & '(¿))

Определим на пространстве

П н ) j=1

линейный непрерывный оператор свертки Б*, принимающий значения в пространстве

П н

р=\

П — кз)

и=1

по формуле:

(Я * f )Р = £ % * Ъ,

3 = 1

где (Б * f )р — р-тая компонента вектор-функции $ * /, р = 1,... ,г. Рассмотрим однородную систему уравнений свертки

5 * f = 0.

Решение этой системы называется элементарным, если оно представляется в виде

(1)

^ еЛггтст, в е Н,

т= 1

где ст е С, т = 1,..., в, число А называется показателем этого решения. Рангом системы (1) назовем число

щ 3 = тахщ р(А). лес

Пусть ^ — линейные непрерывные функционалы на пространстве целых функций, компакты Н^т являются сопряженными диаграммами функций Рт, р = 1,...,г, т = 1,... ,1,1 е Н, и для них выполнены включения:

сопу У + К]) С и,, т =1,...,1, з = 1,...,д.

р=1

В таком случае несложно показать, что матрица фунционалов Р * Б, у которой на пересечении ^'-того столбца и т-той строки стоит элемент

* ^

р=1

будет порождать оператор свертки

(Р * в) * : Д Н(и,) Н

3 = 1

П н ({п

т=1 \ Ь = 1

из — сопу и (вр + щ)

р=1

и

(2)

(Р * в) * f = Р * (в * f) Л е П Н(и,), Р* в = Рв.

3 = 1

Пусть для системы (1) выполнены равенства

д = р = ^ $ = п. Примем следующие обозначения:

Ь(\) = — присоединенная матрпца для р(Х), В3т — сопряженные диа-

граммы элементов матрицы <р*(\),

п п

Кт = сопу у Кт, в' = сопу у Вт, т,] = 1,... ,п,

]=1 т=1

К — сопряженная диаграмма функции Ь(\).

Из свойств присоединенной матрицы несложно вывести следующие соотношения:

В3 С ^ Кр, сопу и (К3т + Вт) э к,

Р=3 3 = 1

],т = 1,... ,п.

о

В дальнейшем будем считать, что Кр С ир, р = 1,... ,п.

Для выпуклого компакта В С К определим множества (и,ф, В)р как объединение множеств

п

[}[(В + Я3) — Щ] (4)

=1

по совокупности всех таких систем выпуклых компактов (Я1,..., Яп), что для некоторых одноевязных областей Ср С ир

сопу у {я^ + к^т с gт, — . . . ^п,,

3=1

(5)

щ с

П (°т — К'т)

т=1

3 = 1,...,n,

р = 1,... ,п.

Ясно, что множества (Я1,...,Яп) с условиями (5) можно немного шевелить, поэтому, очевидно, множества (и, <р, В)р будут открытыми, р = 1,... ,п.

Лемма 3. Имеют место следующие соотношения:

1) (и,<р,В)р С ир, р =1,...,п.

2) Для одноевязных областей Ср С ир и любой выпуклой подобласти И области

(&т — Кт)

т=1

выполнено включение:

(В + Б) — Вр с (и,^,В)р ,

р = 1,... ,п.

3) Для, выпуклых областей ир имеют место равенства:

(и,<р,в )р = р| =1

В + [}{17т — кт т

т=1

— в>

}

р = 1,

, п.

Доказательство. Понятно, что достаточно ограничиться случаем р = 1.

1) Пусть точка г принадлежит множеству (и,<р,ВВ таком случае найдется система выпуклых компактов (Я^ ..., Яп) со свойством (5), что точка г лежит во множестве (4), Имеем:

г + В) С В + Яу С К + Яу, з = 1,...,п. (6)

Обозначим через М1 левую часть первого соотношения (5), Ясно, что это множество является выпуклым компактом и

Я, + К3, С Ми

или

Я1 С М1 — к(,

поэтому из соотношений (6) получим:

г + В] С К + (М1 — К{), 2 = 1,. По свойству 3) операции разности множеств

к + (М1 — к() С (К + М1) — к{, 2 = 1,

п.

,n,

о

о

следовательно,

z е f]{[(K + М\) - к(] - В)}

f][(K + М)) - (К{ + В))} С

3 = 1

i=)

С

(К + м)) - у (К{ + В)) с (К + М)) - К = М).

3 = 1

Здесь были применены свойства 2), 4), 5), 10) операции разности множеств и соотношения (3).

Так как множество М1 лежит в области С1.1 искомое доказано,

2) Если К выпуклый компакт области И, то по свойству 2) операции разности множеств имеем

R с

с

Р| (Gm - Kim

m=1

(Gm - Km)

m=1

а по свойству 1) и в силу выпуклости компакта R получим:

п

Gm Э R + Km = conv у (R + Klm) , т =!,...

, п.

i=1

В таком случае, если положить Rp = R, р = 1,..., п, го определения множества (U, <р, В)А

следует включение

р|[(В + R) - В)] С (U,v,B))

j=l

и искомое вытекает из свойств 5), 6) и 8) операции разности множеств, С

разности множеств,

В случае выпуклости областей ир их и берем за области Ср.; р = 1,... ,п, и условия (5) па множества Rj, как несложно показать, будут эквивалентны соотношению:

п

Щ С [}{ит — к'т) ,

т=1

3 = 1,...,п.

Пусть Rj, I Е N — последовательность выпуклых компактов таких, что

Ri С int Rl+\ I е N, U Ri = р| (Um - Кm)

1=1 m=1

j = 1,... ,п. В таком случае

(U,^,B)1 Э U П + Ri) Э U П + int Rli) В1] .

1=1i=1

1=1i=1

Последовательность, стоящяя в квадратных скобках последнего соотношения, будет возрастающей по переменной I, поэтому, как несложно показать,

те п п те

и П [(я + int в-l) - В}] Э ПШ(В + int R't) - В1]

1=1 i=1 i=11=1

и искомое следует из свойства 6) операции разности множеств, □

Следствие 1. Для одноевязных областей Ср С ир имеют место включения:

В +

^ (&т — Кт)

т=1

— вп С (и, у, в)%

(в — вр) +

(Ст — Кт)

т=1

С (и,р,В),

р = 1,... ,п.

Здесь также будем считать, что р = 1.

Если точка г принадлежит левой части первого соотношения, то г е В + го для некоторой точки

¿о е

(Ст — Кт)

т=1

* В1,

или

го + В1 С

^ (&т — Кт)

т=1

Положив В = го + В1, по доказанному выше имеем:

(В + го + В1) — В1 С (и,<р,В)1.

Из невырожденности матрицы <р следует, что множество В1 не пусто, поэтому по свойству 10) операции разности множеств имеем

(В + го + В1) — В1 = В + го,

что и доказывает первое соотношение. Для любой выпуклой области

п

о С Р (От — Кт)

_т=1 J о

как показано выше, выполнено включение

(В + Б) — В1 С (и,р,В)1,

и второе соотношение следует из свойства 3) операции разности множеств и произвольности выпуклой области И.

3. Свойства функций ш и Р

Предположим, что одноевязные области Ср содержат компакты Кр, р = 1,... ,п, и для системы (1) выполнены равенства (2), так что функция Ь(Х) будет отлична от тождественного нуля. На пространстве

П н )

Р=1

(7)

введем две вектор-функции:

(I (

Р^ ^ = 2лр ]с-ВД-^,

(8)

о

о

о

о

п

V

где

п

а е П Ср,

Р=1

С — замкнутый контур, не проходящий через нули функции Ь(Х), интегрирование в первом случае производится по кривым области Ср, р = 1,... ,п.

Заметим, что функция ш является обобщением известной интерполирующей функции А. Ф, Леонтьева на векторный случай.

Лемма 4. Функция ¡, р, С, а) обладает следующими, свойствами:

1) По перемен ной ^ функция ¡,р,С,а) является, целой функцией, экспоненциального типа, по каждой компоненте, по переменной / — линейным непрерывным функционалом на, пространстве (7).

2) Для, оператора, свертки, Б * имеет место следующее равенство:

S * eßZш (ß, f, ip, G,a) = L (ß) 3) Для, вектор-функции,

(I <

Dp,

-Vfp (t) dt

j=i

f (z) = (exp Xz) b, b e C

(9)

имеет место соотношение:

u(ß,f,p,G,a)

p*(ß)p(X)b — L(ß)E(X — ß, a, b) X — ß

Здесь

Е(Х - /1, а, Ь) = (е(х-11)а1 Ьь ..., е(х-11)а" Ъп) .

Функция др(у,Х), стоящая, на, пересенении р-того столбца, и ]-той, строки матрицы р*(^)р(Х), имеет оценку

\д1 (ц,Х)\ ^ С(е)С1(е1)е[к(-^^^т (ю)

и удовлетворяет соотношению

9РМ,^) = др (^,^) = 0,р = ^ (11)

р,2 = 1,...,п.

4) Предположим, что гф (у) — квадратная м,а,трица п-того порядка, элементы, которой являются, целыми функциями экспоненциального 'типа, компакты В™ — сопряженные диаграммы функций -ф™, и выполнены включения:

conv U (Дт + Щ) С Gp,

(12)

3 = 1

R? С

def

Oi,

(13)

П — Ki)

Lp=i

p,j,m = 1,... ,n.

Тогда, для любой вектор-функции, f пространства (7) имеет место равенство:

^(ß,f,^V,G,a) = det ф(ß)ш(ß, f,p,G,a) + p*(ß)u(ß,S * f,■ф,0,0).

5) Пусть Mp — компактный выпуклый многоугольник, Кр С int Мр, Мр С Gp, arg z = —ат>р, т = 1,... ,рр, — перпендикуляры к сторонам много угольника, а, 1тр — лучи arg z = атр (предполагаем, что переход от луча 1тр к луч у lm+i,P происходит по кратчайшему пути, против часовой стрелки), р = 1,... ,п.

п

V

Для, произвольной вектор-функции, f пространства (7) имеет место представление:

и !, Ч>, С,а) = Ь А — р* И ,

где А и И (у) — мероморфные вектор-функции, полюса которых лежат на, лучах 1т>р, т = 1,... ,рр, р = 1,... ,п.

Для, любого числа £ > 0 найдется чиело с(е) > 0 такое, что вне углов

Рт,

будет выполнено неравенство

Г(Р) п

^ £

11 р=1

т = 1,... ,рр, р,] = 1,... ,п.

Доказательство. Свойства 1)-3) показываются путем несложных вычислений,

4) Покажем, что все три оператора этого соотношения непрерывны по переменной f в пространстве (7),

Действительно, второй оператор непрерывен по свойству 1), первый, используя включения (12), также непрерывен по этому свойству.

Третий оператор является суперпозицией двух, из которых внутренний оператор, свертка Б*, непрерывно отображает пространство (7) в пространство

п

П н (°р),

Р=1

а внешний есть произведение матрицы р* па вектор-фупкцию ш, определенную на этом пространстве.

Как легко видеть, пересечение конечного числа открытых множеств с одноевязными связными компонентами будет таким же множеством, поэтому, согласно свойству 11) операции разности множеств, области Ор, р = 1,... ,п, будут одноевязны и непрерывность третьего оператора следует из свойства 1),

Как несложно вывести из свойства 2), искомое равенство будет верно для вектор-функций $ (г) = (ехр Лг)Ь, Ь е Сп, а линейные комбинации их плотны в пространстве (7) в силу односвязности областей Ср, р = 1,... ,п, что и доказывает утверждение,

5) Этот пункт следует из теоремы 4,6,10 монографии [16] и замечаний к ней, □

2, Приведем теперь свойства вектор-функции Р(г, /, <р, С),

Лемма 5. 1) В представлении (8) вектор-функция, Р не зависит от па,ра,м,етра, а, по переменной f является, линейным непрерывным функционалом, на, пространстве

п

П н (кр) ,

Р=1

а по переменной г — линеинои комбинацией элементарных решении системы (1) с показателям,и, лежащими внутри контура, С.

2) Предположим, что матрица ф (у) удовлетворяет пункту 4) предыдущей леммы. Если ф (у) ф 0 и вектор-функция / удовлетворяет си,стем,е (1), то эта вектор-

функция, будет удовлетворять си,стем,е с характеристической матрицей ф (у) р (у) и

Р (г,/,фр,С) = Р (г,^<р,С)

для, любого контура, С, не проходящего через нули функции ф (у) р (у).

3) Пусть Ср С ир выпуклые области, Ср э Кр, и для, некоторого числа т, 1 ^ т ^ п, выполнены включения:

Вт + К> С Ср, р,з = 1,...,п.

Если вектор-функция f пространства (7) удовлетворяет системе (1), то т-тая компонента этой функции будет удовлетворять уравнению свертки с характеристической функцией Ь(^) и

Рт(г,/,<р,С ) = Р (г,/т,Ь,С)

для, любого контура, С, не проходящего через нули функции Р(^), где Рт — т-тая компонента вектор-функции, Р.

4) Если вектор-функция / является, линейной комбинацией элементарных решений системы, (1) с показателям,и, лежащими внутри контура, С, то

Р (г,Ь<р,С ) = f (г).

Доказательство. 1) Для вектор-функции / вида (9) независимость от параметра а легко выводится из свойства 3) вектор-функции ш, а для остальных вытекает из полноты этих вектор-функций.

Точки ар выберем в компактах Кр, р = 1,...,п. Из представления вектор-функции ш ясно, что интегрировать достаточно в сколь угодно малых окрестностях указанных компактов, откуда и следует непрерывность вектор-функции Р в нужной топологии.

Из представления (8) и из свойства 2) вектор-функции ш несложно вывести, что вектор-функция Р является линейной комбинацией элементарных решений системы (1) с показателями, лежащих внутри контура С.

2) Если вектор-функция f пространства (7) будет решением системы (1), то, как несложно убедиться, последний член равенства пункта 3) предыдущий леммы тождественно равен нулю

1) Для вектор-функции / вида (9) независимость от параметра а легко выводится из свойства 3) вектор-функции ш, а для остальны ш.

Свойство 3) для функции (ехр Хг)Ь, Ь Е Сп, это следует го свойства 2) функции ш и искомое утверждение вытекает из полноты линейных комбинаций экспоненциальных вектор-функций в пространстве

П Н(Kv).

р=1

4) Пусть

ар Е conv У [Rj + Кр) , ар Е Кр, ар Е Rp. j=i

Из свойства 3)

Это следует из предыдущего свойства и свойства 12) интерполирующей функции монографии [16] (стр. 248), □

4. Суммирование ряда элементарных решений 1, Нам понадобится следующий результат.

Лемма 6. Пусть g(ß,X),L(ß) целые функции, имеющие оценки:

lg(ß, А)| ^ ci(£i)c2(£2)exp[H (arg X) + е] |А| + [h(- arg ß,K) + ei] И,

> C2(£2)exp [h(- argß,B) - £2] 1ß\ = Гр, (14)

где гр <X),H(в) — опорная, функция некоторого компакта, В, К — выпуклые компакты. Предположим,, что g(ß,ß) = aP(ß),a Е C. Определим функцию Фр(Х,г) по формуле:

Ф (Xz) = — i 9(X,ß) - aL(ß) eßZ du- aeXz ^(A,Z) 2npJ]z]=rp (X - ß)P(ß) 6 dß ae .

Тогда для точки z e (int К) — В имеет место оценка

|Фр( Л,z)l ^ с(е)А(еi)rke(s-2еl)r*е[н(argA)+£l|A|,

zde5 = p(z ,д(К — В)).

Этот результат можно получить небольшим усложнением доказательства аналогичной леммы в монографии [16] (стр. 301-306),

Теорема 1. Пусть для функции L(ß) выполняется оценка (14), и

С = {N = r3} , je N. Тогда для любой вектор-функции,

п

fe Дн(Вр)

p=I

имеем соотношение

ИшР (Z ,f,p,C)) = f(z) (15)

в топологии пространства

п

Д Н((int В) — Вт).

т=1

Если, же

п

fe Дн (Up),

p=I

где области UP содержат компакты Вр,р = 1,... ,п, и вектор-функция f удовлетворяет системе (1), то соотношение (15) будет иметь место в топологии, пространства

п

Д Н ((и,р,В)т).

т=1

Р

доказать для функций, у которых только одна компонента, скажем, первая, отлична от нуля.

Пусть f(z) = (exp(Л z), 0,..., 0), 1 ^ т ^ п. По второму свойству функции ш

Рт(г,f,f,Cp) = y- f е

JCp — ß)L(ß)

Для функции дт(ц,Х) имеет место оценка (10) и соотношение (11), поэтому из леммы 17 и леммы 5,1 книги [11] вытекает искомое утверждение. Пусть теперь вектор-функция

п

fe Дн (Up)

p=I

В1, . . . , В п

полняются включения (2),

Можно считать, что между соседними окружностями нулями [Ißl = гр} и [Ißl = гр+\} у функции L(ß) имеются нули. Рассуждая как в монографии [17] (см, стр. 240-241), найдем целые функции экспоненциального типа ф^(ß) с индикатрисами роста h(—9,Вi), j = 1,... ,п, что для Ißl = гр имеет место оценка

W(ß)l > C(£)exp{ [h(— argß^3) — e] .

Обозначим через ф(ß) диагональную матрицу с компонентами ф(ß). В силу условия на В Р

Р(z,f,p,Cp) = P(z, f, фр, Ср).

Применим теперь доказанную часть теоремы к вектор-функции f и матрице ^(ß)ip(ß). Компакт В заменится компактом В + компакты К-^ — на К-^ + ^2т=р Вт. Имеем

следующие соотношения:

int | В +

(т \ п / \

в+£в>- - и(кт+ЕВт

3=1/ р= 1 V тфр '

п

Р=1

п

Р=1

int (в + ¿В'] - (Кт + ^Вт)

V 3 = 1 ' \ т=р /

¿вЛ - (к;т + ^вА

3 = 1 ' \ т=р /

В + int Вр +

р| [(В + ЫВР) - кт\,

Р=1

ибо, как легко видеть, для любых множеств А1 и А2 выполняется включение:

int (А1 + А2) D А1 + int А2. Итак, соотношение (15) выполняется в нужной топологии. Теорема доказана.

□

Замечание 1. Область сходимости последовательности Р(г,/,<р,Ср) будет максимально возможной, если будут выполнены равенства

Вр + Кр = В, р=1,...,п.

В этом случае для любой вектор-функции

п

/е Дя(Вр)

р=1

соотношение (15) будет выполнено в топологии пространства

п

(ЫВр),

р=1

в пространстве же

п

Пя (Вр),

р=1

линейные комбинации элементарных решений системы (1) будут уже не полны, ибо предельные вектор-функции таких комбинаций, как несложно показать, будут удовлетворять данной системе.

Предложение 1. Пусть е условиях теоремы 1 имеют место равенства Вр + Кр = В, ир = Вр + О, где О — область, содержащая начало координат, и вектор-функция,

п

/ е Дя(ир)

р=1

удовлетворяет системе (1).

Тогда последовательность (15) будет сходится в топологии пространства

п

П н (up).

1=1

Доказательство. Действительно, из первого пункта леммы 2 и первых двух пунктов леммы 3 следует равенство

" (и,р,в) = ир,

и искомое вытекает из теоремы 1, □

Замечание 2. Условия Вр + Кр = В, р = 1,... ,п, выполняются, если

п

£ Bv = в.

Р=1

Это, например, будет так, если фр(ß) — функции вполне регулярного роста и int В1 D Bp, p,j = 1,...,n, р = j.

2, Приведем теперь примеры, показывающие точность теоремы. Положим

sin ß sin iß 2

pAß) =---, pAß) = cos ß cos iß.

ß2

Сопряженной диаграммой этих функций будет квадрат М с вершинами в точках ±1 ± г.

Пусть [/ — открытый квадрат с вершинами в точках ±2 ± 2i. Как несложно показать, для точек z G U выполняется соотношение:

ш — í eZßdß = 0 2кр J ip\(ß)pj(ß) .

Применяя вычеты, для тех же z и некоторых ненулевых чисел а],a?,bj,b? G C, j = 1, 2,..., получаем:

о о

^(а) ех>z + a2e-Xj z) + ^(b) e^z + b2e-^z) = 0, (16)

3=1 3=1

где Aj — нули функцпп <f1(ß), ßj — нули функцпп <f2(ß)- Сумму первого ряда обозначим через f\(z). Так как для экспонент этого ряда существует биортогональная система (см, [11]), то эта функция отлична от тождественного нуля.

Для произвольной целой функции экспоненциального типа L(ß) с сопряженной диаграммой В, В С U, найдутся целые функции экспоненциального типа <ß\(ß) и <p2(ß)i сопряженные диаграммы которых содержатся в квадрате М, что

L(ß) = <АЫ^Ы -

(см. [18], стр. 259-260).

к 1

которых совпадает соответственно с функциями ,р,к = 1, 2. Соотношение (16) влечет

Пусть Sp G Н*(C) — линейные непрерывные функционалы, преобразование Лапласа

равенства:

я} * А = $2 * А = 0.

Положив ир = и,р = 1, 2, получим систему уравнений свертки с характеристической матрицей для которой

^(р) = Ь(р), Вх = М, В2 С М, К1 = В2, К2 = Въ

а функция $ = (/1, 0) € Н(!]\) х Н(и2) удовлетворяет этой системе.

Пример 1. Предположим, что В С и, функция Ь(ц) имеет вполне регулярный роет и

где Т е Н*(С) — линейный непрерывный функционал, преобразование Лапласа которого совпадает с функцией Ь(¡), Для некоторой последовательности чисел {гр е К :р е М}, будет выполняться оценка (14), По лемме 3 имеем:

(В + intM) - М = intB, и, согласно теореме 1, последовательность

P1(z J,!,Ck),

для некоторой системы окружностей Ck, к Е N будет сходится к функции f1(z) в топологии пространства Н(int В), В пространстве же Н(В) эту функцию нельзя аппроксимировать даже линейными комбинациями элементарных решений нашей системы, ибо они аннулируются функционалом Т (пятое свойство функции Р),

Для следующего примера положим В = U. Если функция L(ß) имеет оценку (14), то по теореме 1 для любой вектор-функции

2

р=1

удовлетворяющей системе (1), последовательность Р(г,д,<,Ск) будет сходится к этой вектор-функции в топологии пространства

2

р=1

Без наличия же такой оценки система элементарных решений может не быть даже полной в классе всех решений, как показывает следующий

Пример 2. Возьмем в качестве функции L(ß) целую функцию экспоненциального ти-

В

первого порядка минимального типа. Построение подобной функции приведено в монографии [16] (стр. 277-280), В этом случае линейные комбинации первых компонент элементарных решений нашей системы не будут аппроксимировать функцию f\(z) в топологии пространства Н(V) для любой области V С £7, ибо в противном случае функция f\(z) удовлетворяла бы уравнению свертки с характеристической функцией минимального типа, Тогда из представления функции f\(z) следовало бы, что числа \k, к Е N, являются нулями этой функции минимального типа, чего быть не может.

Эти примеры показывают, что, в отличие от скалярного случая, нельзя получить результаты о полноте элементарных решений системы (1) только в терминах сопряженных диаграмм целых экспоненциального типа, связанных с системой, а нужны некоторые условия типа оценок снизу.

Для скалярного случая имеет место теорема единственности: если у функции L(ß) бесконечно много нулей и Р(z,g,L,C) = 0 для функции д, голоморфной в окрестности сопряженной диаграммы функции L(ß), и любого контура C, не проходящего через нули этой функции, то д = 0 (см, [16], стр. 255), В векторном случае это уже не так даже для решений системы (1),

(Т, h) = 0,

9ЕЦН (Up),

ЦН (Up).

Пример 3. Положим L = 1. В таком случае, очевидно, для функции f(z) = (f\(z), 0) выполняется равенство Р(z,g,L,C) = 0 для любого контура С. Если ф1 (ß), ф2(ß) — целые функции экспоненциального типа с бесконечным числом нулей и с сопряженными диаграммами, лежащими в области int М, то вектор-функция f(z) будет удовлетворять системе уравнений свертки с характеристической матрицей t^(ß)p(ß).j определитель которой имеет бесконечное число нулей, но, по свойству 4) функции Р, Р(z, f,фр, С) = 0 для любого контура С, те проходящего через нули функции ф1 (ß)tl)2 (ß).

Сравним теперь теорему 1 с теоремой 4,4 (см, [10]) — основным результатом серии статей [8]—[Ю] для квадратной невырожденной системы уравнений свертки.

Пример 4. Рассмотрим систему уравнений свертки в пространстве Н(U) х Н(U) с характеристической матрицей

( )= (e£ßp\ (ß) 0 \

pW={ e-^p2(ß) e-^p2(ß))

где 0 < е < 1. Вектор-функции (0) и (— ¡1).1 очевидно, удовлетворяют однородной системе, и для нее, как несложно показать,

К1} = В22 = М + £, К} = в2 = 0, К22 = В} = к2 = В} = М — е,

ь(р) = уК^УКЦ), В = 2М, (и,у,в) = (и,и),

и по теореме 1 для любой вектор-функции

д € Н(и) х Н(и),

удовлетворяющей рассматриваемой однородной системе, последовательность Р(г, д, <р, Ск) для некоторой последовательности окружностей будет сходится к этой вектор-функции в топологии пространства Н(и) х Н(и).

Пусть теперь наша система допускает (и, о/)-оценку вдоль системы окружностей

г = & : к1 = О} , г, ^ ^

где ш = (ш\,ш2) пара выпуклых областей комплексной плоскости, а ш' С С компакт (см, [10], с, 48), что означает выполнение неравенств

—е Яеб1 — 1п (г^егв )| < К(—9 ,ш') г^ — К(—9 ) г^ + ,

еЯеб1 — 1п 1'р12(г3е%е)| < к(—9,ш')г^ — к(—9,ш2)г^ +

где 9 € [0, 2п), ] € N а последовательность положительпых чисел £j,] € N стремится к нулю, " Но

1п| (гегв) |< к(—9,М)г, г> 1, 1п1^2(гегв)| < к(—9,М)г, г> 0, в€ [0, 2тт), и из вышеприведенных неравенств получим

Ч—в, ел) < к(—9, М) + к(—9, и') + £ Ие 9 Ц—9, Ш2) < к(—9, М) + к(—9, и') — £ Ие 9, где 9 € [0, 2п), что влечет включения

С М + и/ + е, ш2 С М + ш' — е. (17)

Множество И в теореме 4,4 в нашем случае совпадает с компактом (М + [—£, £],М — £),

а С = (и,и).

Теорема 4,4 гарантирует сходимость ряда элементарных решений для произвольного решения однородной системы в области (П}, Q2), где

П} = [и — (М + [ £, £] + ш')] +Ш1, ^2 =[и — (М — £ + ш')] + Ш2.

Воспользовавшись включениями (17) и свойствами 3), 4), 10) леммы 2, несложно вывести соотношение (Q с U — [0, 2е]. Последнее множество содержится в области U и не совпадает с ней.

Таким образом, теорема 1 не вытекает из из теоремы 4,4 статьи [10].

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Красичков-Терновский И.Ф. Инвариант,ные подпространства аналитических функций. I. Спектральный синтез на выпуклых областях // Матем. сб. 1972. Т. 87, № 4. С. 459-489.

2. Красичков-Терновский И.Ф. Инвариантные подпространства аналитических функций. II. Спектральный синтез на выпуклых областях // Матем. сб. 1972. Т. 88, № 1. С. 3-30.

3. Красичков-Терновский И.Ф. Инвариант,ные подпространства аналитических функций. III. О распространении спектрального синтеза // Матем. сб. 1972. Т. 88, № 3. С. 331-352.

4. Красичков-Терновский И.Ф. Спектральный синтез на системах выпуклых областей // Матем. сб. 1980. Т. Ill, № 1. С. 3-41.

5. Красичков-Терновский И.Ф. Спектральный синтез на системах неограниченных выпуклых областей // Матем. сб. 1980. Т. 111, № 3. С. 384-401.

6. Красичков-Терновский И.Ф. Спектральный синтез на системах выпуклых областей. Распространение синтеза // Матем. сб. 1980. Т. 112, № 1. С. 94-114.

7. Красичков-Терновский И.Ф. Spectral synthesis on a system, of unbounded domains starline in a common direction // Analysis Mathematica. 1993. T. 19, F. 3. P. 217-223.

8. Красичков-Терновский И.Ф. Фундаментальный принцип для, инвариантных подпространств аналитических функций. I // Матем. сб. 1997. Т. 188, № 2. С. 25-56.

9. Красичков-Терновский И. Ф. Фундаментальный принцип для, инвариант,ных подпространств аналитических функций. II // Матем. сб. 1997. Т. 188, № 6. С. 57-98.

10. Красичков-Терновский И.Ф. Фундаментальный принцип для, инвариант,ных подпространств аналитических функций. III // Матем. сб. 1997. Т. 188, № 10. С. 25-68.

11. Леонтьев А.Ф. Последовательности полиномов из экспонент. М.: Наука. 1980. 384 с.

12. Ибрагимов И.И. Методы интерполяции функций и некоторые их применения. М.: Наука. 1971. 518 с.

13. Лейхтвейс К. Выпуклые множества. М.: Наука. 1985. 335 с.

14. G. Köte Duälitat in der Functionentheorie //J. reine und angew. Math. 1953. T. 191, № 1-2. P. 30-49.

15. Напалков B.B. Уравнения свертки в многомерных пространствах. М.: Наука. 1982. 240 с.

16. Леонтьев А.Ф. Ряды экспонент. М.: Наука, 1976. 536 с.

17. Леонтьев А.Ф. Обобщения рядов экспонент. М.: Наука, 1981. 320 с.

18. Левин Б.Я. Распределение корней целых функций. М.: Гостехиздат. 1956. 632 с.

Сергей Георгиевич Мерзляков, Институт математики с ВЦ УФ! Ii I РАН, ул. Чернышевского, 112, 450077, г, Уфа, Россия E-mail: [email protected]