Необходимые условия экстремума в задаче экономического роста с ограничениями на фондовооруженность Текст научной статьи по специальности «Математика»

очевидных вычислений sup J(x) > J(x)|x=1. Получаем одинаковый по

0<x<1

а1 порядок.

Отсюда и следует утверждение теоремы.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Тихонов А. Н. О регуляризации некорректно поставленных задач // ДАН СССР. 1963. Т. 153, № 1. С. 49-52.

2. Хромова Г. В. О тихоновской регуляризации // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. 2001. Т. 1. Сер. Математика. Механика. Информатика, вып. 2. С. 75-78.

3. Хромова Г. В. Об одном способе нахождения приближенных решений операторных уравнений первого рода / / Дифференциальные уравнения и вычислительная математика : межвуз, сб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 1973. Вып. 3. С. 5879.

4. Хромова Г. В., Шаталина О. И. Решение задачи типа Колмогорова — Никольского для операторов тихоновской регуляризации // Математика. Механика : сб. науч. тр. 2011. Вып. 12. С. 11-112.

5. Хромова Г. В. О модулях непрерывности неограниченных операторов // Изв. вузов. Сер. Математика. 2006. № 9(532). С. 71-78.

УДК 516.9

В. Р. Шебалдин

НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМА В ЗАДАЧЕ ЭКОНОМИЧЕСКОГО РОСТА С ОГРАНИЧЕНИЯМИ НА ФОНДОВООРУЖЕННОСТЬ

Рассмотрим модель Рамсея экономического роста предприятия замкнутого типа. Под таким предприятием понимается производство, на котором создается один универсальный продукт, который может потребляться и инвестироваться. При этом рынки работают бесперебойно, производственные факторы существенно не меняются, при изменении цен технология не подвергается никаким изменением.

Пусть K(t) - капитал предприятия, L(t) - количество запятых (трудовые резервы). В качестве управления u(t) указывается часть стоимости произведенного продукта, которая идет на увеличение капитала предприятия. Таким образом, имеем следующую модель [1]:

K(t) = u(t)F(K(t), L(t)), K(0) = Ko, (1)

L(t) = ^L(t), L(0) = 0,

123

u(t) e U = [0,1 - e], t e [0,T], (3)

J(K,L,u)=/ {e-pt[ln(1 - u(t)) + ln F(K,L)]}dt ^ max, (4)

J 0

где д ^nst, д > 0 — заданный коэффициент потери трудовых ресурсов; р = con st, р > 0 - коэффициент дисконты рования; e = con st, e > 0 - заданный параметр, определяющий часть стоимости произведенного продукта, которую предприятие обязано потратить на развитие производства; функция производства F(K, L) - дважды непрерывно дифференцируемая, положительная однородная функция своих аргументов; u(t) -кусочно-непрерывная функция.

В настоящей статье данная модель рассматривается на конечном интервале времени. Доказано [2], что при выполнении так называемых «неоклассических» условий данная задача имеет решение.

Отметим, что для предприятия также существенны такие показатели, как достижение определенного уровня капитала в заданные моменты времени, относительные показатели уровня риска для сбыта продукции и другие [3].

Здесь рассматриваются ограничения на фондовооруженность предприятия в фиксированные моменты времени (см. [3]), то есть

K (tj)

L(tj)

> 9, г, е [0,Т], з = 1,5. (5)

Доказано (см. [1]), что при замене ж(г) = задача (1-3),(5) сводится к следующей:

ж(г) = и(г)/(ж(г)) — дж(г), ж(о) = ж0, (6)

и е и, (7)

x(tj) > Cj, j = 1, q, (8)

-T

J(x,u)= / {e-pt[ln(1 - u(t)) + ln f (x(t))]}dt ^ max, (9) 0

где f (x) = F(x, 1).

В следующей теореме для данной задачи доказываются необходимые условия экстремума.

Теорема. Пусть (x(t),u(t)) - оптимальная пара задачи (6-9) . Тогда существуют дифференцируемые функциифj(t), j = 0,q7 удовлетворяющие следующим уравнениям,:

fT

max min / AuHj (t)dt = 0,

u(t)eV£ jeM0Jo

X(t) = u(t)f (x(t)) - ^x(t), x(0) = xo, t G [0,T],

e-pt

Vo(t) + Vo(u(t)f(x(t)) - M) + /;(x(t)) = 0, Vo(T) = 0,

Mo = M U{0}, M = {j | x(tj) = Cj }, j = 1, q,

(t) = №(t), t G m, _

V() \0, t G (tj,T], j = 1, q,

V(t) = -V(t)(u(t)f(£(t)) - M), V(tj) = 1, t G [0, tj], AuHj(t) = v(t)f(x(t))(u(t) - u(t)), j = м,

AuHo(t) = Vo[fo(x(t),u(t)) - fo(X(t),u(t))],

гс^е fo(x,u) = e-pt(ln(1 - u) + ln f (x))7 a V£ множество кусочно-непрерывных функций, удовлетворяющих ограничению (7).

Для доказательства данной теоремы производится редукция задачи (6-9) к вспомогательной линейной задаче оптимального управления с помощью замены t(r) = fj v(s)ds, v(s) > 0, где v(s) - управление во вспомогательной задаче оптимального управления [4]. Для полученной задачи доказываются необходимые условия экстремума аналогично доказательству, приведенному в [5]. С помощью обратной замены т = т(t) было получено доказательство данной теоремы.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Aseev S. Л/.. Kryazhimskii А. V. The Pontrvagin Maximum Principle and Optimal Growth Problems /Steklov Institute of Math. Russian Academy of Science. Moscow. 2007. Vol. 2007. P. 253.

2. Imada K. On a Two-sector Model of Economic Growth. Comments and a Generalization. // Rev. econ. stud. 1963. Vol. 30, №2. P. 119-127.

3. Ногин В. Д. Введение в оптимальное управление. СПб. : ЮТАС, 2008. 92 с.

4. Дубовицкий А. Я., Милютин А. А. Задачи на экстремум при наличии ограничений // ЖВМ и МФ. 1967. №5(3). С. 395-493.

5. Шебалдин В. Р. Об одной задаче оптимального управления с фазовыми ограничениями. Саратов, 1995. 14 с. Деп. в ВИНИТИ, .N'"3071 В95.