CC BY
13
О. И. Шаталина
УДК 517.51
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ТИПА КОЛМОГОРОВА — НИКОЛЬСКОГО ДЛЯ РЕГУЛЯРИЗУЮЩИХ ОПЕРАТОРОВ ТИХОНОВА
Пусть Та — семейство операторов А. Н. Тихонова, построенных для приближения непрерывных функций при г = 1 [1].
Каждый из операторов Та является интегральным с ядром
Та(х,£) = -С(хЛ, —-), 0 < х,£ < 1,
ак а V «п -
где
С(х, £,--) =
а
еНа-ЬеНа-^ — х)
а-вНа-сНа-хсНа- (1—4) а-вНа-
£ < х, £ > х.
(1)
и «1 = ^ а+1 [2].
Ранее доказано [3], что для любой непрерывной функции и(х) имеет место сходимость ||Таи — и||с[0;1] ^ 0, при а ^ 0. Рассматривается класс функций
мВп = {и е С[0,1]: и(х) = у Бп(х,г)у(г)<й, |М|ь2 < 1},
0
где
(х—г)г
, £ < х,
Бп(х)г) = { п!
Для класса МВп и операторов Та, определенных в (1), решается задача типа Колмогорова — Никольского. При п = 1 решение этой задачи получено в [4].
Рассматривается величина А 1(Та,Мвп), для которой берется представление [51:
А1(Та,Мвп )= 8ИР
0< х< 1
I 1
Та(х,^)Бп(^1Щ — Бп(х, £)
2 \ 2
1
1
(х-*)", ь < х,
Теорема. Если Бп(х,Ь) = ^ п! ' < ' то при достаточно
1 0, Ь > х,п е N,
малых а выполняется оценка
1 -а2 - (а) < Ах(Та,Мвп) < а1 + ^(а),
2п - 1 Г2У у " 14 а Вп/ " 2п - 1
г<?е ^(а) = О (а), ф2(а) = О (а).
Доказательство. Доказательство теоремы разбито на несколько этапов. На первом вычисляется интеграл
Мь, х) = у Та(х, £)Бп(£, ш - Бп(х, Ь). (2)
0
Лемма. Справедливо рекуррентное соотношение
Jn+1 - ^п +
где
г еНа^х (1-г)2"+! ,<х
Л = J а?(2п)! оцв^ац (2п+1)! , Ь < х Ап = 1 _ еНа.1Х (1-^2"+!) , > х I а1вНа1 (2п+1)! , Ь > х
Доказательство. Для J1 лемма доказывается непосредственными вычислениями, а затем, используя метод математической индукции, получаем утверждение леммы.
Возвращаемся к доказательству теоремы.
Так как Бп(х,Ь) зависит от п, то при последовательном применении метода интегрирования по частям результат отличается при четных и нечетных значениях. Кроме того, отдельно необходимо рассмотреть случаи при Ь < х и Ь > х.
В каждом из рассматриваемых случаев группируются слагаемые при различных степенях а1 и выделяются главные члены асимптотики поа1.
Далее вычисляется интеграл
1 x 1
J(x) = J J(t,x)dt = J J2(t,x)dt + J J2(t,x)dt.
0 0 x
Используя найденное в лемме рекурентное соотношение, находим оценку сверху A(Ta,MBn) = sup (J(x))1. Оценка снизу получается из
" 0<x<1
1
очевидных вычислений sup J (x) > J(x)|x=i. Получаем одинаковый по
0<x<1
а1 порядок.
Отсюда и следует утверждение теоремы.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Тихонов А. Н. О регуляризации некорректно поставленных задач // ДАН СССР. 1963. Т. 153, № 1. С. 49-52.
2. Хромова Г. В. О тихоновской регуляризации // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. 2001. Т. 1. Сер. Математика. Механика. Информатика, вып. 2. С. 75-78.
3. Хромова Г. В. Об одном способе нахождения приближенных решений операторных уравнений первого рода / / Дифференциальные уравнения и вычислительная математика : межвуз, сб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 1973. Вып. 3. С. 5879.
4. Хромова Г. В., Шаталина О. И. Решение задачи типа Колмогорова — Никольского для операторов тихоновской регуляризации // Математика. Механика : сб. науч. тр. 2011. Вып. 12. С. 11-112.
5. Хромова Г. В. О модулях непрерывности неограниченных операторов // Изв. вузов. Сер. Математика. 2006. № 9(532). С. 71-78.
УДК 516.9
В. Р. Шебалдин
НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМА В ЗАДАЧЕ ЭКОНОМИЧЕСКОГО РОСТА С ОГРАНИЧЕНИЯМИ НА ФОНДОВООРУЖЕННОСТЬ
Рассмотрим модель Рамсея экономического роста предприятия замкнутого типа. Под таким предприятием понимается производство, на котором создается один универсальный продукт, который может потребляться и инвестироваться. При этом рынки работают бесперебойно, производственные факторы существенно не меняются, при изменении цен технология не подвергается никаким изменением.
Пусть К(t) - капитал предприятия, L(t) - количество запятых (трудовые резервы). В качестве управления u(t) указывается часть стоимости произведенного продукта, которая идет на увеличение капитала предприятия. Таким образом, имеем следующую модель [1]:
K(t) = u(t)F (K (t),L(t)), K (0) = Ко, (1)
L(t) = ^L(t), L(0) = 0,
123
