Дифференциальные операторы переменных порядков на пространственных сетях Текст научной статьи по специальности «Математика»

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Шебалдин В. Р. Численное решение терминальной задачи оптимального управления е дискретными фазовыми ограничениями, Саратов, 1989, 37 с, Деп, в ВИНИТИ 23.05.89. № 2999-В89.

2. Шебалдин В. Р. Об одной задаче оптимального управления с ограничениями. Саратов, 1996. 14 с. Деп. в ВИНИТИ 30.03.96. № 3074-В96.

3. Шебалдин В. Р. О минимизирующих последовательностях в задаче оптимального управления с дискретными фазовыми ограничениями. Саратов, 1998. 12 с. Деп в ВИНИТИ 11.03.98. № 709-В98.

4. Дубовицкий А. Я., Милютин А. А. Задачи на экстремум при наличии ограничений // ЖВМ и МФ. 1965. Т. 5, № 3. С. 395-453.

5. Иоффе А. Д., Тихомиров В. М. Теория экстремальных задач. М, : Наука, 1974. 480 с.

УДК 517.984

В. А. Юрко

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ ПЕРЕМЕННЫХ ПОРЯДКОВ НА ПРОСТРАНСТВЕННЫХ СЕТЯХ

1. Исследуются обратные спектральные задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений переменных порядков на компактных звездообразных графах. Точнее, дифференциальные уравнения имеют разные порядки на разных ребрах. Краевые задачи на графах (пространственных сетях) часто возникают в естествознании и технике (см. [1]). Дифференциальные уравнения переменных порядков на графах появляются в различных задачах в математике и приложениях, например, при исследовании колебаний таких структур как кабельно-опорные мосты, мачта с растяжками и других.

В [2] обратная задача рассматривалась для весьма частного случая операторов переменных порядков на звездообразных графах, когда есть только два уравнения разных порядков. В данной статье рассматривается общий случай операторов на графе-звезде. Точнее, все ребра разбиты на т групп, в каждой из которых дифференциальные уравнения имеют различные порядки. Кроме того, мы рассматриваем обобщенные условия склейки во внутренней вершине. Этот общий случай порождает качественные изменения при формулировке и решении обратной задачи.

В качестве основной спектральной характеристики вводятся и изучаются так называемые матрицы Вейля, которые являются обобщениями функции Вейля для классического оператора Штурма Лиувилля и обобщениями матрицы Вейля для уравнений произвольных порядков

на интервале и на графах [3]. Доказано, что задание матриц Вейля однозначно определяет коэффициенты дифференциального уравнения на графе, и приведена конструктивная процедура построения решения обратной задачи. При исследовании этого класса обратных задач используются идеи метода спектральных отображений [3].

2. Рассмотрим компактный граф Т в с множеством вершин V = = {^о,..., ур} и множеством ребер Е = {е^..., ер}, где Vi,..., г>р - граничные вершины, -у0 ^ внутренняя вер шина, ец = , ^о], е1 П ... П ер = = {^о}. Пуст ь Ц - длина ре бра е3-. Каждое ре бро е3- е Е параметризуется параметром хц Е [0,3] так, что Хц = 0 соответствует граничным вершинам Vi,..., а Хц = Ц соответствует вер шине v0. Функц ия У на Т представима в виде У = {у3-}=гр, где Уз (хц) определена на ребре е3-. Фиксируем т = 1,р. Пусть пг,рг, г = 1,т - натуральные числа такие, что пг > п2 > ... > пт > 1, 0 < рг < р2 < ... < рт-1 < Рт := Р, и положим пт+г := 1, р0 := 0. Рассмотрим дифференциальное уравнение наТ

щ-2

У{Г)(хЗ) + (хЗ)У^)(хЗ) = ауз(хЗ)> (1)

М=0

хц е (0, ¿3), г = 1,т, ; = рг-г + 1,рг,

где (хц) - комплекснозначные функции. Таким образом, дифференциальное уравнение имеет порядок пг на ребре ец, ] = р-г + 1,рг. Назовем У3 = {Ум3} потенциалом на ребре е3-, а у = {у3-}3-=г"р _ потенциалом на графе Т. Обозначим = рг — р_г, г = 1,т.

Фиксируем г = 1,т, ^ = р—1 + 1,рг. Пусть Скц(хц, А), к = 1,пг-решепия уравнения (1) на ребре е3- при условиях сц 1)(0,А) =

= 1,пг. Здесь и далее символ Кронекера. Рассмотрим линейные формы

V

3 (уз ) = x] т?^узм)(3 ), .7 = ^

м=0

где 73>м_ комплексные числа, 73> := 73^ = 0, V = 0,пг — 1 при ^ =

= рг—1 + 1,рг.

Обозначим (п) := (|п|+п)/2, т. е. (п) = п при п > 0, и (п) = 0 при п < < 0. Фиксируем г = 1,т, й = 1 + 1,Рг, к = 1,пг — 1. Введем решения = {^вкц}3=ТТР уравнения (1) на графе Т следующим образом. Пусть £ = г,т; к = п^+1,п^ — 1. Тогда удовлетворяет краевым условиям

1)(0) = , П = 1Л (2)

^(0) = 0, Г = 0, (т/ - к — 1); I = 1,т, з = Р1-1 + 1,Р/, з = 5, (3)

и условиям склейки в вершине

I = £, т, з = 1,р — 1, V = т/+1 — 1, шт(к — 1, т — 2), рИ

(^) = 0, V = к, т — 1; (5)

Р1

(^) = 0, I = £ — 1,... ,г, V = т/+1,т/ — 1.

Функция называется решением Вейля порядка к относительно граничной еершшшг^. Определим дополнительно А) := Ощ5(ж5, А). Введем матрицы Мз(А), й = рг—1 + 1, Рг, г = 1,т:

М,(А) = [М^(А)]^=1щ, М^(А) := ^(0, А).

Из определения следует, что М^ДА) = при к > д. Матрица М,, (А) называется жатрм^ей Бейлл относительно вершины Фиксируем N = 1, т.

Обратная задача 1. Даны {М,(А)}, й = 1,р\постройть д на Т.

3. Фиксируем г = 1,т, й = рг—1 + 1,рг. Из краевых условий (2) для решений Вейля следует, что

щ

А) = Сь(ж8, А) +

(ж,, А), к = 1, пг. (6)

Используя фундаментальную систему решений {О^(ж, А)} на ребре е^, запишем

^ (Х, А) = М^'Д^С^ (Х, А), (7)

^=1

3 = р/_1 + 1,р/,/ = 1, т, к = 1,т — 1,

где коэффициенты М,^(А) не зависят от ж. В частности, М^ДА) = = М,лм(А). Подставляя (7) в краевые условия и условия склейки (2)-(5) для решений Вейля , получаем линейную алгебраическую систему Л^л(А) относительно М^-ДА). Решая эту систему по формулам Крамера, находим М^-ДА) = А5к^м(А)/А5к(А), где функции А^-ДА) апс1 (А) являются целыми по А. В частности, М^ДА) =

= Д^ДАуДзк(А), к < д, где Д^ДА) := Д8ьДА). Функции М^-ДА)

А.

Фиксируем й = 1,р и рассмотрим вспомогательную обратную задачу на ребре е5.

Обратная задача 2. Дана матрица Вейля М/5 постройть у/ на ребре е8.

Эта обратная задача была решена в [2], где доказана теорема единственности и получен алгоритм решения обратной задачи 2.

Фиксируем г = 1,т, ] = рг—1 + 1,рг. Пусть 3(хц, А), к = 1,пг - решения уравнения (1) на ребре е3- при условиях Ц. 1)(1ц , А) = , V = 1, к, ^3к—1)(0,А) = 0, д = 1,п — к. Введем матрицу тц(А) = [тц^(А^^щ,

где т3-^(А) := Ц. 1)(1ц, А). Матрица тц(А) является классической матрицей Вейля на ребре е3-.

Обратная задача 3. Фиксируем ] = 1,р. Дана матрица т3-, построить потенциал у3- на ребре е3-.

Эта обратная задача классическая, так как является задачей восстановления дифференциального уравнения на конечном интервале по матрице Вейля. Она решена в [3], где получен алгоритм ее решения, доказана единственность решения и приведены необходимые и достаточные условия разрешимости.

Фиксируем г = 1,т, ] = рг—1 + 1,рг. Тогда для каждого фиксированного й = 1,р1 \

1)(1ц , А) _

т3 ^ (А)= ,/,3 (/ А) , V = 2,п^ (8)

(/з , А)

¿^[^ц (¿3, А),...,<— 2)(/ц ,А),^(;— 1)(/Ц , А)]м=^

1)(/З ,А)Ь=й

тз^(А) =-, г -, (9)

¿3,

2 < к < V < пг.

4. Решение обратной задачи 1. Построим алгоритм решения обратной задачи 1.

Этап 1. Пусть заданы матрицы Вейля {МДА)}, й = 1,р\р^- Решая обратную задачу 2 при каждом й = 1,р \ р^, находим потенциалы у/ на ребрах е/5 й = 1,р \ р^.

Этап 2. Используя знание потенциала на ребрах е/5 й = 1,р \ р^, построим матрицу Вейля тР№.

Этап 3. Решая обратную задачу 3 при ] = р^, находим потенциал ур ^ •

Этапы 1 и 3 уже изучены выше в пункте 3. Осталось выполнить этап 2.

Предположим, что этап 1 уже завершен, и мы нашли потенциалы в = 1,р \ря ребрах е.5, в = 1,р \ря- Тогда мы можем вычислить функции Су (жу, Л), ; = 1,р \ ря; здесь к = 1,пг £ог ; = рг— + 1,рг.

Фиксируем в = 1,р1 (есл и N > 1), ив = 1,р1 — 1 (есл и N = 1). Все вычисления ниже делаются при этом фиксированном в. Наша цель _ ПОСТрОИТЬ матрицу ВейлятР№(Л). В силу (8)-(9) для этого мы должны вычислить функции

(^,Л), к = 1,пя — 1, V = 0,пя — 1. (10)

Функции (10) мы найдем следующим образом.

1) Используя (6), построим функции

ЙЛ, Л), к = 1,пя — 1, V = 0,щ — 1, (11)

по формуле

Й&,Л) = С^Л) + £ М^С^Л). (12)

2) Рассмотрим часть условий склейки (4) для Точнее, пусть £ = = Ж, т, к = П£+1,П£ — 1, I = £,т, ^ = 1,р/ — 1. Тогда, в частности, (4) дает

^ ) = (^), V = П/+1 — 1, шт(к — 1,П/ — 2). (13)

Так как функции (11) известны, то с помощью (13) можно вычислить функции

(у, Л),£ = Жт к = пе+1,пе — 1, (14)

I = £,т, ^ = 1,р/, V = п/+1 — 1, шт(к — 1,п/ — 2).

В частности, мы нашли функции (10) для V = 0, к — 1. 3) Из (7) и краевых условий на вытекает, что

щ

^ (У ,Л)= £ МуДЛ)^ ,Л), (15)

^=шах(п;— к+1,2)

к = 1, п1 — 1, I = 1, т, ] = р/—1 + 1,р/ \ в, V = 0, п/ — 1.

Мы рассмотрим только часть соотношений (15). Точнее, пусть £ = Ж, т, к = пе+1,пе — 1, / = 1, т, 3 = р/_1 + 1,р/, 3 = рж, 3 = 5, V = = 0, тт(к — 1,п/ — 2). Тогда

Е М/кз,(А)С^(/з, А) = ^Ц (/ц, А), (16)

^=шах(п;—к+1,2)

V = 0, тт(к — 1, п — 2).

При таком выборе параметров правые части в (16) известны, так как известны функции (14). Соотношения (16) образуют линейную алгебраическую систему а^кц относительно коэффициентов М^цДА). Решая систему а^кц по правилу Крамера, находим функции М^цДА). Подставляя их в (15), вычисляем функции

ЙЗ(¿3, А), к = 1,пж — 1, / = 17т, (17)

3 = р/—1 + 1,р \ рж, V = 0,п/ — 1.

Отметим, что для 3 = в эти функции были найдены ранее.

4) Воспользуемся теперь обобщенными условиями Кирхгофа (5) для Так как функции (17) известны, то с помощью (5) построим функции (10) при к = 1,пж — 1, V = к,пж — 1. Таким образом, функции (10) известны при к = 1, пж — 1, V = 0, пж — 1.

Так как функции (10) известны, мы можем построить матрицу Вей-ля тР№ (А) по формулам (8)-(9) для 3 = рж. Итак, мы получили решение обратной задачи 1 и доказали его единственность, т. е. справедливо следующее утверждение.

Теорема 1. Задание матриц Вейля М5(А), в = 1,р \ рж? однозначно определяет потенциал д на Т. Решение обратной задачи 1 может быть найдено по следующему алгоритму.

Алгоритм 1. Даны, матрицы Вейля, МДА), в = 1,р \ рж.

1) Находим, д/7 в = 1,р \ рж? решая обратную задачу 2 при, каждом в = 1,р \ рж-

2) Вычисляем, С^Ц)(¿3, А), 3 = 1,р \ р^/ здесь к = 1,п^, V = 0,п — 1 /ог з = рг—1 + 1,рг.

3) Фиксируем в = 1,р1 (есл и N > ив = 1,р1 — 1 (есл и N = 1^).

й.

по формуле (12).

4) Вычисляем, функции, (14), используя (13).

5) Находим функции Mskj-M(A), решая линейную алгебраическую систему

6) Строим функции (10), используя (5).

7) Вычисляем, матрицу Вейля mPN (А) по формулам (8)-(9) при j = = Pn-

10) Строим потенциал qPN на ребре ePN7 решая обратную задачу 3.

Работа выполнена при финансовой поддержке Минобрнауки РФ (проект № 1.Ц36.20ЦК) и РФФИ (проект № 13-01-00134).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1, Покорный Ю. В., Пенкин О. Л/.. Прядиев В. Л., Боровских А. В., Лазарев К. П., Шабров С. А. Дифференциальные уравнения на геометрических графах, М, : Физ-матлит, 2004,

2, Yurko V. A. Inverse problems on star-type graphs: differential operators of different orders on different edges // Central European J, Math, 2014, Vol, 12, № 3, P. 483-499,

3, Yurko V. A. Method of Spectral Mappings in the Inverse Problem Theory, Inverse and Ill-posed Problems Series, Utrecht : VSP, 2002,