Динамическая задача многокритериальной оптимизации Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 681.514

ДИНАМИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ

РАДИЕВСКИЙ А.Е.

На движениях стохастического объекта управления при наличии ограничений по модулю на состояние и управление рассматривается задача оптимизации на множестве критериев качества, каждый из которых задан в виде математического ожидания от интегрального функционала. Сформулированная задача исследуется на основе положений одного из разделов современной теории экстремальных задач — формализма Дубовицкого - Милютина.

1. Постановка и особенности задачи

Под динамической задачей многокритериальной оптимизации понимается тройка (F, S, J , где F -объект управления (ОУ), движение которого на области S(x, u, p, q, w, t) описывается системой дифференциальных уравнений

-dx = F(x,u,p,w,t) dt (1)

при наличии ограничений

u Є U,U = {u:|u| < umax}; (2)

x Є Q,Q = {x: x < xmaJ (3)

и граничных условий

x(0 = x0 є Xo, x(tj = 0, X0 = ^ xma^tj| (4)

На движениях ОУ (1) оптимизируется векторный критерий качества j(u) = Jfo (x, u, q, t )), задаваемый как некоторая функция множества { J. (u ) } ™ 1 локальных критериев качества вида

( tj ^

Ji(u) = M X. JWi(x,u,q.,t)dt ,і є [1,ш]. (5)

V to )

В задаче (1) — (5) x = x(t)є Cn(t0,^) — состояние (Cn(t0,tJ — пространство n-мерных непрерывных на отрезке [t0,tj функций x(t) нормой

||x|| = max|x(t)|, vt є [t0,tjе R1); u = u(t)є

є Ьгш (t0, О - управление ( Ьгш (^,^ ) - пространство r-мерных существенно ограниченных на от-

резке [t 0, 11 ] измеримых функций u(t) с нормой

|u| = vrai sup|u(t)|, Vt є [t0,tj e R1); w=w(t) є (Q, D, p ) — возмущение ((Q, D, p ) — вероятностное пространство измеримых функций w (t), заданных на множестве Q; D — ст-алгебра, связанная с

множеством Q; р—вероятностная мера); te [t0,11 ]с

R1 — время, [t 0, 11 ] — интервал управления, t1 — конечный, не фиксированный момент времени, R1 — числовая прямая; f0 (x, u, q, t) — функционал, q є Qc — параметр функционала f0(x,u, q,t), Q0 = {q: \q\ ^ qmax і qi є Qo — параметр i-го локального критерия качества, Qio=

= { qi: |q.| ^ qimaxt ^і єЛ0— весовые коэффициенты, Л 0 = i : X i > 0, i = 1^|; p е P _ Параметр °у P = { p : |p| < p max І U max = COnSt > 0 , X max = COnSt>0, X max (tJ = COnSt > 0, p max = COnSt>0,

q max = const > 0, q. max = const > 0 — заданные числа; М — математическое ожидание.Пара функций (x(t),u(t)) является допустимой в задаче (1) -

(5), если x(t) є Cn(t0,tj,u(t) є Lr^(t0,tJ. Под управляемым процессом понимается тройка

(x(4u(4 It0,tJ). Решением задачи (1)-(5) является тройка (x0(t),u 40,[t0,tJ) для которой найдется такое число s > 0, что для любого допустимого процесса (x(t),u (# 0,tJ), для которого II xW - x40|| < є J u^ -u0 (t) ||^ < S , имеет место неравенство J(u) > j(u0) [1]. Исследование задачи

(1) -(5) связано, с одной стороны, с исследованием таких проблем, как существование решения, необходимые и достаточные условия оптимальности, метод нахождения решения, специфичных для класса экстремальных задач [1], а с другой — определение множества Парето, задание принципа оптимальности, нормализация и задание приоритета (степени важности) для множества локальных критериев качества, специфичных для класса задач многокритериальной оптимизации [2].

2. Существование решения

Теорема 1. Пусть: І.функционал f0(x, u, q, t) -непрерывный; 2. U—собственное выпуклое тело; 3. для ОУ (1) выполняются условия невырожденности. Тогда в задаче (1)-(5) существует тройка

(x0(t),u0(t),[t0,t1])

Доказательство. Множество U^ Lr^(t0,t1) функций u(t), удовлетворяющих ограничению

(2) , в силу его выпуклости и замкнутости [ 3 ] является компактным [ 4 ]. Пусть intU ^ 0, 0 —

пустое множество. Множество пар вариаций (x, її), удовлетворяющих подинтегральному выражению W. (x, u,qi, t), i є [1, ш] локального критерия качества (5), принадлежит конусу убывания

K.0,і є [1 , ш] , образует открытый выпуклый коРИ, 2001, № 4

52

нус с вершиной в нуле, Kio Ф0, і є [і, ш], для которого можно построить сопряженный конус K*o,i Є [і , ш], а, следовательно, и линейный функционал fio(x,u)Є K*o, fio(x,u) > 0, і є [і,ш] [3].

ш

К0 = 0 Kio ^0 также является открытым вы-

і=і

пуклым конусом с вершиной в нуле [5], для которого можно построить сопряженный конус

K0, а следовательно, и линейный функционал [3]

fo(x,u)Є K0,fo(x,u)> 0 .

Так как

* -

= 1K*

i=1

[6] , то получим [3, 7]

j(u) = Mfo(x,u)) = fio(x,u)J. (6)

Заданный на открытом выпуклом множестве функционал f0(x,u) является непрерывным [6]. Поэтому в задаче (1)-(5) существует тройка (x' 4^,u40,[t0,tJ) [1]. Теорема 1 доказана. 3. Множество Парето

Пусть Е = Cn (t0, 11 )xL^ (t0, 11 )xR1. Тогда

Е = Еc U Еs, Еc П Еs =0,

где Еc = {u: J^u)< Ji(u0),i є [1,ш] и хотя бы для

одного i Ji (u) < Ji(u0 )} —множество Парето ; Еs =

= {u : Ji (u) =Ji (u^,i є [1, ш]}- множество согласия [ 2 ]. Пусть

Е0 =({u: J,(u)< Ji(u^}\ Е3U Е■ (u0)i 0[1,m].

В [8] показано, что имеет место следующая зависимость, удовлетворяющая свойству симметричности:

П Е01 п (n k, 1 = М

(7)

Поэтому левая часть выражения (7) определяет множество Парето.

4. Необходимые и достаточные условия оптимальности

Теорема 2. Пусть выполняются предположения теоремы 1. Тогда решение в задаче (1)-(5) удовлетворяет необходимым и достаточным условиям оптимальности , если для Vt є [t0,tj,Vu є U

- Fu(x0,u0,p,w,t))T Y( t) +

vv

+ M

ш

z

V i=1

^iWiu(x0,u0,qi,t)^u40Ь 0,

РИ, 2001, № 4

где

^+(Fx(x»,w,t))T =

= M f^^iWi'x(x0,u0,qi,^l, ¥(0 = 0,

(8)

. i=1

т — транспонирование, штрих—символ производной.

Доказательство. Множество функций U с L ^ (10,11), удовлетворяющих ограничению (3), и множество функций Q с Cn (10,11), удовлетворяющих ограничению ( 4 ), в силу их выпуклости и замкнутости [3] являются компактными [4]. Пусть in1U ф 0, in1Q ф0 . Учитывая выражения (5) и (6), функционал f0 (x,u) є K0 получим в виде [3,7]

( t1,

f 0 (у u) = м - } |^Z ^iWiX (х°, u0, qi, t) х

+ fz^ iWiu (х°, u0, qi, 4 u)]dt),

. i=1

где WiX (х0, u0, qi, t) Wiu (х0, u0, qi, t)—протжд-ные по x и u от W^x,u,qi,^.

Если K1 — конус возможных направлений в точке u0 и функционал f1 (й) є K*, то f1 (її) = (0, f 1 (її)), где f 1 (u) є L (10,11) и является опорным к множеству U в точке u0. Пусть H1 с E множество пар вариаций (x,u), удовлетворяющих

dx

dt

FX(x0,u0,p,w,t)x + Fu(x0,u0,p,w,t)u,

x(0 = °

(9)

H 2 c E - X(tj = 0, (10)

где F X(x0,u0,p, w,^, F u(x0,u0,p, w,^ — производные по x и u от f(x, u, p, w, t) соответственно.

Тогда H1 и H 2 — подпространства, а касательное пространство K2 = H1 nH2, K2 = H* + H2 [ 6 ]. Поэтому, если функционал f2 (x,u) eH*, то f2 (x,u)=0, и если функционал f3 (x,u)eH2 , то f3 (x,u) = ( 0, a), a OR ( Rn - n -мерное евклидово пространство). Если K 4 — конус возможных направлений в точке x0 и функционал f4(x) є К4, то f4 (x) = ( 0, f 4 (x)), где f4(x) є Сп*(^, tj и является опорным к множеству Q в точке x0. Тогда уравнение Эйлера запишем в виде [ 3 ]

I fi (x,u) = 0

или, учитывая вид найденных выше функционалов

i=0

fi(x,u),i є [0,4],

53

f1(u) = м(І (IWIX(x0,u0,qi,t)x

к _ i=i

Ё^iWiu(x0,u0,qi,t)u I ])dt+f4(x):

v1=1

4 m

=jM Ё^iWix(x0,u0,qi,t)x

t0 L i=1

(tl

jM(Z^iWiu(x0,u0,qi,t)u ])dt

V t0

+ f4(x). (11)

Подставив выражение (8) в первое слагаемое в правой части выражения (11), проведя необходимые преобразования с учетом выражений (9) и (10), получим

можно построить сопряженный конус K*0,i є [1 , m], а следовательно, и линейный функционал [3]

fi<)(x>u) є K

*

i = 1

fi<)(x,u) > 0,i є [1,m],

m

K = ПKi0 *0

i=1

также является открытым выпуклым конусом с вершиной в нуле [5] , для которого можно построить сопряженный конус K* о , а следовательно, и линейный функционал f0(x,u) є K0,f0(x,u) > 0

[3] . Так как

111 \ ш

ПK,o * = 1K

i=1

[6] , то получим

[3,7]

j(u) = Mf^x,^) = мfi0(x,u)J, .

fKu) =1

(Fu(x0,u0,p,w,^ )T*(t)

+ M[z^iWiu(x°,u0,qi,),u]dt + f4(x)

Принимая во внимание вид интегрального линейного функционала, опорного к множеству U в точке u0 [6, 7], получим

ҐҐ

\v

Fu(

x0,u0,p,w,t

))T ЇЇ0+

ґ

+ M

Ё^ iWiu(x0,u0,qi,t)^u4^ р0,

V i=1

Vt є [t0,tj,Vu є U .

Теорема 2 доказана.

5. Задание принципа оптимальности

Теорема 3. Пусть в выражении (5) Wi (x, u, q i, t), i є [1, m] непрерывны и непрерывно дифференцируемы по (x, u ), измеримы по t. Тогда в задаче (1)-(5) векторный критерий качества апостериори задается в виде

J(u) = M(f „ (x u)) = M^^ f и (x u)|

где f i0 (x, її) > 0 — линейные функционалы.

Доказательство. Множество пар вариаций (x, її), удовлетворяющих подинтегральному выражению Wi (x, u, qi, t), i є [1, m] локального критерия качества (5), принадлежит конусу убывания K„,i £ [1 , m] образует открытый выпуклый конус с вершиной в нуле, intKi0 Ф- 0, для которого 54

Теорема 3 доказана.

6. Выводы

Сформулирован стохастический вариант динамической задачи многокритериальной оптимизации на множестве интегральных функционалов при наличии ограничений по модулю на состояние и управление. Изучены вопросы, связанные со следующими проблемами, специфичными для исследуемой задачи: существование решения, необходимые и достаточные условия оптимальности, определение множества Парето, задание принципа оптимальности. Метод нахождения решения, а также проблема нормализации и задания приоритета (степени важности) для множества локальных критериев качества связаны с конкретизацией выражений (1) и (5).

Литература: 1.ИоффеА.Д., ТихомировВ.Н. Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1974. 480с. 2. Емельянов С.В., Борисов В. И., Малевич А.А., Черкашин А.М. Модели и методы векторной оптимизации // Итоги науки и техники. Техническая кибернетика. 1973. Т.5. С.386-448. 3. Дубовицкий А.Я., Милютин А.А. Задачи на экстремум при наличии ограничений / / Журнал вычислительной математики и математической физики.1965. Т.5, №3. С. 395-453. 4. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функциональный анализ. М.: Наука, 1968. 496с.5. Рокафеллер Р.Т. Выпуклый анализ. М.:Мир, 1973. 469 с.6. Гирсанов И.В. Лекции по математической теории экстремальных задач. М.: Изд-во МГУ, 1970. 117с. 7. Острем К.Ю. Введение в стохастическую теорию управления. М.: Мир. 1973. 322с. 8. Болтянский В.Г. Экстремальные задачи и метод шатров // Труды ВНИИ системных исследований. 1989. №14. С. 136-147.

Поступила в редколлегию 24.05.2001

Рецензент: д-р техн. наук, проф. Кузнецов Б.И.

Радиевский Анатолий Евгеньевич, заведующий лабораторией Харьковского НИИ комплексной автоматизации (ХИКА) Минтопэнерго Украины. Научные интересы: теория оптимального управления, задачи многокритериальной оптимизации. Адрес:Украина, 61003, Харьков, пер. Кузнечный, 2, тел. 20-87-32, 20-86-34.

РИ, 2001, № 4