Квазилинейная задача аналитического конструирования оптимальных регуляторов Текст научной статьи по специальности «Математика»

СИСТЕМЫ И

ПРОЦЕССЫ

УПРАВЛЕНИЯ

УДК 618.514.01:517.977.5

КВАЗИЛИНЕЙНАЯ ЗАДАЧА АНАЛИТИЧЕСКОГО КОНСТРУИРОВАНИЯ ОПТИМАЛЬНЫХ РЕГУЛЯТОРОВ

РАДИЕВСКИЙА. Е.___________

Исследуется процедура разработки математического обеспечения процедуры динамического синтеза в классе задач аналитического конструирования оптимальных регуляторов для квазилинейного обьекта управления.

tl

J(u) =J W(x,u,q,t)dt (2)

t0

при наличии ограничения

(x,u, p,q,t) є E (3)

и граничных условий

(x,to) Є Po,(x,ti) Є Pi, (4)

где x = x(t) є En -состояние; u = u(t) є Er - управление; E — область определения задачи; En,Er — некоторые пространства; цє Eц = (ц: |ц| < цmax) -параметр ОУ (1); q є Eq = (q : |q| < qmax) — параметр критерия качества (2); pmax = const > 0 ,

qmax = const > 0 — заданные числа; P; — многообразия, i є [0,1]; t є [t0,t1] c R1 — время, [t0,t1] — интервал управления, R1 — числовая прямая.

3. Особенности процедуры динамического синтеза в классе задач АКОР

1. Введение

На современном этапе автоматизации технологических процессов в таких областях как энергетика, машиностроение, металлургия, химия, нефтехимия, управление подвижными объектами, современные средства ведения вооруженной борьбы определяющей в научно-техническом аспекте является проблема динамического синтеза [1]. Специфика моделей, использующихся в качестве объектов управления (ОУ), в задачах динамического синтеза проявляется, в частности, в связи с их нелинейностью. Последнее обуславливает нелинейный характер функционирования синтезированных систем управления(СУ). При исследовании последних широкое распространение получили методы линеаризации [2]: замена исходной нелинейной модели ее квазилинейным аналогом [3]. Одним из методов, использующихся при реализации процедуры динамического синтеза, является аналитическое конструирование оптимальных ре -гуляторов (АКОР) [4]. Задачи АКОР для квазилинейного ОУ рассматривалось в [5-9], где исследуются вопросы существования непрерывного решения уравнения Ляпунова-Веллмана [5], нахождения субоптимального управления на основе приближенного решения уравнения Гамильтона-Яко-би-Беллмана [6-8], схема последовательных приближений метода возмущений [9].

Целью исследования является разработка математического обеспечения процедуры динамического синтеза в классе задач АКОР для квазилинейного ОУ.

2. Постановка и особенности задачи

Процедура динамического синтеза, реализуемая в классе задач АКОР, может быть сформулирована следующим образом. На движениях ОУ

dx

— = F(x,u, М) (1)

dt

Одной из особенностей процедуры динамического синтеза в классе задач АКОР является необходимость выбора параметра q критерия качества (2 ) [4]. Последнее обуславливается тем, что функционирование СУ, синтезированных в классе задач АКОР, оценивается посредством “вторичных” показателей качества [10], которые априори не могут быть учтены в исходной структуре критерия качества (2 ). Поэтому целесообразной является следующая процедура динамического синтеза в классе задач АКОР [11]:

— определение структуры управляющего устройства (УУ) при заданной структуре ОУ (1), критерия качества (2), ограничения (3) и граничных условий (4) (структурный синтез);

— в рамках синтезированного УУ выбор параметра q критерия качества (2), при значении которого движение синтезированной СУ при отработке требуемого задания удовлетворяет наперед заданным показателям качества (параметрический синтез).

В настоящее время при реализации процедуры структурного синтеза в задаче (1) - (4) используются принцип максимума, метод динамического программирования, метод введения новых переменных, итерационные методы, применение которых предполагает необходимость привлечения численных методов. В случае линейного ОУ решение задачи структурного синтеза сводится к процедуре построения стабилизирующего решения матричного уравнения Риккати. Невозможность реализации аналитического решения задачи структурного синтеза не позволяет реализовать решение задачи параметрического синтеза в плане связи параметра q критерия качества (2) и “вторичных” показателей качества. В настоящей работе исследование задачи (1) - (4) базируется на положениях функционально -аналитического подхода решения экстремальных задач [12].

оптимизируется критерий качества РИ, 2005, № 2

33

4. Структура алгоритма управления

Пусть E = Cn(t0,t1)хL^(10,1!)хЕ^хЕq хR1, где

Cn (to, ti) — пространство n -мерных непрерывных на [to,ti] функций x(t) c нормой ||x|| = max|x(t)|, Vtє [to,ti], xєQ = (x:|x| < xmax), xmax = const >0 —заданное число, intQ Ф0 ; L1^(t0,t1) — пространство г -мерных существенно ограниченных на[t0, ti] измеримых функций u(t) с нормой

HI = vrai sup|u(t) , Vt Є [t0,ti] , U Є U = (u : |u| < Umax) ,

umax = const > 0 — заданное число, intU ^0 ; x(t0) = x0 , x(ti) = 0 ; ti — конечный, не фиксированный моментом времени; (x0,u0) — решение задачи (1)-(4).

Если множество пар вариаций (x,u), удовлетворяющих подынтегральному выражению критерия качества (2), принадлежит конусу убывания К 0 , то функционал f 0 (x, u) є K 0 получим в виде ti , ,

f0(x,u) = - J[Wx(x0,u0,q,t),x + Wu(x0,u0,q,t),u]dt t0

где W^ (x 0, u 0, q, t), Wu (x 0, u 0, q, t) - производные в точке (x0 ,u0) по x и u от W(x,u, q, і) соответственно; * — символ операции сопряжения.

Если Ki конус возможных направлений в точке u0 и функционал fi (u) є K* , то fi (u) = (0,fi (u)), где fi (u) Є Lr^ (t 0 , t i ) и является опорным к множеству U в точке u0 . Пусть Hi с E — множество пар вариаций (x,u), удовлетворяющих выражению

f = Fx (x0, u0, p,t),x + fu (x0, u0, p, t),u, x(t0) = 0 ,(5)

а H2 c E — x(ti) = 0, (6)

где F^(x0, u0, p, t), Fu (x0, u0, p, t) — производные в точке (x0,u0) по x и u от F(x,u,p,t) соответственно.

Тогда Hi и H2 — подпространства, а касательное пространство K2 = Hi nH2, K2 = H* + H2 • Поэтому, если функционал f2(x,u) є H* , то f2(x,u) = 0 , и если функционал f3 (x, u) є H 2, то f2 (x, u) = (0, a), aeRn , Rn — n-мерное евклидово пространство. Если K4 — конус возможных направлений в точке x0 и f4(x) Є K4 , то f4(x) = (0,f4(x)) , где f/4 (x) Є Cn* [t0 , ti ] и является опорным к множеству Q в точке x0 . Тогда уравнение Эйлера запишем в 4

виде £ fi (x, u) = 0 или, учитывая вид найденных

i=0 ’ _ _ г і

функционалов fi (x, u),i є [0,4|,

fi(u) = J [W^(x0,u0,q, t), x + t0

+ Wu(x0,u0,q,t),u]dt + f4(x).

Пусть [12] dT(t)

dt

+ (F;(x0,u0, p,t))T T(t) = W^(x°,u°,q, t)

при T(ti) = 0 . (7)

Учитывая выражения (5)-(7), можно записать

ti 0 0 J Wx(x0,u0,q, t),xdt =

t0

= J (-^ + (Fx (x0 ,u0, p, t))T T (t)),xdt = dt

t0

= J-d^dtt), xdt + J (Fx(x° ,u°, p, t))1 T(t), xdt =

t0 dt t0

ti

= T (t),x

ti ti dx

Iі -j (mfodt+

t0 t0 dt

+ J(Fx(x0,u0,p,t))T T(t),xdt = t0

= -1 OF (t) ■d-j“)dt + J(F; (x0,u0,w,p,t))T T (t), xdt =

t0 dt t0

ti 0 0

= -|T (t)[Fx (x0, u0, p, t), x + Fu(x0, u0, p, t), u]dt +

t0

ti 0 0

+ J (F^(x0,u0, p,t)T (t), xdt = t0

ti 0 0 T

= -J(Fu(x0,u0,p,t))TT(t),udt. t0

Тогда

ti 0 0 T fi(u) = J [-(Fu(x0,u0, p,t))T T (t) +

t0

+ Wu(x0,u0,q,t),u]dt + f4(x).

Так как множества U и Q являются выпуклыми телами [13], то для их крайних точек fi (u) = signumax,

f4(x) = signx max , а для внутренних — fi(u) = 0 , f4(x) = 0 и управляющее воздействие определяется выражением

-(Fu(x0,u0, p,t))TТ(t) + Wu(x0,u0,q,t) = 0 .

5. Структурый синтез

Пусть x = (xi,.., xn) -матрица-столбец n -мерного

вектора фазовых координат; u = (ui,.., ur) -матрица-столбец г -мерного вектора управляющих воз-

34

РИ, 2005, № 2

действий, n > r ; W(x,u,q,t) = xTRx + uTMu ,

R = diag||r; ||n , M = diag|m; ^ ; F(x, u, p, t) = FxX + FuU .

Тогда алгоритм управления (АУ) получим в виде [12]

u(t) =

umax при L(t) — umax L(t) прИ — umax ^ L(t) ^ umax _ umax при L(t) < —umax

(8)

где L(t) = |m-1 (Fu (x0, u0, p, t))T T(t),

+ (F; (x0, u0, p, t))T T(t) = 2Rx dt

при T(t1) = 0 . (9)

Умножая выражение (9) слева на матрицу получаем

1r-1

2 :

1r +1r -1

2 dt 2

(F^(x0,u0, p,t))TT(t) = x . (10)

Принимая во внимание выражение (10), можно записать

^ = !fxR+ [Ir_1(F^(x0,u0, p,t))T + dt 2 x dt 2 x

+-^FuM-1(Fu(x0,u0, p,t))T]T(t) ,

подставляя которое в выражение

d2^(t) , ( 0 0 t))T dT(t) 2R dx

---— + (Fx(x ,u ,PA» —— = 2R — ,

dt2 dt dt

получаем векторное однородное дифференциальное уравнение второго порядка:

d2 T(t) dT(t)

( - + C1—^ + C2Т(t) = 0 при T(t1) = 0 , (11)

dt

2

dt

где C1 = (F^(x0,u0,p,t))T -RFxR_1;

C2 = -RFxR_1(F^(x, u, p,t))T --RFuM-1(Fu(x0,u0,p,t))T .

Однородное решение уравнения (11) запишем в виде

4*1 (t) ®u(t)®12(t) ^1(t0)

^2(t) Ф 21(t)® 22 (t) *2(t0)

где Т(t) = Т1 (t), dTt (t) = Т2 (t); Ф(t) - n x n - мер-dt

ные матрицы, i, j є [1,2].

Так как фц(t1) - ф22(t1) - 1 , ®12(t1) - Ф21 (t1) - 0 ,

(I и O — n x n -мерные единичная и нулевая матрицы), а T(t1) = 0 , то T1(t0) = Т(t0) = 0 .Поэтому сопряженную систему дифференциальных уравнений (СДУ) (9) можно записать [14] в “прямом” времени:

РИ, 2005, № 2

dT(t)

dt

(F^(x0 ,u0, p,t))T T(t)

при T (t0) = 0 .

2Rx(t0)

(12)

dx

Пусть — -

Ax + Bu + pf(x), где A

B=1 Ml!

n

ajj |І1 —

устойчивая, f(x) = — аналитическая вектор-

функция, p - малый параметр. Тогда СДУ (12) запишем в виде

-ATT(t) =-2Rx(t0)-pf(x), при T(t0) = 0 , а ее решение — в виде

Т c (t) = 2Z0 (t)Rx(t0) + pZ0 (t)f {x),

где Z0 (t) = - J eA ^_^dx. t0

Для открытой области получим

Lc(t) = M_1BTZ0 (t)(Rx(t0) + 0.5pf(x)),

— = Ax +pf(x) + B(M_1BTZ0(t)(Rx(t0) + 0.5pf(x))). dt 0

x(t) = (eAt + Z02(t)R)x(t0) +

+ p(Z0:(t) + 0.5Z02(t))f(x),

где Z01(t) = J e ^“^dx,

t0

Z02(t) = J e A<t-^BM-1B TZ0(t)dx t0

Пусть p = A(t)x + B(t)u + pf (x, t), где элементы матриц A(t) =|| ajj(t) ііП и B(t) =|| bij(t) ||Г — непрерывно дифференцируемые функции на р0,Д], р —

малый параметр, f(x,t) =|| fi(x,t) llj1 — аналитическая вектор-функция. Тогда СДУ (12) запишем в виде

d^(t)

dt

a T(tmt)

2Rx(t0) - pf(x,t)

при T(t0) = 0,

а ее решение — в виде

^ нс (t) = 2ZHC (t)Rx(t0) + pZ 2с (t)f (x, t),

где ZHC (t)

JX T(t)X“1T(x)dx, t0

35

ZHC(t) = -}xT(t)X-1T(x)f(x,x)dx . to

Для открытой области получим

LHC (t) = M-1BT (t) (Zj10 (t)Rx(t0) + 0.5|rZ2C (t)),

dx ...

— = A(t)x +pf (x, t) + dt

+ B(t)(M_1BT (t)(ZjC (t)Rx(t0) + 0.5|rZHC (t))),

x(t) = (x(t) + ZHC(t)R)x(t0) + +^(z2C(t)+0.5zHC(t)),

где

zHC(t) = Jx(t)x_1(T)B(T)M_1BT(T)zHC(t)dT

t0

Z2i(t) = Jx^x-^B^M^B^zf (фх,

t0

z22(t) = Jx^x-^fx, x )ix. t0

6. Заключение

В классе задач AKOP сформулирована задача динамического синтеза для квазилинейного объекта управления. Проведенное исследование позволило получить следующие новые результаты, имеющие научное и прикладное значение:

— на основании исследования множества допустимых управлений показано, что синтезированный АУ относится к классу нелинейных, предельнолинейного типа;

— получено аналитическое решение задачи структурного синтеза, что позволит на этапе параметрического синтеза связать аналитической зависимостью параметры оптимизируемого критерия качества (2) и “вторичные” показатели качества.

УДК 519.6:514.1

ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ НА

КОМПОЗИЦИОННЫХ ОБРАЗАХ КОМБИНАТОРНЫХ МНОЖЕСТВ

ГРЕБЕННИК И.В.__________________________

Исследуются экстремальные свойства выпуклых и сильно выпуклых продолжений функций, заданных на композиционных образах комбинаторных множеств

— множествах парных перестановок, парных размещений и парных сочетаний с повторениями.

Введение. Многие классы задач, возникающих в проектировании, управлении, контроле, описываются моделями комбинаторной оптимизации [1]. Области допустимых решений этих задач часто

36

Практическая значимость результатов исследования определяется возможностью их использования в качестве математического обеспечения при проектировании СУ в рассматриваемом классе задач.

Литература: 1. Радиевский А.Е. Проблематика современного этапа автоматизации технологических процессов // Автоматизація виробничих процесів.2004. №1(18). С.126-132. 2. Методы исследования нелинейных систем автоматического управления / Под ред. P. А. Нелепина. М.: Наука, 1975. 448с. 3. Моисеев Н.Н. Асимптотические методы нелинейной механики. М.: Наука, 1969. 380с. 4. Справочник по теории автоматического управления / Под ред. А. А. Красовского. М.: Наука, 1987.712с. 5. Альбрехт Э.Г. О существовании оптимальной функции Ляпунова и непрерывного оптимального управления для одной задачи об аналитическом конструировании регуляторов // ДУ. 1965.Т.1, №10. С. 1301-1313. 6. Garrard W.L, McClamroch N.H., Clark L. G. An approach to suboptimal feedback control for nonlinear system // IntJ.Control. 1967.V.5, No5.P.425-435. 7. Garrard W.L. Additional result on suboptimal feedback control of nonlinear system //Int J.Con-trol. 1969. V.10, No6. P.657-663. 8. Garrard W.L. Suboptimal fe-edback control for nonlinear system // Automatica. 1972. V.8, No2. P.219-221. 9. Колмановский В.Б. Применение метода возмущений к некоторым задачам оптимального управления // ПММ.1975.Т.39, №15.С.788-796.10. ЛетовА.М. Динамика полета и управление. М.: Наука, 1969. 360с. 11. Ли Э.Б., Маркус Л. Основы теории оптимального управления: Пер. с англ. М.: Наука, 1972. 576с. 12. Гирсанов И.В. Лекции по математической теории экстремальных задач. М.: Изд-во МГУ,1970.117с. 13. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука,1968.496с.14. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.:Наука,1971.240с.

Поступила в редколлегию 01.11.2004

Рецензент: д-р техн.наук, проф. Кузнецов Б.И.

Радиевский Анатолий Евгеньевич, заведующий лабораторией Харьковского НИИ комплексной автоматизации (ХИКА) Минтопэнерго Украины. Научные интересы: математическая теория экстремальных задач, динамические задачи многокритериальной оптимизации. Адрес: Украина, 61003, Харьков, пер. Кузнечный, 2, тел. 731-35-67, 731-41-80.

представляются классическими комбинаторными множествами [2]. Разработка адекватных моделей ряда задач требует построения комбинаторных множеств с более сложной структурой, отражающей комбинаторную природу решаемой задачи. Это справедливо, в частности, при решении многих экстремальных комбинаторных задач геометрического проектирования [3,4].

Для построения эффективных моделей задач указанного класса в [5] вводится новый класс комбинаторных множеств со сложной структурой — композиционные образы (k -образы) комбинаторных множеств. В связи с этим актуальной задачей является анализ различных оптимизационных моделей на k -образах комбинаторных множеств.

Целью настоящей работы является исследование свойств некоторых классов задач оптимизации на k -образах комбинаторных множеств. При этом

РИ, 2005, № 2