Конусная гарантия в модели освоения вводимых производственных мощностей Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519. 833

О.М.Вишнякова

КОНУСНАЯ ГАРАНТИЯ В МОДЕЛИ ОСВОЕНИЯ ВВОДИМЫХ ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ МОЩНОСТЕЙ

Псковский государственный политехнический институт

The multicriterial dynamic problems under uncertainty are considered and the necessary conditions for existence cone suddle-points are formulated as a Pontryagin's maximum principal. These results in the model of developing of inputting the production facilities are used.

1. Введение

Задача принятия решений в сложных системах имеет две особенности. Во-первых, она имеет многокритериальный характер. Решение зачастую принадлежит области компромисса, когда улучшение качества по одному критерию приводит к ухудшению по другому. Поэтому основную роль при принятии решения в такой ситуации играет выбор принципа оптимальности, объясняющего, в каком смысле одно решение лучше другого. Во-вторых, характерной особенностью задачи принятия решений является наличие неопределенности. Основным источником неопределенности является внешняя среда, а также ограниченные возможности лица, принимающего решение (ЛИР), собрать и обработать информацию о решаемой проблеме.

В данной работе рассматривается математическая модель освоения производственных мощностей [1], которая является динамической многокритериальной задачей при неопределенности. Для оценки качества принимаемого решения используется принцип оптимальности по конусу [2]. Исследование многокритериальной задачи при неопределенности ведется в рамках принципа гарантированного результата [3]. Задачу принятия решений в условиях неопределенности можно трактовать как конфликт двух сторон, одной из которых является ЛИР, а другой — гипотетический индивид, формирующий неопределенность. При этом следует считать, что этот индивид действует так, чтобы максимально препятствовать ЛИР в достижении его целей. Таким образом, для данной задачи вводится вспомогательная антагонистическая игра. Для построения седловой точки в программных стратегиях данной игры применяется принцип максимума Ион-трягина [4].

2. Многокритериальная динамическая задача при неопределенности

Иод многокритериальной непрерывной динамической задачей при неопределнности понимиается упорядоченная система

Г = (Е, и, ^ {3.(и,г)»^,С, N = {1,2,к,N» . (1) Здесь функционирование управляемой динамической системы Е рассматривается на отрезке времени [?0,9], где 0 < ^ <9 — фиксированные моменты начала и окончания процесса. Текущее состояние системы Е в каждый момент времени I характеризуется фазовым вектором х = (х1,х2,...,хп)еЯп. Задано начальное состояние системы Е х(10) = х0. Изменение фазового вектора описывается векторным дифференциальным уравнением

х = ф(1, х, и, z), х(10) = х0. (2)

В (2) п-вектор-функция ф(1, х, и, z) описывает внутреннее устройство системы и определена для любых значений векторных переменных х е Яп, и е Q с Яг,

z е Р с Я1, множества Q и Р заданы априори.

Для каждого конкретного момента времени I е [I0,9) ЛИР выбирает некоторое управляющее воз-

действие, которое отождествляется с функцией и = и(1) (и + и = и(-)), принимающей значение при

всех I е [10,9) в области управления Q с Яг. Множество всех управлений обозначим через и.

Одновременно реализуется (независимо от действий ЛИР) неопределенный фактор z = z(t)

(г + z = z(•)), I е [10,9), z(t) е Р с Я1 при всех I е [10,9),

где Р — область значений неопределенности, Z — множество всех неопределенностей.

Ироцесс принятия решения в задаче Г происходит следующим образом. ЛИР выбирает и использует некоторое конкретное управление и + и( ), и е и. Независимо от ЛИР реализуется конкретная неопределенность г + z( •), г е Z, о которой ЛИР в каждый момент времени I известно лишь множество возможных значений Р. Затем определяется решение х(1) системы (2) при и = и(1), z = z(t). На полученных тройках х(1), и = и(1), z = z(t), 10 < I <9, определены N критериев, заданных функционалами

Jl (и, г) = |^ (I, х(1 ), u(t), z(t))dt + Ф, (х(9)),

10

I е N = {1,2,к,N». (3) Иредпочтительность векторного критерия оценивается с помощью конуса доминирования С. Будем считать, что ЛИР стремится максимизировать все компоненты своего критерия, поэтому, конус доминирования содержит положительный

ортрант пространства ЯN, т.е. С з , где

Я^ = {х е ЯN : х, > 0, I = 1,2,к,Щ.

Для двух векторов J1, J 2 е Яы 31 <С 32 » 32 - 31 е С; 31 <С 32 » 32 - 31 г С. Заметим, что 31 <С 3 2 » 3 2 <(-С) 3\

Будем рассматривать выпуклые замкнутые конусы с непустой топологической внутренностью, не содержащие начало координат (заостренные). Для таких конусов указанное отношение является иррефлек-сивным, транзитивным и инвариантным относительно линейного положительного преобразования [5].

Определение 1. Иару (иС,3С)еихЯ назовем С-гарантированным решением задачи (1), если существует неопределенность гС е Z, такая, что

3С = 3 (иС, гС), и для любых и еи, 2 е Z

3(иС, г) <С 3(иС,гС) и 3(иС,гС) <С 3(и,гС),

при этом ^вектор 3 (иС, 2с ) назовем С-гарантией в задаче (1) .

Лемма 1. Если существуют постоянные нену-

г-1*

левые векторы а е С , где С — конус, полярный для заданного конуса С, такие, что

тах а 3 (и, 2с ) = а 3 (иС, 2с ) Уи еи,

шта 3(иС, г) = а 3(иС, 2с ) Уг е ^

г

то пара (иС, 2с ) порождает С-гарантированное решение задачи (1).

Данная лемма являтся следствием достаточных условий оптимальности для многогранного конуса, сформулированных в [3].

Задаче (1) поставим в соответствие антагонистическую игру О(С) = (Е, и, Z, Jа (и, 1)). Роль первого игрока выполняет ЛПР, формирующее программные управления и е и, а второй выбирает программные неопределенности 1 = Z. Функция выигрыша

имеет

вид

N

J Е (U, Z) = £ a J (U, Z),

где

а = (aj,a2,...,aN) e C .

Утверждение 1. Если пара (UC, ZC) e U x Z — седловая точка антагонистической игры G(C), то пара (UC, ZC) реализует С-гарантированное решение многокритериальной задачи (1).

Для нахождения седловой точки антагонистической игры G(C) применим принцип максимума Понтрягина [4]. Будем предполагать, что в задаче (1) программные стратегии U + u( •), U e U и программные неопределенности Z + z(• ), Z e Z являются кусочно-непрерывными на [t09] . Кроме того, предполагаем, что функции Fi (t,x,u,z), Фi (x), i e N, ф(/, x, u, z) имеют частные производные по переменным Xj, x2,..., xn и непрерывны вместе с этими производными по совокупности своих аргументов для x e Rn, u e Q, z e P , t e [tQ,9], где Q (P) — замыкание множеств Q(P) . При выполнении этих требований принцип максимума для игры G(C) формулируется следующим образом.

Теорема 1. Пусть пара (UC, ZC) e U x Z

(U + u*(-), Z + z.()) является седловой точкой в игре G(C), а x(t), tQ < t <9 — соответствуещее решение системы (2) при u = и (t), z = z»(t), С — выпуклый конус, C e R. . Тогда

1) для всех t e [tQ, 9], являющихся точками непрерывности управления u(),

max H (t, x(t),u, z.(t), v(t)) = H (t, x(t), u*(t), z.(t), v(t));

ueQ

2) для всех t e [tQ, 9], являющихся точками непрерывности неопределенности z(),

min H (t, x(t), u*(t), z, v(t)) = H (t, x(t), u*(t), z.(t), v(t)).

zeP

N

Здесь H(t, x, u, z, y) = yQ ^ aiFi (t, x, u, z) + у'ф(/, x, u, z), i=1

*

a, e C , а функция y(t), tQ < t <9 , является решением системы

v(t) = -dH(t,x(t),u"V>-*.('),^», tQ < t <9,

dx

с граничным условием

5(^ a-Ф ,■ (x(9))) y(9) =-------i=1--------------

3. Модель освоения вводимых приозводственных мощностей

Рассматривается математическая модель освоения вводимых производственных мощностей [6]. Здесь представлено функционирование конкретной экономической системы Е за период времени ^0,9]. Обозначим производственную мощность, которая в момент времени t участвует в фактическом производстве, через х((), а производственную мощность, вводимую в момент времени /, — ы(Г). Уравнение, описывающее изменение производственной мощности х(/), имеет вид

x = y(u - x - z), x(tQ) = xQ.

(4)

dx

Здесь постоянная у > Q — коэффициент акселерации, прирост производства при увеличении мощности на единицу, z(t) e Z — программная неопределенность. ЛПР выбирает производственную мощность u(t), которую оно считает нужным ввести в производство в момент времени t e [tQ, 9]. На систему влияют внешние факторы, которые могут привести к непредвиденным потерям — z(t) e Z. На тройках x(t), u(t),

z(t) заданы критерии оценки качества функционирования системы Е следующими функционалами:

9

Jj(u) = -cj u2dt,

?Q

9

J 2(u) = j (u(t) - x(t) - z(t ))2dt,

J 3(u) = (x(9) p(9))2.

Здесь VC = const — затраты на введение мощности, p(t) — условная цена единицы мощности в момент времени. Стремление ЛПР увеличить J1 (u) соответствует его желанию уменьшить расходы на введение производственной мощности, увеличение J2 (u) отвечает желанию увеличить интенсивность производства, J3 (u) характеризует желание достичь наибольшей прибыли.

Пусть задан конус доминирования C з Rf. Для данной задачи построим С-седловую точку, реализующее С-гарантированное решение. Соответственно лемме 1 выберем положительные постоянные ai, i = 1,2,3,

такие, что a1 + a2 + a3 = 1, a = (ax,a2,a3) e C*. Составим скалярный критерий

J = J1 (u) + J 2 (u) + J3(u) =

99

= -a1c j u2dt + a2 j (u(t) - x(t) - z(t ))2dt + a3 (x(9) p(9))2

*0 *Q

и введем вспомогательную антагонистическую игру G(C). Допустимые управления и неопределенности удовлетворяют следующим ограничениям:

U ■ < U < U Z ■ < Z < Z

min max > mm _ _ max •

Для нахождения седловой точки воспользуемся принципом максимума Понтрягина. Сначала най-

дем оптимальную стратегию первого игрока. Построим функцию Гамильтона:

2 2 Н1 =ф01(-а1см + а2(и - х - г*) ) + ^1у(м - х - г*).

Сопряженная система имеет вид

дН ...

^ = -— ^ ^ = 2у01а 2 (и - X - г*) + ^у. (5)

дх

Из условий экстремума первого порядка

и = 12у01а 2 х + 2а 2 г* + ^1у

2 ¥01(а1С - а2 )

Здесь у01 = 1. Условия второго порядка имеют вид -2а1с + 2а2 <0. Следовательно, если 1) а1с > а2, то 12а2 х + 2а 2 г* + ^1у

u — —

2

(цс - a2)

иначе 2) u — Um

Рассмотрим первый случай. Подставим выражение для и в уравнения (4) и (5). После преобразований получим систему дифференциальных уравнений х = -ах(/) + й^1 (/) + аг*, 1 = йх(/) - а^ (/) + йх*, (7)

где a — -

ya1c a,c - a2

2 a1c - a2

„ a,a2c „ d — -2—Бу-

aiC - a2

дем считать, что p — const.

Из условий трансверсальности теоремы 1 Vl(9) — -2 p2 x 2(9).

Будем считать, что tQ — 0, 9 — 1, x(0) — 1. Тогда получим следующее решение системы (7): x(t) — (cos(kt) -l sin(kt))(z. +1) + m sin(kt) z.,

y1 (t) — - 1((kl + a)cos(kt) + (k - al )sin(kt))( z. +1) + b

+m(k cos(kt) - a sin(kt))z., (8)

где k

— V-bd-a

2a 3 p2b

l —

(a-2a3p b)cosk + ksink (a - 2a 3 p 2b) sin k - k cos k ’

m —----- 2 •

(a-2a3p b)sink-kcosk После подстановки (8) в (6) получим оптимальное управление ЛПР:

(t) _ 1 ((2a2bl+yal -yk)sin(kz) - (2a2b+ykl + ya)cos(kt)

u(t) — ol \ x

2 ^ b(a1c - a2)

( , i) , (yma - 2a2mb)sin(kt) - ymkcos(kt) - 2a2b ^ (Q)

x (+1) + ~ ■ z. |. (9)

b(a1C - a2) У

Аналогичным образом определим стратегию второго — фиктивного игрока, считая стратегию первого игрока фиксированной. Функция Гамильтона для второго игрока

H2 — ф02(-a1cu*2 + a2(u* - x - z)2) + ^1y(u* - x - z). Сопряженная система имеет вид

у 2 — 2у Q2a 2(u*- x - z) + у 2y. (10)

Здесь у02 —-1. Из условий экстремума первого порядка

12a2u - 2a2x + y2y z 2 a2 .

(11)

Условия второго порядка -2а2 < 0 выполняются всегда. После подстановки (11) в уравнения (4) и (10) получим систему дифференциальных уравнений

y

x —Т— ^ V2 — 0 2a2

с граничным условием у 2(9) — -2 p2 x(9). Для tQ — 0, 9 = 1, x(Q) = 1 ее решение имеет вид

x(t) = -

22 a 3y p 22 a3y p + a2

t +1, У2 (t) — -2

a 2a3 p 22 a3y p + a2

. (12)

(6) Подставив выражения из (12) в (11), получаем:

^ = УазР (уд + и* - 1) + 1) + а2(^ - 1) (13)

У2а3 Р2 + а2

Таким образом, С-седловая точка находится из системы уравнений (9) и (13).

Пусть конус предпочтения — многогранный

(2 3 1А

C — J e R3: AJ > о},

где

A —

Согласно

способу уточнения оптимального по многогранному конусу решения, приведенного в [3], в качестве вектора весовых коэффициентов а возьмем левый собственный вектор-строку матрицы А . Для заданной матрицы он будет равен (0,33;0,23;0,44). Зададим значения остальных параметров: у = 3, с = 6, р = 10. Определим область управления и неопределенности:

-1 < и < 1, -1 < 1 < 1.

Оптимальное управление (9), полученное при заданных значениях параметров при каждой фиксированной неопределенности, изображено на рис.1. На рис.2 представлены поверхности, задающие оптимальное управление (9) при каждой фиксированной неопределенности и минимизирущую стратегию второго игрока (12) при каждом фиксированном управлении для заданных значений параметров и выбранных весовых коэффициентов а. Линия пересечения этих поверхностей — решения системы уравнений (9)

Рис.1

Рис.2

Рис.3

Рис.4

и (13) в каждый момент времени t е [/0,9]. Функции

С С

и ^) иг ^), образующие С-седловую точку (иС, 1С), где иС + иС(^ , 1С + 2С (t), представлены на рис. 3 и рис.4. соответственно.

4.Заключение

Многокритериальные задачи при неопределенности — активно развивающееся направление теории принятия решений, которое представляет адекватный аппарат для описания реальных прикладных задач экономики, экологии, механики и др. Настоящая работа посвящена динамическим задачам с программными управлениями и неопределенностями, которые являются актуальными в вопросах прогнозирования и планирования. Предложен метод построения конус-

ных седловых точек, реализующих гарантированные решения данных задач, основанный на применении принципа максимума Понтрягина.

1. Жуковский В.И. Салуквадзе М.Е. Оптимизация гарантий в многокритериальных задачах управления. Тбилиси: Мецниерба, 1996. 475 с.

2. Вишнякова О.М. // Тр. Псковского политехн. ин-та. 2004. №8.1. С.7-11.

3. Вишнякова О.М. // Тр. Псковского политехн. ин-та. 2004. №9.1. С.14-18.

4. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Грамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1982. 392 с.

5. Колемаев В. А. Математическая экономика. М.: ЮНИТИ, 2002. 399 с.

6. Там же. Стр.57.