Гарантированное решение многокритериальной задачи при неопределенности Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

Сер. 10. 2009. Вып. 4

УДК 519.7

С. Н. Париевская

ГАРАНТИРОВАННОЕ РЕШЕНИЕ МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ ПРИ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ

1. Введение. Проблема принятия решений существует почти во всех видах творческой активности людей в различных сферах деятельности. Математические модели процессов принятия решений дают возможность получить важные представления об объекте с помощью исследования теоретическими методами. Проблема принятия решений в сложных системах рассматривается в рамках теории многокритериальных задач. Одной из особенностей задач принятия решений является наличие неопределенности. Она приводит к тому, что нельзя однозначно определить понятие решения многокритериальной задачи (МЗ), а можно лишь указать «разумные» решения согласно выбранному принципу оптимальности. Принятие решений при учете многокритериаль-ности и неопределенности составляет содержание теории многокритериальных задач при неопределенности (МЗН). Появление основ теории принятия решения при неопределенности следует отнести к началу второй половины XX в. В это время почти одновременно были предложены принципы максминной полезности, минимаксного сожаления, пессимизма-оптимизма и недостаточного основания. Каждый из этих принципов формирует критерий, использование которого приводит лицо, принимающее решение (ЛПР), к однозначному ответу. Данные критерии являются классическими и служат основой для создания производных критериев.

Исходя из различных причин появления, неопределенности можно условно разделить на такие группы [1]:

1) отражающие нечеткость знания ЛПР своих целей;

2) возникающие за счет действий со стороны лиц, имеющих свои цели, но не являющихся ЛПР;

3) появляющиеся из-за недостаточной изученности процессов или величин;

4) возникающие в процессе сбора, переработки и передачи информации.

Именно о первой группе неопределенностей пойдет речь в данной статье.

Заметим, что наличие неопределенности порождает разного вида риски. Здесь за меру риска будем принимать разность между желаемой величиной показателя качества функционирования процесса и его реализовавшимся значением. Этот подход впервые предложил Сэвидж в виде принципа минимаксного сожаления для принятия решений в однокритериальных задачах [2] и был развит в [3] для МЗН.

2. Постановка задачи. Введем в рассмотрение математическую модель МЗН [4], содержащую следующие объекты:

(X,Y,f(x,y),y), (1)

Париевская Светлана Николаевна — аспирант кафедры математического моделирования энергетических систем факультета прикладной математики—процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета. Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

проф. В. Д. Ногин. Научное направление: многокритериальная оптимизация в условиях неопределенности. E-mail: working-mail@mail.ru.

© С. Н. Париевская, 2009

где X - непустое множество возможных (допустимых) решений (альтернатив) х; У - область изменения неопределенных факторов у; /(х,у) = (/1(х,у),..., /н(х,у)) -векторный критерий, который количественно оценивает эффект, достигаемый при выбранной альтернативе х € X и конкретном значении неопределенности у € У; Ух - отношение предпочтения ЛПР, заданное на множестве X; У у - отношение предпочтения ЛПР, заданное на множестве У; У о - отношение предпочтения ЛПР, индуцированное отношениями Ух и Уу, заданное на множестве Б = {/(х, у) = (/1 (х,у),...,/н(х,у)),х € Х,у € У}; У - продолжение отношения Уо на все пространство Ян.

Отношения предпочтения Ух, Уу, которыми ЛПР руководствуется в процессе выбора, представляют собой строгий порядок. На основании леммы 1.1 [5] они обязательно будут асимметричными. Отношение предпочтения У о, заданное на множестве Б, определяется следующим образом:

/ (х', у') У о / (х", у") & х' Ух х", у' Уу у", Ух', х" € X, Уу', у" € У.

Всюду далее предполагаем выполненным:

Аксиома 1. Существует продолжение У на все критериальное пространство Ян отношения Уо, причем оно является иррефлексивным и транзитивным отношением.

Суть этого требования (не считая обязательную иррефлексивность и транзитивность) заключается в постулировании «расширенных» возможностей ЛПР сравнивать оценки по предпочтительности. В соответствии с ним для любых двух векторов /', /'' € Ян выполняется одно и только одно из трех соотношений:

• /' у /'';

• /' < /'';

• не имеет места ни /' У /'', ни /' ~< /''.

При этом отношение предпочтения У на множестве возможных векторов Б совпадает с отношением У о, которое самым непосредственным образом связано с отношениями Ух и У у. Поскольку иррефлексивность и транзитивность отношения У означает наличие аналогичных свойств у отношения У о, что, в свою очередь, влечет иррефлексивность и транзитивность отношений Ух и У у.

Для задач принятия решений в условиях неопределенности принцип оптимальности чаще всего строится в виде некой функции, дающей представление о предпочтениях ЛПР. Ее называют функцией полезности [6]. В теории принятия решений эта функция чаще всего представляет собой определенную комбинацию имеющихся критериев /1,..., /н. Тем самым, получаем сведение многокритериальной задачи к задаче с одним критерием. Такой прием носит название скаляризации многокритериальной задачи. Самый простой способ скаляризации основан на использовании так называемой свертки критериев

N

х(х,у) = Т. ^Мх,у) (2)

1=1

с весовыми коэффициентами ( ^ 0^ ^^=1 ( = 1. Полагая существование функции полезности в виде (2), приходим к проблеме выбора вектора весовых коэффициентов. Решению этой задачи и посвящена данная статья.

Решая МЗН (1), ЛПР стремится выбрать альтернативу х € X таким образом, чтобы достичь одновременно как можно больших значений компонента вектора /(х, у). При этом ЛПР учитывает возможность реализации любой неопределенности у € У.

Каждой неопределенности у € У поставим в соответствие вектор максимальных значений компонент ](х,у), который определяет точку «утопии»:

/ [y] = (max /i(z,y),..., max /n (z,y))

z£X z£X

и векторную разность

&{x,y) = f[y\ ~f{x,y) = (max/i(z, y) - /i(x, y),..., max fN(z, y) - fN(x,y)),

z£X z£X

которую назовем векторной функцией риска. Предполагаем далее выполненным:

Условие 1. В задаче (1) множества X и Y - компакты, а скалярные функции fi(x, y), i G N, непрерывны на X x Y.

Согласно лемме [1, с. 129], при выполнении условия 1 компоненты ^i(x,y),i G N, вектор-функции Ф(х, у) непрерывны на X x Y, при этом

§i(x,y) = max fi(z,y) - fi(x,y), i G N. (3)

zGX

Задаче (1) поставим в соответствие 2N-критериальную вспомогательную МЗН:

(X, Y, {f (x,y), -^(x,y)}, у). (4)

Решая МЗН (4), ЛПР необходимо сформировать альтернативу x G X таким образом, чтобы добиться как можно больших исходов (значений критериев fi(x,y), i G N) и одновременно меньших рисков (значений функций риска Фi(x,y), i G N). При этом необходимо учитывать возможность реализации любой неопределенности y G Y. Кроме того, целью работы является описание подхода к решению проблемы выбора вектора весовых коэффициентов, а также выявление условий существования решений МЗН.

3. Многокритериальные задачи при неопределенности. Рассмотрим МЗН вида (4). Пусть

Fj(x,y) = fj(x,y)J = 1,N, (5)

FN+k(x, у) = —Ф^(х, у), к = I, М, (6)

тогда (4) перепишем в виде

{Х,У,Г(х,у), у). (7)

Понятие «хорошего для ЛПР» решения задачи (1) с учетом рисков будем основывать на понятии гарантированного решения построенной 2М-критериальной задачи (4). Для нахождения гарантированного решения применим прием «аналог седловой точки» [1]. Как векторный оптимум здесь будем использовать оптимумы по Парето [1].

Оптимумы по Парето. Задаче (4) ставим в соответствие две многокритериальные задачи

{X, (х,у*), -Ф(х,у*)}, У), (8)

{У, {/(х*,у), -Ф(х*,у)}, У), (9)

которые получаем из (4) при фиксированных у* G У и х* G X соответственно. Исходя из предположений (5), (6), формулы (8), (9) примут вид

{Х,¥(х,у*), У), (10)

{У,¥(х*,у), У) (11)

соответственно.

Определение 1. Неопределенность ур Є У называется минимальной по Парето задачи (11), если при любом у Є У несовместна система неравенств

Ъ(х*,у) ^Ъ(х*,ур), І = Щ,

из которых, по крайней мере, одно неравенство строгое.

Обозначим через Ур множество всех минимальных по Парето неопределенностей ур. Определение 2. Альтернатива хр Є X называется максимальной по Парето в задаче (10), если для любого х Є X несовместна система неравенств

Ъ(х,у*) > Ъ(хр,у*), І=Щ,

из которых, по крайней мере, одно неравенство строгое.

Обозначим через Xр множество всех максимальных по Парето альтернатив хр. Для нахождения минимальных по Парето неопределенностей ур и максимальных по Парето альтернатив хр понадобятся следующие свойства [1]:

Свойство 1. Если для некоторого вектора весовых коэффициентов и неопределенность ур найдена из условия

2И 2И

іпіп^^іЕі(х*, у) = ^2иРі(х*,ур), і=1 і=1

то ур будет минимальной по Парето неопределенностью в задаче (11).

Свойство 2. Если для некоторого вектора весовых коэффициентов и решение хр найдено из условия

т&хУ~] ШіЕі(х, у*) =У~] иіРі(хр ,у*),

х£Х

і=1 і=1

то хр будет максимальным по Парето решением задачи (10).

Формализация гарантированного решения. Задачу (4) можно интерпретировать как антагонистическую игру двух игроков а и в

{а, х, у {/(х, у), -Ф(х, у)}, У),

в которой игрок а выбором своей стратегии х Є X стремится к возможно большим значениям одновременно всех компонент векторной функции выигрыша (I(х, у), -Ф(х, у)), а игрок в (интерпретируемый как конкурент игрока а) - к одновременно возможно меньшим значениям (Іі(х,у), -Фі(х,у),і Є N) за счет выбора своей стратегии у Є У. Такая интерпретация поясняет следующее понятие.

Определение 3. Тройку (хр, Iр, Фр) назовем Парето гарантированным по исходу и риску решением задачи (1), если существует неопределенность ур Є У, для которой Iр = I (хр, ур), фр = Ф(хр, ур) и

• альтернатива хр является Парето максимальной в задаче

{х, {І(х,ур), -ф(х,урЖ у);

• неопределенность ур минимальна по Парето в задаче

{у {І(хр, y), -ф(хр, у^ у);

при этом пару (хр,ур) называют седловой точкой по Парето 2Ж-критериальной МЗН (4), а /р = /(хр,ур) - гарантированным по Парето исходом, Фр =

Ф(хР,ур) - гарантированным по Парето риском задачи (1).

Способ построения гарантированного по исходу и риску решения. Согласно определению 3, построение Парето гарантированного по исходу и риску решения задачи (1) сводится к нахождению седловой точки по Парето (хр,ур) задачи (4). Решение данной задачи разобьем на следующие этапы:

1. Для каждого г = 1, N строим функцию риска, согласно (3), и векторную функцию риска Ф(х, у) = (Фх(х, у),..., Фи (х, у)).

2. С помощью векторного критерия ](х, у) и векторной функции риска Ф(х, у) сформируем 2N-вектор-столбец Е(х, у).

3. Для какого-либо 2N-вектора ш формируем свертку критериев задачи (4):

согласно свойствам 1 и 2, определяем седловую точку (хр,ур) функции х(х,у); эта пара (хр,ур) и будет седловой точкой по Парето МЗН (4).

5. Строим гарантированный по Парето исход ]р и гарантированный по Парето риск Фр задачи (1), согласно определению 3.

Формируя функцию полезности в виде (12), сталкиваемся с проблемой выбора вектора весовых коэффициентов. Решению этой задачи будет посвящен п. 4.

4. Неопределенность выбора весовых коэффициентов. Для дальнейшей работы с неопределенными весовыми коэффициентами воспользуемся результатами теории моделирования неопределенности выбора конкретного вектора весовых коэффициентов [7]. ЛПР обычно обладает ограниченной информацией I о весовых коэффициентах, которая определяет не один вектор весовых коэффициентов ш = (ш\, ...,ши), а некоторое множество, например

Учет данной информации, налагающей определенные ограничения на весовые коэффициенты, позволяет сформировать более узкое множество допустимых векторов весовых коэффициентов, содержащее меньшее число элементов. Рассмотрим отдельно случаи, когда исследователь располагает (не располагает) информацией I о весовых коэффициентах, уточняющей их возможные значения.

1. Пусть I = 0. Конкретизируем описанную выше модель задания весовых коэффициентов, предположив, что каждый из них измеряется с точностью до конечного шага Н = 1/в, определяемого натуральным числом в > 1. Иными словами, предполагается, что весовые коэффициенты могут принимать только дискретные значения

N

(12)

4. Из цепочки равенств

тах х(х, ур) = х(хр ,ур) = тт х(хр ,у),

(13)

Тогда множество всех возможных векторов весовых коэффициентов

( N

Ш(N, в) = \ „(1) = („[1),..., „$), „(О е „(в),^„<1) = 1,1 е Ь(М, в)

\ 2=1 )

где Ь^, в) = {1,..., К^, в)} есть множество возможных значений индекса I, оно является конечным множеством, содержащим число элементов К(N,3), равное

2. Теперь рассмотрим случай, когда I = 0. В реальных ситуациях ЛПР, как правило, располагает некоторой дополнительной информацией о весовых коэффициентах, но она часто не имеет числового характера и выражается лишь чисто сравнительными утверждениями. Будем предполагать, что эта нечисловая информация может быть представлена в виде системы равенств и неравенств

I = {„г > „в\„и = „V;...}. (14)

Назовем I ординальной или порядковой информацией. Помимо нее исследователь может иметь и неточную информацию о числовых значениях некоторых весовых коэффициентов, выражающуюся в виде системы неравенств, указывающих возможные диапазоны [щ] б*], г = 1, N, варьирования весовых коэффициентов, где 0 ^ а* ^ 6* ^ 1:

I = {а* < < Ьг, г = 1, Щ. (15)

Назовем I интервальной информацией. Объединяя системы неравенств (14) и (15), получаем нечисловую и неточную информацию

1 = 11)1 (16)

При этом возможно, что не все весовые коэффициенты входят в какое-либо равенство или неравенство из объединенной системы (16), потому далее будем говорить о нечисловой (ординальной), неточной (интервальной) и неполной информации (ННН-информации) I.

Посмотрим теперь, как может быть учтена ННН-информация в рассмотрении дискретной модели задания весовых коэффициентов. Учет дополнительной информации, налагающей определенные ограничения на весовые коэффициенты, позволяет сформировать более узкое множество допустимых векторов весовых коэффициентов Ш N, в; I) С Ш N, в), содержащее меньшее число элементов К N, в; I) < К N, в):

N

Ш N в; I) = {„(1) = („1), ...,„$), „Р е „(в),^„Р = 1,1 е Ь(^ в; I)},

2=1

состоящее из тех векторов, которые входят в Ш(^ в) и удовлетворяют системе всех равенств и неравенств, определяемых ННН-информацией.

Этап выбора весовых коэффициентов в МЗН с учетом риска. Согласно [8], в зависимости от отношения к риску людей можно разделить на следующие группы:

1) противники риска (люди, боящиеся риска и отвергающие его);

2) нейтралы (люди, нейтрально относящиеся к риску);

3) любители риска.

В экономике считается, что большинство людей относятся к противникам риска. На вопрос о том, как фактор неопределенности влияет на поведение людей, экономист обычно отвечает: «Люди не любят рисковать и готовы заплатить деньги за то, чтобы избежать бремя риска» [8, с. 6]. Однако возникают ситуации, когда риск просто необходим. В экономической практике установлено, что необходимая доля риска является необходимым условием получения дохода. Более того, чем выше величина риска, тем больше получаемый доход. Как же правильно выбрать вектор весовых коэффициентов, располагая информацией о разделении людей по группам в зависимости от их отношения к риску? Учитывая вид функции х(х,у) (12), можно прийти к выводу:

1) для противников риска будет выполняться условие „2 > „i+N;

2) для нейтралов - условие „2 = „i+N;

3) для любителей риска - условие „2 < „i+N.

Таким образом, получаем информацию I*, налагающую дополнительные ограничения на весовые коэффициенты, что позволяет сформировать еще более узкое множество допустимых векторов весовых коэффициентов:

Ш(2^ в; ^Р) С Ш(2^ в; I) С Ш(2^ в), содержащее меньшее число элементов К(2N, в; ^Р) < К(2N, в; I) < К(2N, в):

2N

Ш (2N в; I, I*) = {„(1) = („11\ ..., „М), „р е „(и),^„Р = 1,1 е Ь(2^ в; I, I*)},

2=1

(17)

состоящее из тех векторов, которые входят в Ш(2N, в; I) и удовлетворяют системе всех равенств и неравенств, определяющих склонность (несклонность) ЛПР к риску. Сформировав множество (17), генерируем все допустимые наборы весовых коэффициентов („{1),..., „$). Выбирая поочередно каждый из полученных наборов весов, выявим степень их влияния на окончательную оценку, т. е. на х(х,у). Более подробно этот этап решения рассмотрим в п. 6.

5. Условия существования решения в МЗН. В результате решения задачи многокритериального выбора указываются некоторые подмножества Бв1Х и БвГУ. Бв1Х называют множеством выбираемых решений, а БвГУ - множеством выбираемых неопределенностей. Изначально они неизвестны, их строят на основе той или иной информации о задаче многокритериального выбора при неопределенности в результате осуществления определенных действий. Фундаментальным принципом многокритериального выбора является принцип Эджворта-Парето. Для его рассмотрения необходимо привести аксиому Парето и аксиому исключения [9]. Сформулируем их в рамках теории МЗН.

Аксиома Парето. Если при какой-либо фиксированной неопределенности у* е У (альтернативе х* е X) оценка одного из двух вариантов не хуже оценки второго, причем, по крайней мере, по одной из них - строго лучше, то первый вариант предпочтительней второго, т. е.

х', х" е Х,у* е У, ъ(х', у*) > Щх'', у*), г =1,...,Щ

Зк е{1,...,Щ : Рк (х', у*) > Рк (х'', у*) =х' Ух х'', (18)

у', у" е У,х* е X, Ъ(х* ,у') < Е (х* ,у”), г = !,...,М; Зк е{1,...,М} : Е(х*,у') < Гк(х*,у'') у' Уу у''.

Отметим, что при решении конкретных задач выбора отношения Ух, У у обычно полностью не известны, потому принятие ЛПР аксиомы Парето означает наличие некоторой информации об этом отношении. Такая информация дает возможность из пары вариантов х',х'' (у',у''), подчинающихся условию в левой части (18), (19), исключить второй вариант как «заведомо негодный».

В общем случае вариант, не выбираемый в некоторой паре, может оказаться выбранным из всего множества X. Однако при решении достаточно широкого класса задач можно считать выполненным следующее предположение.

Аксиома исключения. Вариант, не выбираемый в какой-либо паре, не должен оказаться среди выбранных и из исходного множества возможных вариантов, т. е.

Принятие сформулированных выше двух аксиом дает возможность установить принцип Эджворта-Парето [9], который также переформулируем применительно к рассматриваемой задаче.

Принцип Эджворта-Парето. При выполнении аксиомы Парето и аксиомы исключения имеют место включения

Согласно сформулированному принципу в случае, когда ЛПР в процессе принятия решений ведет себя «разумно», окончательный выбор следует осуществлять только в пределах множеств Парето Хр и Ур.

Теперь вернемся к теме сведения многокритериальной задачи к задаче с одним критерием. При решении МЗН (4) была использована функция полезности в виде

Как известно [9], применение линейной свертки берет свое начало в работе французского ученого Ж. Борда, предложившего в XVIII в. определенное правило голосования, названное впоследствии его именем. С тех пор ученые в том или ином виде использовали и продолжают использовать линейную свертку. Известно также, что применение линейной свертки возможно тогда, когда для бинарного отношения предпочтения ЛПР существует линейная функция полезности, обладающая тем свойством, что одно решение для ЛПР предпочтительнее другого в том и только в том случае, если значение указанной функции полезности на первом решении больше. Сформулируем данное предположение в виде двух аксиом.

Аксиома 2. Для асимметричного отношения предпочтения Ух на строго упорядоченном множестве X существует такой вектор и с неотрицательными компонентами, что Ух' ,х'' е X, У у* е У имеет место эквивалентность

х', х'' е X, х' Ух х'' х'' е SelX,

у',у'' е У, у' Уу у'' у'' /Бе1У.

SelX с XP, Бе1У с УР.

2Ы

X Ух х" (и,Е(х',у*)) > {и,Е(х",у*)),

где угловые скобки обозначают скалярное прозведение векторов.

Аксиома 3. Для асимметричного отношения предпочтения Уу на строго упорядоченном множестве У существует такой вектор и с неотрицательными компонентами, что Уу1, у" € У, Ух* € X имеет место эквивалентность

У уу у" ^ (и, Е(х*,У)) < {и, Е(х*,у")),

где угловые скобки обозначают скалярное прозведение векторов.

Также необходимо отметить, что способ решения, основанный на применении линейной свертки критериев, можно считать правомерным лишь в том случае, когда будет выполнена следующая теорема [4], указанная здесь в терминах теории МЗН.

Теорема 1. Будем считать выполненными аксиому Парето и аксиому исключения. Предположим, что множество допустимых X и множество неопределенных факторов У представляют собой непустые выпуклые подмножества векторного пространства Еп и Ет, а векторная функция Е = Е1,..., Е2% (покомпонентно) вогнута на X и (покомпонентно) выпукла на У. Тогда имеют место включения

2%

Бв1Х с I 1а^шахУ^ UiЕi(х,у), (20)

ы i=l

2%

БвГУ с I 1а^штУ^и,,Е,,(х,у), (21)

^ у^у ^

Ы i=1

где объединение осуществляется по всем векторам и = (и1,... ,и2%).

Необходимо отметить, что все предположения теоремы 1 являются существенными, т. е. при отказе от хотя бы одной из двух упомянутых аксиом или же при отсутствии свойств выпуклости множеств X, У (или же вогнутости (выпуклости) компонент векторной функции Е) включения (20), (21) могут нарушаться. Приведем здесь теорему, которая обобщит условия выпуклости и вогнутости для целевой функции х(х,у).

Теорема 2. Если функции Е.\, i = 1, 2К, вогнуты наХ (выпуклы наУ), то функция

2%

х(х,у) = 53 и^(х,у)

i=1

покомпонентно вогнута на X (выпукла на У) при условии, что щ ^ 0, г = 1, 2М. Вернемся ко второму этапу нахождения седловой точки по Парето МЗН (4).

6. Гарантированное решение МЗН. Согласно принципу выбора весовых коэффициентов [см. п. 4], с учетом отношения ЛПР к риску были получены все допустимые наборы весовых коэффициентов и= (и(\ ..., и2%). Каждому из таких наборов соответствует значение функции х(х,у) по формуле (12). Решая МЗН (4) с помощью (13), получаем некоторое множество седловых точек, каждая из которых отвечает определенному набору весовых коэффициентов:

Е = {(х2р,у£>)|, х2р € Xp,уР € Ур, У1 € Ь(2Ы, э; 1,1*),

Е(М, э; 1,1* ) = {1,..., К(2М, э; I, I*)}}. (22)

Следует отметить, что дальнейшее решение МЗН (4) будет происходить в пределах множеств Парето X р и Yp, что соответствует фундаментальному принципу многокритериального выбора Эджворта-Парето. Зададимся вопросом, какое из решений множества (22) следует выбрать? Каждое из них имеет K(2N, s; I,I*) (по количеству наборов случайных весов) значений функции х(хр, Ур). Заметим, что, выбирая и используя

какое-либо решение xP) G R, ЛПР «гарантирует себе» значение критерия minx(xp,y).

yeY

Тем самым можем найти «наихудшие» из неопределенностей:

У{и*) = argmin Х(Г )(xp) ,у), (23)

Vl, l* G L(2N, s; I, I*), L(2N, s; I,I*) = {1,...,K(2N, s; I, I*)}, где l - индекс решения xp, l* - номер набора случайных весов, при этом

N

Х(Г)(х{р ,у) = ^2\ш(1 )fi(xip),y) - uNjl^iXp),y)}. (24)

i=1

Получаем, что количество таких «наихудших» неопределенностей будет K2. Каждой из них соответствует значение

х{п{хр),у{11«))=х'1и1у (25)

В итоге, чтобы получить наилучшее решение xp) G Хр, найдем математическое ожидание функции Х для каждого из таких решений:

(Е(х(хрУ))) = ^ (26)

l*£L

Решением МЗН (4) будет то х(р), в котором ожидаемое значение функции х будет максимальным. Обозначим его х = xp). Для полученного решения х имеем К значений

функции полезности, полученных при соответствующих величинах вектора весов и значениях «наихудших» неопределенностей. Следуя аксиоме 3, из K «наихудших» неопределенностей выберем то У(ц*) G l*) G Yp, в котором функция полезности по данному решению х минимальна. Обозначим его у = у (и* у

Гарантированный исход и гарантированный риск задачи определяются как f р = fix, у) и Фр = Ф(ж, у) соответственно.

7. N -критериальная линейно-квадратичная задача при неопределенности. Рассмотрим МЗН (1), в которой множества X и Y представляют собой непустые выпуклые подмножества векторного пространства X С Rn и Y С Rm соответственно. Каждая из компонент fi (x, у) векторного критерия f (x, у) представляет собой линейноквадратичную функцию

fi(x, y) = x'AiX + 2x'Biy + y'Ciy + 2aix + 2cCiy + di, i G N. (27)

В (27) постоянные n x n-матрицы Ai и m x m-матрицы Ci симметричны; прямоугольные n x m-матрицы Bi также постоянны; n-вектора ai и m-вектора ci, а также скалярные величины di постоянны; штрих сверху означает операцию транспонирования. Итак, рассматриваем МЗН

(X,Y,f (x, у) - (27), у), (28)

где компоненты /'(х, у), г € М, векторного критерия ](х, у) имеют вид (27). Необходимо получить явный вид гарантированного решения данной задачи. Согласно п. 3, каждый этап нахождения седловой точки задачи (28) раесмотрим отдельно.

Построение функции риска для г-го критерия (этап 1). Далее для постоянной матрицы А < 0 (> 0, ^ 0, ^ 0) означает, что квадратичная форма х'Ах отрицательно (положительно, неположительно, неотрицательно) определенная. Согласно лемме [1, с. 178], функция риска Ф'(х,у) по г-му критерию /'(х,у) примет вид

Ф'(х,у) = -[х'А'х + 2х' Б'у + у'Б'А-1Б'у + 2а'х + 2а'А-1Б'у + а'А-1а'}, (29)

если в (27) все А' < 0, г € N.

Построение гарантированного решения (этапы 2 и 3). Рассмотрим задачу (28), которая с учетом (27) и (29) примет вид

(X, У, {х'А'х + 2хБгу + у'С'у + 2а'х + 2с'у + ^,

х'А'х + 2х'Бгу + у'Б1'А- 1Б'у + 2а'х + 2а!'А- 1Б'у + а'А- , у).

Учитывая п. 4, генерируем все допустимые наборы весовых коэффициентов ш(1) =

(и{1\ ..., ^2%) из множества Ж (2М, в; 1,1*). Согласно (12), формируем

N

х(х, у) =^и1)Мх,у) - и%]+'Ф'(х,у)}

'=1

для каждого I* € Ь(2М,в; 1,1*),Ь(2М, в; 1,1*) = {1,...,К(2М, в; 1,1*)}. По лемме [1, с. 179] при выполнении условия

А' < 0 (30)

х(х, у) примет вид

х(х, у) = х'Ашх + 2х'Бшу + у'Сшу + 2а!шх + 2с'шу + 3,и, (31)

где

N

А }Аг,

'=1

N

Б = 53к'г) + }Б',

'=1

N

сш = ^()С' + Б'А-1Б'},

'=1

N

аш = ^

'=1

N

С“ = ^2^'1)с' + ^i+N Б' А-1а'}

'=1

і=1

Уи(1) Є Ш(2М,в; ї,ї*).

Справедлива следующая теорема:

Теорема 3. Пусть выполнено требование (30), тогда для каждого 2К-вектора ш(1) Є Ш(2М,в; 1,1*) такого, что

N

Ош =^і41)Сі + ^В[Л-г1Бі] > 0, (32)

і=1

существует седловая точка (хР,уР) функции х(х,у) следующего вида:

хР = —Л-1{Вш [Сш — В'шЛ-1ви] 1(В'шЛ-1аш — сш )+аш К (33)

уР = [Сш — ВШ Л-1Вш] 1(В'ш Л-1аш — Сш ). (34)

Доказательство. Седловая точка (хР ,уР) скалярной функции х(х,у) из (31) определяется цепочкой равенств (13), и поэтому достаточными условиями ее существования будут

^ ^—“1ж-р = 2Ашхр + 2 Вшур + 2аш = 0„, (35)

= 2В' хр + 2Сшур + 2сш = 0т, (36)

ду

дX(x, ур)

|хр = 2ЛШ < 0, (37)

2 \УР = 2СШ > 0. (38)

дх2 'хр ш

дХ(хР ,у)

ду

Требование (37) будет выполнено в силу (30). Условие (38) справедливо в силу (32). Решаем систему из двух векторных неоднородных линейных уравнений (35), (36) с двумя неизвестными хр и ур. Выражая хр из (35), получаем

хр = —А-1(ВШ ур + аш). (39)

Подставляя (39) в (36), находим

ур = [Сш — В'ш А-1ви ] 1(Вш А-1аш — сш). (40)

Наконец, используя вид ур (40), из (39) выводим (33).

Используя теорему 3 для каждого набора случайных весов, получим К(2Н, в; I, I*)

седловых точек МЗН (28), которые имеют вид (33), (34). Решая последовательно

(23)—(26), придем к наилучшему решению этой задачи.

8. Заключение. В настоящей статье рассмотрено обобщение метода решения МЗН, построенного по критерию минимаксного сожаления, для случая учета нечисловой, неточной, неполной информации о весовых коэффициентах. Понятие гарантированного решения основывается здесь на сочетании концепций векторной оптимальности и соответствующей модификации понятия седловой точки. Оно определяется в виде пары: альтернатива и гарантия-исход, который обеспечивается ЛПР выбором такой альтернативы. Выявлены условия, при которых данное гарантированное решение существует. Учитывая информацию о предпочтениях ЛПР и его отношении к риску, можно повысить качество и обоснованность принимаемых решений в сложных системах.

Автор благодарит В. В. Захарова и В. Д. Ногина за детальное обсуждение материала статьи и полезные замечания.

Литература

1. Жуковский В. И., Салуквадзе М. Е. Риски и исходы в многокритериальных задачах управления. М.; Тбилиси: Интелекти, 2004. 358 с.

2. Savage L. Y. The theory of statistical decision // J. Amer. Stat. Association. 1951. N 46. P. 55—67.

3. Жуковский В. И., Жуковская Л. В. Риск в многокритериальных и конфликтных системах при неопределенности. М.: Эдиториал УРСС, 2004. 265 с.

4. Ногин В. Д. Границы применимости распространенных методов скаляризации при решении задач многокритериального выбора // Методы возмущений в гомологической алгебре и динамика систем: межвуз. сб. науч. трудов. Саранск: Изд-во Мордов. гос. ун-та, 2004. С. 59—68.

5. Ногин В. Д. Принятие решений в многокритериальной среде: количественный подход. Изд. 2-е, испр. и доп. М.: Физматлит, 2005. 176 с.

6. Вилкас Э. Й. Оптимальность в играх и решениях. М.: Наука, 1990. 256 с.

7. Хованов Н. В. Анализ и синтез показателей при информационном дефиците. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 1996. 196 с.

8. Цветкова Е. В., Арлюкова И. О. Риски в экономической деятельности. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ин-та внешнеэкономических связей, экономики и права, 2002. 64 с.

9. Ногин В. Д. Проблема сужения множества Парето: подходы к решению // Искусственный интеллект и принятие решений. 2008. № 1. С. 98—112.

Статья рекомендована к печати проф. Л. А. Петросяном.

Статья принята к печати 28 мая 2009 г.