Разрешимость задачи динамического синтеза Текст научной статьи по специальности «Математика»

ствлять планирование денежных потоков, в результате чего экономятся средства, направляемые на непредвиденные затраты. Такая экономия может составлять до 50% от общей суммы затрат как на этапе разработки, так и на этапе использования.

2) поскольку данная методика составлена в соответствии с украинской нормативной базой, ее использование существенно упрощает ведение налогового, бухгалтерского и управленческого учета. Это приводит к экономии учетного времени до 100% за счет уменьшения (или полного исключения) дублирования учетных операций в управленческом, налоговом и бухгалтерском учете.

Литература: 1. Бланк И.А. Инвестиционный менеджмент . К.: Эльга-Н, Ника-Центр, 2001. 448с. 2. Методика визначення економічної ефективності витрат на наукові дослідження і розробки та їх впровадження у виробництво, затв. Мінекономіки та європейської інтеграції № 2і8 / 446 від 25.09.2001. 3. Макарова М.В. Електронна комерція: Посібник для студентів вищих навчальних закладів. К.: ВЦ “Академія”, 2003. 272с. 4.

Царев В.В., Кантарович А.А. Электронная коммерция. СПб: Питер, 2002. 320с. 5. Типовые положения по планированию, учету и калькулированию себестоимости продукции (работ, услуг) в промышленности, утв. КМУ от 02.02.2001г. № 47 с изменениями и дополнениями. 6. Положения (стандарты) бухучета 9 “Запасы”, утв. Минфином Украины от 20.10.1999 № 246 с изменениями и дополнениями.

Поступила в редколлегию 27.06.2005

Рецензент: д-р эконом. наук, проф. Хохлов Н.П.

Гришко Светлана Валерьевна, канд. эконом. наук, доцент кафедры экономической кибернетики ХНУ-РЭ. Научные интересы: экономика предприятия, оценка экономической эффективности, электронная коммерция, логистика. Увлечения: рок и игра в бисер.Ад-рес: Украина, 61166, Харьков, пр.Ленина, 14.

Новицкая Екатерина Евгеньевна, студентка гр.ИСПР-01-1 Харьковского национального университета радиоэлектроники. Научные интересы: интернет-технологии. Увлечения: дизайн интерьеров, флористика, спортивные танцы.Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр.Ленина,14.

УДК 618.514.01:517.977.5

РАЗРЕШИМОСТЬ ЗАДАЧИ ДИНАМИЧЕСКОГО СИНТЕЗА

РАДИЕВСКИЙА. Е.________________________

Из общей проблематики разрешимости задачи динамического синтеза в классе задачи аналитического конструирования оптимальных регуляторов исследуются следующие проблемы: существования и единственности решения, существования непрерывного продолжения в область насыщения и принцип реализации синтезированного алгоритма управления.

1. Введение

В общей проблематике разрешимости задачи динамического синтеза в классе задачи аналитического конструирования оптимальных регуляторов (АКОР) определяющими являются: существование и единственность решения [1], существование непрерывного продолжения в область насыщения [2] и принцип реализации синтезированного алгоритма управления (АУ) [3]. Положение, сложившееся в настоящее время в теории АКОР, позволяет утверждать, что динамические свойства систем управления (СУ), синтезированных в данном классе задач, должны оцениваться в соответствии со следующей иерархической последовательностью [4]: оптимизируемый критерий качества ^ уравнения состояния, полученные из условия экстремума оптимизируемого критерия качества ^ переходные процессы, являющиеся решениями уравнений состояния для частных граничных условий. Оптимизируемый критерий качества отражает глобальные, а переходные процессы—локальные свойства исходной системы. Поэтому при исследовании первой проблемы из общей проблематики разрешимости исходной задачи проблема существования решения должна исследоваться на верхней, а единственность решения — на нижней ступени приведенной выше

иерархической подчиненности. Проблема существования нерерывного продолжения в область насыщения актуальна при наличии ограничения на область допустимых управлений и ее решение определяется структурой исходных пространств рассматриваемой задачи [2]. В [3] показано, что даже если АУ синтезирован как функция времени, его реализация должна осуществляться в виде обратной связи по фазовой координате.

Целью настоящей работы является исследование для рассматриваемого класса задач динамического синтеза проблем существования и единственности решения, существования непрерывного продолжения в область насыщения, а также принцип реализации синтезированного АУ .

2. Постановка и особенности задачи

Задача динамического синтеза в классе задачи АКОР, может быть сформулирована следующим образом. На движениях обьекта управления (ОУ) dx

— = F(x, u, p, t) (1)

dt

оптимизируется критерий качества ti

J(u) =j W(x,u, q, t)dt to

при наличии ограничения

(2)

(x,u,p,q, t) є E (3)

и граничных условий

(x,to) Є Po,(x,ti) є Pi, (4)

где x = x(t) є En -состояние; u = u(t) є Er - управление; e — область определения задачи; En,Er -некоторые пространства; p є Ep = (p : |p| < pmax) — параметр ОУ (1), q є Eq = (q: |q| < qmax) — параметр критерия качества (2), pmax = const > 0 ,

151

РИ, 2005, № 3

qmax = const > 0 — заданные числа; t є [t0,ti] c R1 — время, [t о, ti ] — интервал управления, R1 — числовая прямая; P; — многообразия, і є [0,1].

Главной особенностью динамического синтеза в классе задачи АКОР является необходимость выбора параметра q критерия качества (2) [5]. Последнее обуславливается тем, что функционирование СУ, синтезированных в классе задачи АКОР, оценивается посредством “вторичных” показателей качества [3], которые априори не могут быть учтены в исходной структуре критерия качества (2). Поэтому целесообразной является следующая процедура динамического синтеза в классе задачи АКОР [6]:

— определение структуры управляющего устройства (УУ) при заданной структуре ОУ (1), критерия качества (2), ограничения (3) и граничных условий (4) (структурный синтез);

— в рамках синтезированного УУ выбор параметра q критерия качества (2), при значении которого движение синтезированной СУ при отработке требуемого задания удовлетворяет наперед заданным показателям качества (параметрический синтез).

3. Существование решения

Пусть E = Cn(t0,t1)хЦо(t0,t1)xEp xEq хR1, где Cn (t0, t1) -пространство n -мерных непрерывных на [t0,11 ] функций x(t) c нормой||x|| = max|x(t)|, Vt є [t0, t1]; Цо (t0, t1) — пространство г -мерных существенно ограниченных на [^ДД измеримых функций u(t) с нормой ||u|| = vrai sup|u(t)| , Vt є [t0,t1]; x(t0) = x0, x(t1) = 0; t1 — конечный, не фиксированный моментом времени.

В задаче (1)-(4) под управляемым процессом понимается тройка(x,u,[t0,H]). Пара (x,u)является допустимой в задаче (1)-(4), если она удовлетворяет ограничениям (2)-(4). Решением задачи (1)-(4)

является тройка (x0,u0,[t0,t1]), для которой найдется такое число є > 0 , что для любого управляемого процесса, для которого

0 0

x - x <е u - u

имеет место неравенство

J(u) > J(u0) [1].

Пусть

u Є U = (u: u < umax) ,

(5)

Vc є R1 и граничной точки u0 є Lc существует последовательность (uk) єLc, которая сходится к точке u0 . В силу условия (5) точка u0 є U. Так как J(uk) < c и функционал J(u) полунепрерывен снизу, в точкеu° J(u0) < limJ(uk) < c , т.е. u0 є Lc.

Поэтому Lc — замкнутое множество. Достаточность. Пусть множество Lc Vc є R1 замкнуто. Для произвольного є > 0 , точки u0 є U и последовательности (uk) є U , которая сходится к u0 ,

lim J(uk) = c = lim Jkm .Тогда J(uk) < c + є , т.е.

k—m—

ukm є Lc(c + є) для всех достаточно больших km . Поэтому u0 є Lc(c + є), т.е. J(u) < c +є и

J(u) < c = Hm J(uk). Лемма доказана. k—

Теорема. Пусть: 1) множествоU c L^(t0,t1) является компактным; 2) функционал (2) полунепрерывен снизу. Тогда в задаче ( 1) - (4) существует

тройка (x0,u0,[t0,t1]).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Множество U с L^ (t0, С) функций u(t), удовлетворяющих ограничению (5) в силу его выпуклости и замкнутости [7] является компактным [8]. Принимая во внимание доказанную выше лемму, следует, что в задаче (1)-(4) существует тройка (x0,u0,[t0,t1]) [9]. Теорема доказана.

4. Существование непрерывного продолжения в область насыщения

Пусть x = (xb....,xn) -матрица-столбец n-мерного вектора фазовых координат, любая компонента которого xi,iє [1,n] может состоять как из одной фазовой координаты, так и представлять собой вектор; u = (щur) -матрица-столбец г -мерного вектора управляющих воздействий, n > г ;

W(x,u,q, t) = xTRx + uTMu, R = diagrilj1,

M = diagmi ||Г; F(x, u, p, t) = Fxx + Fuu .

где umax = const > 0 — заданное число, intU ^0 .

Лемма. Необходимым и достаточным условием полунепрерывности снизу функционала (2) на множестве Uявляется замкнутость множеств Лебега

Lc = (u: u є U, J(u) < c, Vc є R1).

АУ получим в виде [10]

u(t) = \

umax при L(t) — umax L(t) при _ umax ^ L(t) ^ umax _ umax при L(t) — _umax

где L(t) = M 1H(t)Rx(t0), H(t)-nXn -мерная матрица.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Необходимость. Пусть J(u) полунепрерывен снизу на множестве U. Тогда

152

РИ, 2005, № 3

для

области

насыщения

7. Заключение

Тогда

dx

dt

dx

dt

Fxx + Fusignumax , и ДЛЯ ОТКРЫТОЙ -Fxx + FuM 1H(t)Rx(to). Принимая во внима-

ние структуру пространств Cn (t0, t1) и L^ (t0, t1),

видно, что в задаче (1)-(4) существует непрерывное продолжение в область насыщения [2].

Для задачи динамического синтеза в классе задачи АКОР проанализированы следующие проблемы разрешимости задачи: существование и единственность решения, существование непрерывного продолжения в область насыщения, а также принцип реализации синтезированного АУ. Проведенное исследование для рассматриваемого класса задач позволило получить следующие новые результаты, имеющие научное и прикладное значение:

5. Единственность решения

Реализация процедуры параметрического синтеза в исследуемой СУ связана со следующими двумя факторами. Необходимым условием получения в синтезированной СУ требуемых локальных показателей качества является устойчивость ее движения. Процедура получения требуемых локальных показателей качества переходного процесса является единственной в том смысле, что ни один из них не может быть получен в отрыве от других. Поэтому функционирование синтезированной СУ обычно оценивается одним из показателей качества при наличии ограничений на значениия остальных.

Пусть x є Q = (x : |x| < xmax), где xmax = const > 0 -

заданное число, int Q ф & . Исходя из концепции двухэтапности реализации параметрического синтеза (построение желаемого процесса и выбор параметра q критерия качества (2) из условия его

воспроизведения) [10] желаемый процесс может быть задан в виде системы дифференциальных

уравнений

dxж

dt

= A ж x , где матрица Aж

является

устойчивой, характеристический полином которой является функцией среднегеометрического корня

Q 0 [11]. Тогда на множестве Q может быть задано

множество (Q; (q 0)) непересекающихся множеств, каждое из которых удовлетворяет конкретному значению среднегеометрического корня Q 0, а следовательно, и конкретному значению локального показателя качества. Реализуя процедуру параметрического синтеза [ 10], получим закон изменения

параметра q = q(rj, mj,i є [1, n], j є [1, г]) критерия качества (2).

6. Принцип реализации синтезированного алгоритма управления

Пусть x5K(t0) = x(t0) , xж(t1) = x(tj) . Тогда

xж(t) = eA%ж(t0) или xж(t0) = (eA t)(t) .

Поэтому при x(t) = xж (t) для открытой области соответственно получим

dx

dt

Fx + FMH(t)R| eA>Kt

-1

x

— для задания множества допустимых управлений в виде собственного выпуклого тела доказан факт существования решения, а также показано, что найденное решение является единственным;

—для рассматриваемых исходных пространств (по фазовой координате и управлению ) доказано, что существувет непрерывное продолжение в область насыщения;

— показано, что применяемая процедура решения задачи АКОР позволяет реализовать синтезированный АУ в форме обратной связи по фазовой координате.

Практическая значимость результатов исследования определяется возможностью их использования в качестве математического обеспечения при проектировании СУ для рассматриваемого класса задач динамического синтеза.

Литература: 1. Иоффе А.Д., Тихомиров В.Н. Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1974. 480с. 2. Неймарк Ю.И. Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний.М.:Наука,1972.472с 3. Летов А.М. Динамика полета и уравление.М.:Наука, 1969. 360с 4. Колесников А.А. Синергетическая теория управления (инварианты, оптимизация, синтез).Таганрог:ТРТУ, М.: Энергоатомиздат, 1994. 344с. 5. Справочник по теории автоматического управления / Под ред. А. А. Красовского. М.: Наука, 1987.712с. 6. Ли Э.Б., Маркус Л. Основы теории оптимального управления: Пер. с англ. М.: Наука, 1972. 576с. 7. Гирсанов И.В. Лекции по математической теории экстремальных задач. М.: Изд-во МГУ, 1970.117с. 8. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1968.496с. 9. Коша А.. Вариационное исчисление. М.: Высшая школа,1983.2796с. 10. Радиевский

A. Е. Динамический синтез в общей проблематике современной теории управления // Радиоэлектроника и информатика. 2004. №3. С.70-75. 11. Бесекерский

B. А.,Иопов Е.П. Теория систем автоматического регулирования. М.: Наука, 1972.768с.

Поступила в редколлегию 21.06.2005

Рецензент: д-р техн.наук, проф. Кузнецов Б.И.

Радиевский Анатолий Евгеньевич, зав. лабораторией Харьковского НИИ комплексной автоматизации (ХИКА) Минтопэнерго Украины. Научные интересы: математическая теория экстремальных задач, динамические задачи многокритериальной оптимизации. Адрес: Украина, 61003, Харьков, пер. Кузнечный,2, тел. 7313567, 7314180.

РИ, 2005, № 3

153