Задача динамического синтеза при векторном управлении Текст научной статьи по специальности «Математика»

и имеющей форму полуэллипса:

Q = fx,y)|4(x - 0,5)2 + у2 < 1, 0 < у < і}.

Краевое условие для температуры (4) задавалось в виде To(x, 0) = 1 - |2х -і| и m(x, y) = 0 на остальных участках границы области Q. Полученные приближенные решения сравнивались с решениями, полученными в [5] с помощью метода фиктивных областей. Результаты очень хорошо согласуются.

Литература: 1. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1987. 840 с. 2. СидоровМ.В. Приближенный метод расчета многосвязных вязких течений // Радиоэлектроника и информатика. 2003. № 1. С. 42-44.

3. РвачевВ.Л. Теория R-функций и некоторые ее приложения. К.: Наук. думка, 1982. 552 с. 4. Сидоров М.В. Применение метода R-функций к расчету течения в квадратной каверне при малом числе Рейнольдса // Радиоэлектроника и информатика. 2002. № 4. С. 54-56. 5. Вабищевич П.Н. Метод фиктивных областей в математической физике. М.: Изд-во МГУ, 1991. 156 с.

Поступила в редколлегию 21.10.2003

Рецензент: д-р физ.-мат. наук, проф. Колосов А.И.

Сидоров Максим Викторович, ассистент кафедры прикладной математики ХНУРЭ. Научные интересы: математическое моделирование, математическая физика, теория R-функций и ее приложения. Увлечения и хобби: история культуры. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина. 14, тел. (0572) 702-14-36.

УДК 517.977.5

ЗАДАЧА ДИНАМИЧЕСКОГО СИНТЕЗА ПРИ ВЕКТОРНОМ УПРАВЛЕНИИ

РАДИЕВСКИЙА. Е.________________________

Рассматривается процедура разработки математического обеспечения задачи динамического синтеза при векторном управлении. Сформулированная задача исследуется на основе положений одного из разделов современной теории экстремальных задач — формализме Дубовицкого- Милютина.

1. Введение

Современный этап развития научно-технического прогресса в области проектирования современных и перспективных систем управления (СУ) технологическими процессами и подвижными объектами базируется на положениях прикладной современной теории автоматического управления [1]. Использование ее положений позволяет учитывать специфичность процедуры проектирования, связанную с применением средств вычислительной техники в структуре управляющих устройств СУ, а также наличия информационных и энергетических закономерностей и ограничений.

2. Постановка и особенности задачи

На движениях объекта управления (ОУ)

^ = F(x,u,w,t)

dt

нео бход имо определить алгоритм управления (АУ), доставляющий оптимум векторному критерию качества

и граничных условий x(t0) = х0, х(^ ) = 0 , где х = x(t) є Cn(t0,tJ - состояние (Cn(t0,tJ-пространство n -мерных непрерывных на отрезке [t0, t1 ] функций x(t) c нормой

И = max|x(t)|, Vt є [t0,tj е R1);

u = u(t)є ЦД^Ді)-управёение (ЦД^Ді)-пр°-странство г- мерных существенно ограниченных на

отрезке [t0, tj измеримых функций u(t) с нормой

Н = vraisup|u(t)|, Vt є [t0,tj е R1); w=Wt) єEw -возмущение (Ew — пространство элементарных случайных функций вида [2] w(t) = c(t)A., c(t) — координатная функция, X — случайная величина, принадлежащая счетному множеству); f0(x,u) — функционал; J^u^i є [1, m] — интегральный квадратичный функционал, a i > 0,i є [1, ml — весовые

m

коэффициенты, причем ^ai = 1; xmax, umax — за-

i=1

данные числа; t є [t 0, 11 ] c R1 — время; [t 0, 11 ]—

интервал управления; R1 — числовая прямая.

3. Особенности задания векторного критерия качества

Предполагается, что m = n • Возможны три варианта соотношений между величинами n и г :

n = r; n > r (n - r = zj; n < r (r - n = z2).

J(u) = J(f<,(x,u)), (1)

который задается как некая функция произвольного множества (a ^(u))”^ локальных критериев качества при наличии ограничений

x Є Q = (x : \x\ < xmax) , (2)

u Є U = (u:|u| < umaJ (3)

Для первого варианта локальные критерии качества задаются в виде

t1i t1i / \

J|(4 = J Wlxi,ui)dt = I (xTR.xi + uTM|u>

t0i

,(4)

i є

[1,n];

0i

РИ, 2003, № 4

57

для второго варианта r локальных критериев каче -ства задаются в виде выражения (4), а остальные

Zj — в виде

L1p L1p

Jp(u) = J Wp(Xp)it = j (xpTRpXp)it;

0p

0p

для третьего варианта n локальных критериев качества задаются в виде выражения (4), а остальные z2 — в виде

L1q L1q

Jq(U) = J Wq(uq)dt = J(uTMqUq)lt

где Rj = diag|rj j1, M; = diag|im Rp = diag|r^ 1Z1 , Mq = diagmq|

r

1,

Z2

1 , т — транс-

понирование.

0q

oq

В [3] показано, что при сделанных предположениях векторный критерий качества (1) апостериори задается в виде

4 4

J(u) = J W(x,u)dt = j (xTRx + uTMu)dt

(5)

0

0

где R = diag|aiRj і , M = diag|aiMj 1.

4. Структура алгоритма управления

Пусть E = C^t0,tjxxR1 и (x0,u0) -решение сформулированной задачи. Множество Q функций x(t), удовлетворяющих ограничению (2), и множество U функций u(t), удовлетворяющих ограничению (3), являются компактными. Пусть int Q ^0 , int U ^0 . Если множество пар вариаций (x,u), удовлетворяющих под интегральному выражению функционала (5), принадлежит конусу убывания K0, то функционал f0 (х, й) є K0 получим в виде [4]

t1

f0 (x,u)=-} [WX (;0,;0 Iх+Wu (;0,;0) uldt

Здесь Wx (x°, u0 ), Wu (x0,u0) — производные по x и u от W(x,u), * — символ сопряжения.

Если Kj — конус возможных направлений в точке u0 и функционал f. (й) є K*, то ^ (й) = (0,f' (й)), где fj (u) є Lrc^(t0, t^ является опорным к множеству U в точке u0.

ПустьH1 ^ E множество пар вариаций (х, й), удовлетворяющих выражению

dx

dt

а H2

Fx(x°,u°,w)lx + F;(x0,u0,w),u, xt0)

E-х(^)= 0 ,

0, (6) (7)

где fx (x'0, u0, w ), FU(x0,u0,w) — производные по x и u от Fx, u,w) соответственно.

Тогда H1 и H2 — подпространства, а касательное пространство K2 = H1 n H2, K2 = H* + H2 [5]. Поэтому если функционал f2(x,u) є Hj*, то f2(x,u) = 0 , и если функционал f3(x,u) є H2, то fз (x, u) = (0, a), a є Rn, a є Rn , Rn — n-мерное евклидово пространство.

Если K4 — конус возможных направлений в точке x0 и функционал f4(x) є K2, то f4(x) = (0,f4(x)), где f4(x) Є CnXt0,t^ является опорным к множеству Q в точке x0.

Тогда уравнение Эйлера запишем в виде [6]

Zfi (X,U) = 0

i = 0

или, учитывая вид найденных выше функционалов, fi(x,u),i є [0,4]:

fj (u ) = J [w;(x0,u0)x + W; (x 0, u 0 ) u ]dt +f'4 (x).

(8)

Пусть [5]

d^

dt +^x’

(f;(x".u0.w)t 40=Wx(x0,u")

при ^tj = 0 . (9)

Подставив выражение (9) в первое слагаемое (8) и проведя необходимые преобразования с учетом (6) и (7), получим

f,'(u) =Ц- (Fu(x",u0))T 4О-

+ W;(x0,u0) ),u ]dt + f4(x).

Множества Q и U являются собственными выпуклыми телами. Опорные функционалы существуют только в крайних (экстремальных) точках этих множеств и равны f^u) = signumax ,

f4(x) = signxmax [5]. Для всех внутренних точек

множеств Q и U f 1 (u) = 0, f4 (x) = 0, а управляющее воздействие определяется выражением

- (f;(x\u ,w))T ио+w;(xV) = 0.

5. Структурный синтез

Пусть x = (х1,..,хД — матрица-столбец n-мерного вектора фазовых координат, любая компонента которого xi,i є [1,n] может состоять как из одной фазовой координаты, так и представлять собой вектор; u = (u1,..,uF — матрица-столбец r-мерного вектора управляющих воздействий;

t

0

58

РИ, 2003, № 4

f x1 x1 ^ xi max Л

x є Q = x : О ^ xmax =

V xn xn < x n max J

x

(p)=iPXitA+нсШО+

pi - A pi - A ^H2(p)Л + -^

f u1 Ы ^ ui max Л

u є U = u : 0 ^ u max =

V ur ur - urmax J

pi - A pi - A

или передаточную функцию

Xc(p)=x;(p)+x;(p)x;(p) +x;(p)x;(p)+x;(p),

где x;(p)=

p

pi - A

. x:(p) =

B

pi - A

Ximax,i Є [1,n], Uimaxal Є [1,Г] - 3аДаННЫе чисёа;

t0 = (t 01,...., 10n )—матрица-столбец n-мерного вектора времени; t1 = (tn, , t1n) — матрица-столбец

х&) = h; (p), X4 (p) = H2 (p), X5(p)=

c(p) pi - A

M \Ml ’..5 Mn ,

n-мерного вектора времени, каждая компонента которого tu ,i є [l, П является конечным, не фиксированным моментом времени. Если

-dx = Ax+Bu + w(t), (10)

dt

I — единичная матрица, p — независимая переменная изображения.

Проведя необходимые структурные преобразования [9], окончательный вид передаточной функции синтезированной СУ получим в виде

то АУ получим в виде [7]

Umax ПРИ L00 ^ Umax ,

(0 = < ^ (0 ПРИ - u max < ^ (0 < u max ,

- umax ПРИ L00 “ umax

u

Здесь X 0У( p) =

X^) = XO^^XУпч (p) B

где A = ||aij , B = ||bij — постоянные матрицы; Lc(t) = M _1B Т Z;(t)Rx(t0) +

+ |m-1B т Z:(w(t),t);

Zi(<)=~i exp(A T(t - 9)dl;

t0

Z2(w(00 = - J expA T(t - 0W0 dx =

t0

t

= -J exp(At - t))c(t )diA,

t0

Тогда для открытой области dx

(12)

передаточная функция ОУ

pi - A

(10); X Уупч (p) = X3(^) + X4 И + X6(^) + X) (p) -передаточная функция усилительно-преобразовательной части, X£(p) = —, X)(p) = .

B

B

dx

Если ~ - At)x + + АО’ (13)

то АУ получим в виде [7]

umax ПРИ LHC (0 ^ umax ’

^(0 ПРИ - u max < LHC W < u max ,

- u max ПРИ LA0 “ umax,

A0 =

где АО = ||aij (0)[ ’ A0 = ||bij(0)[ - матрицы, элементы которых непрерывно дифференцируемы на отрезке [t0,tj функции;

lhc (0 = м хвТ(OzCWMO+

(11)

— = Ax+BH;(t)x(t0)+

+bh2(0^ + 00x,

Здесь H;(0 = M_1BTZ00R ,

H2(t) = ^M-1BT Z2(w(t),t).

Применив преобразование Лапласа [8] к системе дифференциальных уравнений (СДУ) (11), получим

+|м-1B Т (0Z;(WtX0;

ZA0=-|At )А(Ат ;

t0

Z 2CM0 0=-j At )A (ОАт A

t0

t1

= — |^t ^_1(T )dxA, •

РИ, 2003, № 4

59

ф^) — фундаментальная матрица решений.

Тогда для открытой области

^ = А^ + B№r W^o) +

dt

+ B(t)H 2'(t)^ + -№, (14)

где Hj- (t) = M ‘B^t)ZH^(t)R,

H r(0=2m-‘B т (Щн-МЩ).

Применив преобразование Лапласа [10] к СДУ (14), получим

(р) =-p^ +-B^Hr(p)x(t„)+

pi - Ap) pi - Ap)

Bp)

ah-(p) ^+-

A)

pi - A(p) 2VF' pi - Ap)

или передаточную функцию

X “(p) = xr(p) + xh'(p)xh-( p)+

+ хнЧ^хн'Ы+XH‘W,

где Xl"(p) =

p

pi - A(p)

XH- (p) = HH- (p),

x;- (p)

B(p)

pi - A(p)'

X4(rt = HH'(p)'

X? (p)

c(p)

pi - A(p) •

Проведя необходимые структурные преобразования [11], окончательный вид передаточной функции синтезированной СУ получим в виде

х н- (p) = х ОУ (p)x "^(p), (15)

6. Выводы

Сформулирован стохастический вариант задачи динамического синтеза для объекта с векторным управлением и аддитивным возмущающим воздействием. На основе структурных особенностей множества допустимых управлений показано, что синтезированный АУ является функциональным, нелинейным, предельно-линейного типа. Решена задача структурного синтеза для линейного (стационарный и нестационарный ) ОУ. Получены выражения передаточных функций синтезированных СУ, являющиеся основой при разработке алгоритмического, программного и технического обеспечения.

Литература: 1. Справочник по теории автоматического управления / Под ред. А. А. Красовского. М.: Наука, 1987. 712с. 2. ВенцельЕ.С., ОвчаровЛ.А. Теория случайных процессов и ее инженерное приложение. М.: Наука, 1991. 384с. 3. Радиевский А.Е. Динамическая задача многокритериальной оптимизации // Радиоэлектроника и информатика. 2001. №4. С.52-54. 4. Радиевский А.Е. Аналитическое конструирование оптимальных регуляторов // Кибернетика и вычислительная техника. К.: Наук. думка, 1990. №85. С.62-66. 5. Гирсанов И. В. Лекции по математической теории экстремальных задач. М.: Изд-во МГУ, 1970. 117с. 6. Дубо-вицкий А.Я., Милютин А.А. Задачи на экстремум при наличии ограничений // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1965. 5. N3. С. 395453. 7. Радиевский А.Е. Динамический синтез для линейного объекта управления // Радиоэлектроника и информатика. 2002. №3. С.58-61. 8. Мартыненко В.С. Операционное исчисление. К.: Выща шк., 1990. 359с. 9. Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического регулирования. М.: Наука, 1972.768с. 10. Валеев К.Г. О решении и характеристических показателях решений некоторых линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами / / Прикладная математика и механика. 1960. 26. Вып.4. С.585-603. 11. Солодов А.В., Петров Ф.С. Линейные автоматические системы с переменными параметрами. М.: Машиностроение, 1971. 620с.

где х 0"(p)

B(p) pi - A(p)

исследуемого ОУ ( 13 );

передаточная функция

X уп, (p) = X- (p)+хн- (p)+XH- (p)+XH• (p)

—передаточная функция усилительно-преобразова-

тельной части,

Xf(p)

p

B(p),

XH- (p)

•( p) B(p).

Выражения (12) и (15) передаточных функций синтезированных СУ являются основой при разработке алгоритмического, программного и технического обеспечения.

Поступила в редколлегию 03.03.2003

Рецензент: д-р техн. наук, проф. Кузнецов Б.И.

Радиевский Анатолий Евгеньевич, заведующий лабораторией Харьковского НИИ комплексной автоматизации (ХИКА) Минтопэнерго Украины. Научные интересы: теория оптимального управления, динамические задачи многокритериальной оптимизации. Адрес: Украина, 61003, Харьков, пер. Кузнечный, 2, тел. 2087-32,20-86-34.

60

РИ, 2003, № 4