Интерполяционные процессы Эрмита-Фейера в единичном круге Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.51

Л. В. Шаталина, А. Г. Свистелышкова

ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ ЭРМИТА-ФЕЙЕРА В ЕДИНИЧНОМ КРУГЕ

Пусть АС - множество аналитических и единичном круге |z| < 1 и непрерывных в его замыкании функций с равномерной нормой

11/11= sup |/(z)|

гф|й1}

и обычным модулем непрерывности ю(/,б); M=\zkn\ - треугольная матрица узлов интерполирования, М e|z| = l}, к = 0,1,..., п -1, и = 1,2,...

Напомним, М называется правильной матрицей, если узлы каждой её п-й строки являются вершинами правильного «-угольника, вписанного в единичный круг.

Пусть [Н2п-\{М, f - последовательность многочленов Эрмита-Фейера степени пр- \,р > 2, интерполирующих функцию / в узлах zkn.

Обозначим через Q множество функций ю(5) типа модуля непрерывности, то есть непрерывных, полуаддитивных, неубывающих на полуоси [0;оо) функций таких, что м(()) = 0. Каждую функцию и(б)еQ назовем мажорантой.

Введём классы, заданные мажорантой:

АС(ю), со 6 Q, - класс функций / е АС, у которых ш(/,8) = О(со(б)),

АС*(ш),со е Q, - класс функций / е АС, у которых ш(/,8) = о(со(5)).

Известно [1], что для любой функции /е АС интерполяционный процесс Эрмита-Фейера, построенный по правильной матрице, сходится к ней равномерно внутри круга. С. М. Лозинский [2] доказал существование функции / е АС такой, что последовательность многочленов не сходится к функции / в точке z-1. Достаточным условием равномерной сходимости в замкнутом круге [1] является условие

lim (о\ /, —|1пл = 0. (1)

п->оо ^ п )

Если рассматривать функции из введённых классов ЛС(оа) или ДС*(ш), то для них условие (1) очевидно перепишется следующим образом:

lim cüf-|]пл = 0 (2)

\П)

или

lim caí— I In « <00. (3)

Будут ли условия (2) и (3) не только достаточными, но и необходимыми для этих классов?

В качестве M рассмотрим конкретную матрицу узлов интерполирования, составленную из корней л-й степени из (-1). ТЕОРЕМА 1. Пусть выполнено условие

Йшо)[-]|п«>0. (4)

П-МО \п)

Тогда существует функция

fe АС (а), для которой процесс Эрмита-Фейера расходится всюду на единичной окружности. Если выполнено условие

limcoí— |1пл = оо, (5)

П-»<Ю

то существует функция / еЛС'(со), для которой процесс Эрмита-Фейера неограниченно расходится всюду на единичной окружности.

Для произвольных правильных матриц с некоторым ограничением на распределение узлов найдена метрическая характеристика множества точек расходимости рассматриваемых процессов.

Определение. Говорят, что матрица узлов интерполирования М удовлетворяет условию), пишут М е(Вт), если для любого е, 0<е<1„ существуют числа ц = т, для которых можно указать

последовательность номеров {л, } такую, что для любого натурального ц существует натуральное V, для которых

V 1

е-£—>271, лу<пЦ,

и все узлы zk n , zk n , /<v, расстояние между которыми меньше

<

г.2', принадлежат множеству Вт, содержащему не более m дуг

окружности \г\ = 1, длиной меньше 2каждая.

Примером таких матриц могут служить матрицы корней л -й степени из любого комплексного числа.

ТЕОРЕМА 2. Пусть М е(Вт) - правильная матрица, и выполнено условие (4). Тогда существует функция / еЛС(со), для которой процесс Эрмита-Фейера расходится почти всюду на единичной окружности, то есть Н/(*)- Я2л-1 (М, /,г)| > 0, причём Шв|/(г)- Н2п Л(М,г) = 0.

ОО о

Если выполнено условие (5), то существует функция / е АС'(со), для которой процесс Эрмита-Фейера неограниченно расходится почти всюду

на единичной окружности, то есть lim |/(z)-//2n__|(A/,/,z)j = co, причём

П—>СО

lm\f(z)-H2n_,{Mj,z}=o.

rt-»oo

Сформулированные выше результаты ранее были получены для интерполяционного процесса Лагранжа [3]. Разработанный в [3] метод построения функций из класса или ДС*(ш), для которых процесс

Лагранжа, построенный по правильной матрице М е (Вт) (либо по матрице корней п-й степени из (-1)), расходится почти всюду (либо всюду) на единичной окружности, применим для исследования других интерполяционных процессов. Установлено, что многочлены Эрмита-Фейера можно представить как сумму интерполяционного многочлена, аналогичного многочлену Лагранжа и некоторого «добавочного» слагаемого. Получены удобные для дальнейших рассуждений оценки этого слагаемого, что позволило использовать уже известные факты для построения функций с нужными свойствами.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Смирнов В.И., Лебедев H.A. Конструктивная теория функций комплексного переменного. М.: Наука, 1964.

2. Лозинский С.М. Об интерполяционном процессе Fejer'a // ДАН СССР. 1939. Т. 24. С. 318-321.

3. Шаталина A.B. Расходимость интерполяционных процессов Лагранжа на единичной окружности. Саратов, 1990. 30 с. Деп.в ВИНИТИ 19.07.90, № 4060-В90.

УДК 517.95

В. А. Юрко

РЕШЕНИЕ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ СИСТЕМЫ БУССИНЕСКА НА ПОЛУОСИ МЕТОДОМ ОБРАТНОЙ СПЕКТРАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ*

Рассмотрим следующую краевую задачу: и, =1(2^ -£<„), Зу, =/(Зухг - 2иххх - 2иих), х>0, ?>(), (!) «|,=о="о(-0> ^=0 =уо (•*•)> «оС*).^^) е 1(0,оо), (2)

«|*=о =«1(0. "4^0= «г(0, Ч*=о=П(0. ул),=0=у2(0. (3)

Система (1) после исключения у(х,г) сводится к уравнению Буссинеска

Зи„ =ихххх +2(и1)хх.

'Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования РФ (проект Е02-1.0-186).