О приближении многозначного отображения полиномиальной полосой фиксированной ширины Текст научной статьи по специальности «Математика»

Затем берем общий вид функции Грина дифференциального оператора из [4], при этом учитываем знак старшей производной в выражении (2). Проводим соответствующие выкладки, учитывая краевые условия, которым удовлетворяет функция Г рина и следующие соотношения:

а

п р

JJr(*,r,--W=0 = Г—> (*А-1) = о, а ир а

]..)гшА)ы,...л\г__0 = -±т-г^\х,оА) = 0.

о о а "Р а

т

Таким образом, приходим к выражению (1).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Тихонов А. Н. О регуляризации некорректно поставленных задач // Докл. АН СССР. 1963. Т.153,№ 1.С. 49-52.

2. Хромова Г. В. О регуляризации интегральных уравнений первого рода с ядром Грина//Изв. вузов. Сер. Математика. 1972. № 8(123). С. 94 - 104.

3. Хромова Г. В. О модулях непрерывности неограниченных операторов и оптимальности методов приближенного решения уравнений первого рода // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2005. Вып. 7. С. 133 - 135.

4. Хромова Г. В. Об оценке погрешности метода регуляризации Тихонова для интегральных уравнений с ядром Грина // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. 1992. № 4. С. 22-27,

УДК 517.518.82

Е. В. Сорина

О ПРИБЛИЖЕНИИ МНОГОЗНАЧНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ ПОЛИНОМИАЛЬНОЙ ПОЛОСОЙ ФИКСИРОВАННОЙ ШИРИНЫ

1. Пусть N - натуральное число, Т - дискретная сетка вида Т = {?0 <t| <...<fv}, Ф(-)- дискретное многозначное отображение с образами в виде отрезков ф(?А)= [_У[ к\у2 к J, причём у2 к > У] к,Ук е [0: JV"].

Пусть далее р„(Л,г)= а0 + axt +... + ant" - алгебраический полином степени не выше п с вектором коэффициентов А = ,...,ая)е а IIn(j4,t,r)- [рп(А,()-r,p„(A,/)+ г] - полиномиальная полоса, где г - фиксированное число. Обозначим через

f{A,k)= max {| рп (А, tk )+ г - у2к j;j д t - р„ (A,tk ) ■4- г ]}.

Рассмотрим задачу

р(А)= тах /(А,к)-+ М . (1)

В задаче (1) требуется минимизировать наибольшее по всем £е[0:Л"] расстояние Хаусдорфа между образом многозначного отображения Ф(/*) и соответствующим образом полиномиального отображения Пп(А,1,г) за

счёт выбора вектора коэффициентов/! 6 /?"+1.

Далее будем также использовать обозначения

\У2,к~У\,к \ ,

т = тах —:---!— г, М =■{ к е.

2

I

[0:А]:

У 2, к У\,к

- т

I

р* = Ы р(А).

Очевидно, что для всех к б [0: ЛГ] справедливо неравенство

/Ш)>

>'2,4 ~)\к

\У2,к ~ У\,к

- - л, то есть

Следовательно, шах /'(А,к)> тах

*ф,л<] ¿£[0,^] 2

р(А)>тУА б/?"1"' 2. В данной статье ограничимся рассмотрением случая N <п . ТЕОРЕМА. Задача (1) эквивалентна линейной относительно компонент (а0,а^,...,ап) вектора А системе уравнений

(2)

У\л + Уг,к

+ аЛ. т-

I

\Уг,к

. £ е [0: Лг], (3)

где ак е [-1;1], У к е [0 : А']. При этом р = т.

Доказательство. 1. Сначала докажем, что решение системы (3) при любом наборе чисел ак е [-1;1], А е [0: .¡V], является решением задачи (1). Как известно [1], определитель

1 'о 1 и

1

1к-

г к

ф О.

Следовательно, система (3) всегда совместна.

Пусть А" - решение системы (3) для некоторого набора а^ е[—1;1],

к е^Л^]. Тогда, подставляя вместо р„(л*,/к) выражения из правой части

: (1), для функции /[А ,к) получим

системы (

А а* , \ I Уи ~ Уы л

/|А .А)-тах<; —•—•—— +г +

ои т

-а,.

У2.к ~ У1,к

\У7,.к ~ У\,к

У\,к - У2,к

+ г - а.

У2,к ~>\к

У2 Л ~Уи

У'2.к - Ук

-Мои

— г + а Л т

У2,к -У\,к

У2,к ->л.к

1 < \Ухк - У\,к

■ г\ +

,\Угл-У\л

-г т -

>'2,к У\,к

Установили, что /{а*,к)< т,\/к е [о: .V], и, следовательно. р(л*)<т. Тогда, учитывая неравенства (2), получаем рЫ I =т= р(А). Таким об-

разом, А*-реи тение задачи (1) и р* =т.

2. Докажем, что решение задачи (1) является решением системы (3) при некотором наборе чисел ак е[-1;1], ¿£[0:А']. В пункте 1 доказано, что любое решение системы (3) при ак е[-1;1], к е [(): Л'], является решением задачи (1). Установлено, что система (3) всегда имеет решение. Сле-

*

довательно, решение задачи (1) также существует, причём р = т.

Пусть теперь А* - любое решение задачи (1). Покажем, что оно удовлетворяет системе (2) при следующем выборе параметров ик :

О, к е М,

У'.,к У2,к

\У'2.к -Ух,к

Д6[0:У]\ М.

(4)

Так как р*=р(л*]=т, то /(а* ,к )< т, У к е [о: у], а следовательно, и \у2,к ~ Рп{л*г- т> \У\,к -р„{л*,1к )+ г| < тУк € [0: Из этих неравенств и правила выбора (4) вытекает, что ак е [-1;1]. У к е [0: Л,г]. Подстановка параметров а^ в систему (3) обращает все её уравнения в тождества,

то есть А* удовлетворяет системе (3) при определённом выборе параметров щ. Теорема доказана.

СЛЕДСТВИЕ. При N < п задача (1) имеет единственное решение тогда и только тогда, когда N = п и выполняются равенства

I к ~~~ к ' Г 1

т = -'-— — г , к е [0: У], в остальных случаях задача имеет бесконечное множество решений.

3. Из теоремы вытекает, что решение задачи (1) при N <п сводится к решению системы неравенств

I . „ , .п У],к+У2,к\. \}'2,к~У\,к , гп

+- + ап'к —"-г— I ; А ' ' 6 (5)

! ^

Множество решений каждого из неравенств (5) относительно компонентов вектора А е Л"*1 определяет «слой» гиперплоскостей с общей нормалью с1к = (1,]. Если к&М, то правая часть соответствующего неравенства из (4) обращается в нуль, и этот слой сжимается в одну гиперплоскость. Таким образом, множество решений задачи (1) является многогранным множеством размерности N +1 -1М |.

Из приведённых рассуждений следует, что при условии N < п множество решений задачи (1) не ограничено. Действительно, при N < п в системе (3) оказываются свободными N - п параметров, и их можно выбрать сколь угодно большими.

При г - О доказанная теорема соответствует результату И. Ю. Вы-годчиковой [2].

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

Х.Демьянов В. Ф., Малозёмов В. И. Введение в минимакс. ]М.: Наука, 1972, 368 с.

2. Выгодчикова И. Ю. Наилучшее приближение многозначного отображения алгебраическим полиномом // Автореф. дис. ... канд. физ.-мат. наук. Саратов, 2004. 112с.

УДК 517.53

Г. А. Сорокин

ПОСТРОЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ ПО ЗНАЧЕНИЯМ ЕЁ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ

Известно, что найти представление всех аналитических функций /(г), удовлетворяющих условиям /(п\ап) = Ап, п = 0,1,2,..., в сколь-нибудь обозримом виде в общем случае трудно. Частные значения ап рассмотрены в работах [1 - 3] и др.

В данной статье мы введем в рассмотрение обобщенные многочлены Тейлора:

и 1 Г(к)(а 1

к=0 к-где множители у4(Э,п) имеют вид

У*(6,и) = (¡-б*Г'"?С'ыв2'> (0<в<1); (2)

/=о

117