Об одном свойстве неполной системы экспонент Текст научной статьи по специальности «Математика»

Известно [5], что необходимым и достаточным условием сходимости А(5,Ла р,и) —> 0 при 8—>0 является такое согласование а с 5, при котором а(5)—>0 и ша „II 5-»0 при 5-»0. Для метода регуляризации Тихонова справедливы следующие представления [3]:

|КР||, зир аж/г,

"¿2"»1- а<х<Ъ адху дхр

где Ка(х,£) -ядро оператора Яа0А, g(x,t„а) определенав [3].

На основании этого представления для указанных типов уравнений получены двусторонние оценки, асимптотические при а —> 0:

Схау> <\яа<р\^с<С2 а"\

у — приведены в теореме.

Из указанных оценок вытекает утверждение теоремы.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Тихонов А. Н. О регуляризации некорректно поставленных задач // ДАН СССР. 1963. Т. 153. № 1.С. 49-52.

2. Хромова Г. В. О скорости сходимости приближений функций на некоторых компактных классах и задаче восстановления функций // Вестн. МГУ. Сер. 15. 1993. № 1.С. 13-18.

3. Хромова Г. В. Об оценке погрешности метода регуляризации Тихонова для интегральных уравнений с ядром Грина// Вестн. МГУ. Сер. 15. 1992. № 4. С. 22 - 27.

4. Хромова Г. В. О методе регуляризации Тихонова для интегрального уравнения с разрывным ядром // Обратные и некорректно поставленные задачи: Тезисы докл. конф. Москва. 1998. М: Изд-во МГУ. С. 87.

5. Иванов В. К., Васин В. В., Танана В. П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. М.: Наука, 1978.

УДК 517.5

В. И. Шевцов

ОБ ОДНОМ СВОЙСТВЕ НЕПОЛНОЙ СИСТЕМЫ ЭКСПОНЕНТ

Системы экспонент изучались многими математиками. Фундаментальные исследования последовательностей полиномов из экспонент проведены А. Ф. Леонтьевым [1, 2].

00

Пусть Ь{Х) = ^скХк - целая функция порядка р, 0 < р < 1. Обозна-

к=О

чим через Ср класс бесконечно дифференцируемых на отрезке [-1;1] функций таких, что

У/еСр 3 т„ Ул>0 |/(п)(х)| < А}+1тп, хе[-1;1], где А^ - некоторая постоянная, которая зависит только от функции /(х), \тп) - последовательность неотрицательных чисел такая, что выполнено условие

-—1п т„ 1

Л-»Ш«1П1 р

Обозначим нули функции ¿(А.) через расположив их в по-

рядке неубывания их модулей. Будем предполагать, что все нули функции Ь(Х) простые. Рассмотрим систему экспонент

еХх*, еХг\ ...,ех"\... (1)

В данной статье рассматривается задача о построении функции Р(х) е Ср такой, что Р(х) Ф 0 и выполнено следующее условие:

1

с)е^=0, \ZkeN. (2)

-1

Для построения такой функции положим

□О 00

ад = П 1-тг = (3)

ъкУ

и=0

*=1

Функция I] (X.) - целая порядка не выше р. Рассмотрим интерполирующую функцию

/,*)=!>я(ц)/(я)(*), хе[-1;1], (4)

и=0

где а„(ц) - тейлоровские коэффициенты функции

У--1 п=о

Свойства интерполирующей функции (4) подробно изучены в [3, 4]. Отметим некоторые из этих свойств, которые необходимы в дальнейшем.

1.Если / е Ср

, то со г (ц, у", х) является целой фукцией комплексного переменного ц, \/хе[-1;1].

2. Если / е Ср, тогда справедливо равенство

+ = (5)

о

= (0к (ц,/,*) +1, (ц)^ ,

о

х е [-1;1], где

Л/£1[а*)]=2Х/(я)М. (6)

л=0

Перейдем к построению функции F(x) е Ср такой, что выполнено

(2). Положим А„=(п + 1)(л+1)а, 1 < а < - . Ясно, что

Р

и=оЛ»+1

Поэтому существует неотрицательная чётная бесконечно дифференцируемая на отрезке [-1;1] функция такая, что

1)Ф(о)>0, Ф(я)(±1) = 0 («=0,1,2,...);

2)|Ф(я)(х)| жб[-1;1],

где Вф - некоторая постоянная, которая зависит только от функции Ф(х) [5, с.105].

Положим, далее,

Р(х) = Мк[ Ф(х)]. (7)

Справедлива

ТЕОРЕМА. Функция Р(х), определяемая равенством (7), принадлежит классу Ср и выполнено следующее условие: 1

¡Р(х)еХкХ сЬс = 0, \ZkeN. -1

Доказательство. Так как функция Ф(х) принадлежит классу Ср, то функция также принадлежит этому классу [3]. Покажем, что

Р(х)тождественно не равна нулю. Предположим противное, т.е. F(x) = 0, хе[-1;1]. Тогда функция Ф(х) на отрезке [—1;1] должна удовлетворять следующему уравнению бесконечного порядка: М, [Ф(х)] = 0. В статье [6] показано, что класс функций, удовлетворяющих такому уравнению, является квазианалитическим. Поскольку Ф("'(±1) = 0,(и = 0,1,2,...), то Ф(х) = 0 и мы приходим к противоречию.

Докажем, что выполнено (2). Для этого воспользуемся свойством 2 интерполирующей функции ш£ (и, /, х). Положим в равенстве (5)

х = 1,/(0 = ^(0-

(Ц.ЛО)^ г)ё-»Л = (8)

о

о

Здесь мы учли, что со^ (ц,Ф,1) = 0, так как Ф(л)(±1) = 0, (« = 0,1,2,...). Из(8)находим при ц = —Хп

= (9)

о

Положим в равенстве (5) х = -1, /(?) = Ф(?), ц = -Х„ получим

-1

гл(гХя,Ф,0)= (10)

о

со

так как Ф(л)(-1) = 0 (« = 0,1,2,...).

1

Из (9) и (10) следует, что /^(Г) ех"'А = 0, V« е N.

-1

Теорема доказана.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Леонтьев А. Ф. Последовательность полиномов из экспонент. М., 1980.

2. Леонтьев А. Ф. Ряды экспонент. М., 1976.

3. Шевцов В. И. Об аппроксимации решений уравнения бесконечного порядка посредством элементарных решений. Саратов, 2000. 9 с. Деп. в ВИНИТИ. 06.06.00. № 1614-В00.

4. Шевцов В. И. Уравнения бесконечного порядка в одном квазианалитическом классе функций // Математика, механика и математическая кибернетика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1999. С. 72 - 75.

5. Мандельбройт С. Примыкающие ряды. Регуляризация последовательностей. Применения. М., 1955.

6. Шевцов В. И. Об одном квазианалитическом классе функций Саратов, 2000. 15 с. Деп. в ВИНИТИ 20.04.00. №1103-В00.

УДК 517.984

В. А. Юрко

О КРАЕВЫХ ЗАДАЧАХ С ОСОБЕННОСТЬЮ ВНУТРИ ИНТЕРВАЛА*

1. Рассмотрим дифференциальное уравнение

/ \

■у

у(х-а)2 ,

у = Ху, 0<х<Т, ае(0,Т). (1)

Пусть у0 = V2 -1/4, Яеу>0, уг!Ч, <?(х)Ьс-аНп(°'1"2КеУ) е ДО,Г).

* Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, грант № 00-01-00741,