Представление решения уравнения бесконечного порядка в виде суммы двух решений Текст научной статьи по специальности «Математика»

В. И. Шевцов

УДК 517.5

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ БЕСКОНЕЧНОГО ПОРЯДКА В ВИДЕ СУММЫ ДВУХ РЕШЕНИЙ

Дифференциальные уравнения бесконечного порядка представляют в настоящее время аналитический аппарат, который активно используется во многих вопросах комплексного анализа Значительный вклад в развитие теории таких уравнений внесли А.Ф. Леонтьев и его ученики. В работах [1, 2] приводится ряд результатов, относящихся к дифференциальным уравнениям бесконечного порядка

Обозначим через Ср класс бесконечно дифференцируемых на отрезке [-1,1] функций таких, что

у/6Ср 3т„ Ъп*0. |/С>(д)|</);+Ч, *е[-1;1], (1)

где А]- - некоторая постоянная, которая зависит только от функции /(х), {тп} - последовательность неотрицательных чисел такая, что выполнено условие

-1п т„ 1 „

а=Пт--<-, 0 < р < 1

Отметим, что класс Ср в общем случае не является квазианапитиче-ским классом бесконечно дифференцируемых на отрезке [-1;1] функций. Рассмотрим оператор

п--0

00

характеристическая функция которого А(А.) = является целой

л=(>

функцией порядка р, 0 < р < 1.

Отмегим некоторые свойства такого оператора

1. Для любой функции /еС'р функция = Мтакже принадлежит классу Ср.

2. Пусть ¿(А.) = • ¿2М > 1'Де /(л) О = 1,2) - целые функции порядка не выше р, тогда справедливо равенство

М1 (/) = [М,2 (/)]= М1г \(/)]. Доказательство этих свойств оператора М, (/) приведено в [3].

В данной статье рассматривается следующая задача. Пусть

со

1.(Х) = - целая функния порядка р такая, что ¿(X) = Lj(X) ■ ¿2(Л.),

п=О

где /-у(^) U = К2) ~ целые функции порядка не выше р, 0<р < 1, не

имеющие общих нулей

Рассмотрим уравнение

Мdf)=tcnf("\x) = 0, хе[-\,1]. (2)

п-0

В таком случае любое решение уравнения (2) в классе Ср представляется в виде

f(x) = Mx) + f2(x), Л/Л;(/7) = 0,О = 1,2). (3)

Справедлива

ТЕОРЕМА 1. Для того чтобы любое решение / е Ср уравнения (2) представлялось в виде (3), необходимо и достаточно, чтобы

р,(Х). (4)

где ф[(А.), ф2 (А.) - целые функции порядка не выше р, 0 < р < 1.

Отметим, что условия вида (4) впервые возникли в работах В.В Напалкова [4], а затем в работах многих математиков

Приведем доказательство достаточности. Пусть выполнено условие (4) и / е Ср - решение уравнения (2), тогда

Дх) = М,(Я = MLj<fj (/) + (/) = /, (х) + f2(x), х е [-1,1] Покажем, что МL (fj) = 0, (j = 1,2). Имеем

Ml, (fx) = MLl (/)) = M91 (ML (/)) = 0, = (ML(f)) = 0.

Здесь мы воспользовались свойствами 1 и 2 оператора МL (/). Достаточность условий (4) установлена.

Необходимость условий (4) доказывается в основном методом, указанным в работе [5].

Отметим, что данная теорема может быть распространена на случай, когда характеристическая функция уравнения (2) является произведением произвольного числа сомножителей.

ТЕОРЕМА 2. Пусть L(X) = Ll(k)...Lm(X), где Lj(X) (j = Vjn) - целые функции порядка не выше р, не имеющие общих нулей Для того чтобы любое решение уравнения (2) из класса Ср представлялось в виде

/00 = /,(*) + ...+ /т(х), М, (/y) = 0(y = l,m), необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие

здесь ф,,...,фт - некоторые целые функции порядка не выше р,

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Леонтьев А Ф Рялы экспонент М , 1976

2. Леонтьев А Ф Последовательность полиномов из экспонент М , 1980

3 Шевцов В И. Об одном квазианалитическом классе функций Саратов, 2000 15 с Деп в ВШГИТИ 20.04 2000, №1103 - В00.

4 Напапков В.В Факторизация оператора типа свертки // Мат заметки. 1974 Т. 15, № 1. С. 165 - 171.

5 Тимофеев А Ю О представлении решения уравнения бесконечного порядка в виде суммы двух решений // Мат заметки 1982. Т. 31, № 2. С. 245 - 256.