CC BY
13
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Хромова Г. В. О неулучшаемых оценках погрешностей приближений к решениям и производным от решений интегральных уравнений I рода // Вестн. МГУ. Сер. 15. 1994. № 4. С. 3 -10.
2. Тихонов А.И. О регуляризации некорректно поставленных задач // ДАН СССР. 1963. Т.153, № 1. С. 49-52.
3. Иванов В.К., Васин В.В., Танана В.П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. М.: Наука. 1978.
4. Хромова Г.В. Об оценках погрешности приближенных решений интегральных уравнений 1 рода // Вестн. МГУ. Сер. 15. 1994. № 4. С. 3 - 10.
УДК 517.5
В. И. Шевцов
УРАВНЕНИЯ БЕСКОНЕЧНОГО ПОРЯДКА В ОДНОМ КВАЗИАНАЛИТИЧЕСКОМ КЛАССЕ ФУНКЦИЙ
Дифференциальные уравнения бесконечного порядка используются во многих вопросах комплексного анализа. В создании теории таких уравнений большую роль сыграли работы Д. Полиа, Ж. Валирона, А.О. Гельфонда, А.Ф. Леонтьева и других математиков. Основной задачей теории дифференциальных уравнений бесконечного порядка является задача аппроксимации любого решения такого уравнения посредством элементарных решений. В работе А.Ф. Леонтьева [1] имеется обзор по уравнениям бесконечного порядка. В монографиях [2, 3] приводится ряд результатов, относящихся к уравнениям бесконечного порядка и их приложениям. 00
Пусть L(X) = ^скХк - целая функция конечного порядка р, 0 < р < 1.
* = 0
Предположим, что все нули функции L(k) - простые, обозначим их через * }Г= 1' расположив их в порядке неубывания их модулей. Рассмотрим на
отрезке [—l;l] систему функций \гХкХТакая система экспонент неполна в метрике С ни на каком отрезке вещественной оси.
Обозначим через Ст класс бесконечно дифференцируемых на [~l;l]
функций таких, что
V/eCmn, V»>0 \f(n\x)\< Afmn, (1)
где Лу - некоторая постоянная, которая зависит только от функции /(х), тп - последовательность неотрицательных чисел такая, что выполнено условие
г— Ьлт„ 1
а=Ьш--<-. (2)
и->°°И-1пя р
Отметим, что если а<1, то этот класс функций состоит из функций аналитических на отрезке [— 1; 1]. Если а = 1, а тп=па"\па"п и
00 1
Р = ¡пГ(и + /г)" 1па(л + И) =па 1па п, то ряд У — < сю, поэтому такой класс
не квазианалитический. Если а = 1, тп = п" 1п" п, то такой класс квазианалитический, он содержит и не аналитические функции [4].
Обозначим, далее, через подкласс такой, что любая
/ е С* удовлетворяет уравнению бесконечного порядка:
А/л(Л=£с*/(4)(*) = 0, хе[-1;1], (3)
*=о
оо
характеристическая функция которого Ь(Х) = ^скХк является целой функ-
к=о
цией порядка р, 0 < р < 1. В работе [6] показано, что класс С ^ - квазианалитический. В [6] построена система функций {фк (х)}*=1 - биортогональная к
системе экспонент [е^кХ на [— 1; 1]. Функции / е Ст приведем в соответствие ряд экспонент по данной биортогональной системе функций
л*) ~ , лк = )т<рк «а (4)
к=\ -1 В исследованиях по теории рядов экспонент важное значение имеет интерполирующая функция, которую ввел А.Ф. Леонтьев. Она имеет следующий вид:
со£(ц^) = ¿ск [/-»-«(0) + Ц/(А"2)(0) +... + ц'-'ДО)]. к=1
Если / е С, то со£ (¡1, Р) - целая функция комплексного переменного (I. Функции f (х) е СШп приведем в соответствие ряд
№~±Вкех", (5)
В данной статье излагаются результаты, относящиеся к исследованию поведения рядов (4) и (5).
Сформулируем следующую теорему ТЕОРЕМА 1. Если /(*) е С*я, то Vn А„ = В„.
Доказательство данной теоремы опирается в основном на то, что классС*т - квазианалитический. Укажем также на теорему, которая получается непосредственным применением теоремы 1.
ТЕОРЕМА 2,- Пусть Хп > 0 и выполнено условие 3h, 0 < А < 1, такое,
что
тг- 1 , 1
lim -г-In:-г <оо.
»-ко** |1'(М
Если /(х) е , тогда /(х) допускает аналитическое продолжение в полуплоскость Re z < 1 ив этой полуплоскости
/(*)=£ V-к = \
Рассмотрим теперь следующую систему уравнений бесконечного порядка
ML{f)= ickfw(x) = О,
yfc = 0
(6)
MLl(f)= = xs[-l-l]
k = 0
00
Характеристические функции этой системы функций L(k) = ~£скХк и
к = 0
00
А(^)= Х6^* " Целые функции порядка р, 0 < р < 1. Как и выше предпола-*=о
гается, что все нули характеристических функций - простые. Справедлива теорема.
ТЕОРЕМА 3. Если характеристические функции системы (6) не имеют общих нулей, то единственным решением системы (6) является /(х) = 0.
Нами также исследована структура решений системы (6) при условии, что характеристические функции имеют общие нули. Обозначим через {\х.к } - общие нули функций ИХ) и Ц(к).
ТЕОРЕМА 4. Существует последовательность гк too такая, что если f(x) удовлетворяет системе (6), то
1. Леонтьев А. Ф. Дифференциальные уравнения бесконечного порядка и их применение // Тр. IV Всесоюз. мат. съезда. 1964. Т. 2. С. 648 - 660.
2. Леонтьев А. Ф. Ряды экспонент. М., 1976.
3. Леонтьев А.Ф. Последовательности полиномов из экспонент. М.,
4. Мандельбройт С. Квазианалитические классы функций. М.; Л., 1937.
5. Шевцов В.И. Свойства специального класса бесконечно дифференцируемых функций // Теория функций и приближений :Тр. 4-й Сарат. зимней шк. Саратов, 1990. Ч. 3.
6. Шевцов В.И. Об одном классе бесконечно дифференцируемых функций.// Теория функций и приближений :Тр. 6-й Сарат. зимней шк. Саратов,
равномерно на [-1; l].
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1960.
1992.
7. Леонтьев А.Ф. Обобщение рядов экспонент. М., 1980.
