О краевых задачах с особенностью внутри интервала Текст научной статьи по специальности «Математика»

Здесь мы учли, что со^ (ц,ФД) = 0, так как Ф(л)(±1) = 0, (гс = 0,1,2,...). Из(8)находим при ц = —Хп

= (9)

о

Положим в равенстве (5) х = -1, /(?) = Ф(?), ц = -Х„ получим

-1

гл(гХя,Ф,0)= (10)

о

со

так как Ф(л)(-1) = 0 (« = 0,1,2,...).

1

Из (9) и (10) следует, что /^(Г) ех"'А = 0, V« е N.

-1

Теорема доказана.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Леонтьев А. Ф. Последовательность полиномов из экспонент. М., 1980.

2. Леонтьев А. Ф. Ряды экспонент. М., 1976.

3. Шевцов В. И. Об аппроксимации решений уравнения бесконечного порядка посредством элементарных решений. Саратов, 2000. 9 с. Деп. в ВИНИТИ. 06.06.00. № 1614-В00.

4. Шевцов В. И. Уравнения бесконечного порядка в одном квазианалитическом классе функций // Математика, механика и математическая кибернетика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1999. С. 72 - 75.

5. Мандельбройт С. Примыкающие ряды. Регуляризация последовательностей. Применения. М., 1955.

6. Шевцов В. И. Об одном квазианалитическом классе функций Саратов, 2000. 15 с. Деп. в ВИНИТИ 20.04.00. №1103-В00.

УДК 517.984

В. А. Юрко

О КРАЕВЫХ ЗАДАЧАХ С ОСОБЕННОСТЬЮ ВНУТРИ ИНТЕРВАЛА*

1. Рассмотрим дифференциальное уравнение

/ \

■у

у(х-а)2 ,

у = Ху, 0<х<Т, ае(0,Т). (1)

Пусть у0 = V2 -1/4, Яеу>0, уг!Ч, <?(х)Ьс-аНп(°'1"2КеУ) е ДО,Г).

* Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, грант № 00-01-00741,

СТ/(*Д) =

В статье исследуется несамосопряженная краевая задача / для дифференциального уравнения (1) с граничными условиями

у(0) = у(Т) = 0

и с условием склейки решений в окрестности особой точки, задаваемым матрицей перехода А = [ад \] к_л1 (см. ниже).

Пусть Sj(x,X),j = \,2,xe[0,a)^J{a,T~\ - решения уравнения (1) при

условии 5;(л:Д) = С>((д:-а)ц-'| х-»=(-1);V +1/2 (см. [1]). Пусть задана матрица А - [а]к\ к=1 АфО,ап = 0. Обозначим

г

£а^(д:Д), дс> а.

Фундаментальная система решений рДхД)} 2 используется для склейки решений уравнения (1) в окрестности особой точки. Предположим, что ах 1 ехр(27н'у) - а22 * 0. (2)

Условие (2) будем называть условием регулярности склейки. Пусть X,= р2, = [ ехр(Ьс;у) - а22 ехр(-Ьи'у),

Фу(;сД) = (-1у-1(а(22--/)(0Л)а1(^^) - ср-Л(0Д)а2(*Д)) у = 1>2> ДД) = ср2(ГД).

ТЕОРЕМА 1.(1) Нули } целой функции ДД) совпадают с собственными значениями краевой задачи /.

(2) При |р| -> оо

ДД) = (4фвт лу)"1 (г'^1 ехр(-грГ)[1] - г^ ехр(грГ)[1] + ехр(ф(Г - 2а)) + ехр(-,р(Г - 2а))), [1] := 1 + 0{р1).

(3) Существует /г > 0 такое, что все собственные значения Хп = р2 задачи / лежат в полосе 11т р| < Л .

(4) Число ^собственных значений в прямоугольнике П^ := {р:|1тр|< </г, + ограничено по

(5) Обозначим С?5 = {р: |р — р„| > 5 при всех п}. Тогда

(ДД^С^рр'ехрфшрЩ реОь. 2. Пусть Ва = {/(л:):/ {х)(х - ау'х еЬр(0,Т)} - банахово пространство с нормой ||/||а = /(*)(.*-а) | . Положим <в = -Кеу + 1/ 2.

а>Р II ИЛр(0,7')

ТЕОРЕМА 2. Система собственных и присоединенных функций краевой задачи 1 полна в Ва р при 1 < < оо, а < со + 1/р.

147

Замечание. Приведем контрпример, показывающий существенность условия регулярности склейки (2). Рассмотрим задачу / при

vo=0, 9(*) = 0, Т = п, а = Зл/4, ап=-а22= 1, а21=а12=0, т.е. краевую задачу

- у" =Ху, 0<х<п,

у(0) = у(п) = 0, y(m)(a + 0) = (-l)my(m)(a-0),rn = 0,l,a = 3n/4. Для этой задачи условие (2) не выполняется, и

Д(Я.) = р"1 sin р(2а - Г). Собственные значения Х„ = р2п задачи (3) суть рп = 2л, п > 1, а собственные функции имеют вид

[sin 2 пх л:<Зя/4,

)'"W~l(-l)""1sin2M, х > Зл/4. Система функций {>;п(х)}л>1 неполна в Вар при 1</?<со)а<1 + 1/р.

3. Рассмотрим обратную задачу. Обозначим 5(^) = ф1(ГД). Функцию М(Х) = -8(Х)/А(Х) будем называть функцией Вейля задачи /.

ТЕОРЕМА 3. Задание функции Вейля М(Х) однозначно определяет краевую задачу /.

В случае простого спектра рассмотрим множество {Х.п,<*„}„>!

(ап:- Reí М(Х)), которое называется спектральными данными задачи /.

\=х„

ТЕОРЕМА 4. Задание спектральных данных однозначно определяет краевую задачу I.

Метод доказательства теорем 3, 4 является конструктивным и даёт процедуру решения обратной задачи.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Yurko V. A. Inverse problems for differential equations with singularities lying inside the interval // J. of Inverse and Ill-Posed Problems. 2000. Vol. 8. №.1. P. 89 - 103.