О восстановлении дифференциальных систем с особенностями по неполной спектральной информации Текст научной статьи по специальности «Математика»

т- п к=1

1-

, »к > о;

2) 1ш1

1

-1Пт

1

г<00, 0<Й<1.

(5)

(6)

Справедлива

ТЕОРЕМА. Пусть / е С* и выполнены условия (5) и (6), тогда /(х) допускает аналитическое продолжение в полосу - 1 < Яег < 1 ив этой полосе

Доказательство данной теоремы использует оценки коэффициентов при условии (5), (6), а также доказанную в работах [4, 5] теорему об аппроксимации решений уравнения элементарными решениями.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Леонтьев А. Ф. Ряды экспонент. М.: Наука, 1976.

2. Леонтьев А. Ф. Последовательность полиномов из экспонент. М.: Наука, 1980

3. Леонтьев А. Ф. Обобщение рядов экспонент. М.: Наука, 1983.

4. Шевцов В. И. Об одном квазианалитическом классе функций. Саратов, 2000. 15 с. Деп. в ВИНИТИ № 1103-В00.

5. Шевцов В. И. Уравнение бесконечного порядка в одном квазианалитическом классе функций И Математика, Механика, Математическая кибернетика: Сб. науч. тр. Саратов; Изд-во Сарат. ун-та, 1999. С. 72 - 75.

УДК 517.927

В. А. Юрко

О ВОССТАНОВЛЕНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ С ОСОБЕННОСТЯМИ ПО НЕПОЛНОЙ СПЕКТРАЛЬНОЙ ИНФОРМАЦИИ*

1. Рассмотрим систему дифференциальных уравнений

Ь-тоу» -юл (1)

с начальными условиями ^(0, р) = 1, у2(0,р) = -1. Здесь р = ст + /т -спектральный параметр, а И(х) - вещественная функция, которая называ-

" Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, грант №00-01-00741.

ется волновым сопротивлением. Система (1) описывает распространение волн в слоистой среде и часто встречается в оптике, спектроскопии, электродинамике и акустике. Радиотехнические задачи проектирования направленных ответвителей СВЧ и задачи синтеза неоднородных линий передач также могут быть сведены к исследованию системы (1) (см. [1, 2] и литературу в них).

Широкий класс задач синтеза относится к обратным задачам спектрального анализа с неполной спектральной информацией. Некоторые аспекты задач синтеза для системы (1) исследовались в [2 - 4] с помощью метода оператора преобразования. В этой статье для решения обратной задачи для системы (1) с особенностями и точками поворота используется метод контурного интеграла. Это дает возможность получить эффективные алгоритмы решения данного класса обратных задач.

Мы рассмотрим три класса коэффициентов R(x). Будем говорить,

что ä(jc) е В0, если R(x)е Ж22(О,Т), R(x) > О, Я(0) = 1и /?'(0) = 0. Мы также рассмотрим более общий случай, когда R(x) имеет полюса и нули внутри интервала (0,Г). Будем говорить, что R(x) е ВЦ , если R(x) имеет вид

R(.x)=í~-о<*,<...<*„<Т, Rj> 0,

J^X-XjY

и Ro(x)e fV22(0,Г), R(x) >0 (x*Xj), R(0) = 1, Д'(0) = 0. В частности, если р = 0 ,то R(x) е В0. Будем говорить, что R(x) е B¿, если (/?(х))~1 е Bq .

Введем функции

m ш У1(Т,Р)-*°у2(Т,р) = л(Г,р) + Л>2(?,р) ^о ;=

2л/Я° 2л/Д°

которые называются коэффициентами передачи. Обозначим а, (ст) =1 fj (ст) ст = Reр. Тогда a¡(о) - (а) = 1.

Для широкого класса задач синтеза амплитуда доступна для измерения, в то время как фазу измерить трудно или невозможно. Такие случаи приводят к обратным задачам с неполной информацией. В этой статье исследуется следующая неполная обратная задача.

ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА 1. Дана а^о), построить R(x).

Для решения этой обратной задачи мы сначала восстанавливаем коэффициенты передачи по их модулям ау(ст). Недостаток информации

здесь приводит к неединственности решения. Для построения коэффициентов передачи мы используем дополнительную информацию об их нулях. Далее мы вычисляем так называемую характеристическую функцию

Д(р) = /j(p) + /2(р) и строим решение обратной задачи восстановления R(x) по заданной функции Д(р).

Для определенности мы рассматриваем случай R(x) е Bq . Исследование класса Bq совершенно аналогично, так как замена R —>l/R равносильна замене ,У2)->(-У2~У])-2. Обозначим П+ {р: Im > 0},

^ = 4ix) = h\x)-h\x), =

ТЕОРЕМА 1. Пусть R(x) е Bq . Тогда (г) функция Д(р) является целой по р экспоненциального типа 71,А(р) = А(-р) и

Д(р) = ехр(-гр7,)(1--- + ^^),реП+, где ю(р) = о(1) при | р |-> оо,р е П+, Р Р

и co(p)eZ,2(_OC1,00) при вещественных р(и). В П+ функция Д(р) имеет не более конечного числа нулей {рk}k=Y^, т >0. Все нули Д(р) в П+ простые и чисто мнимые, т.е. р k=ixk, тк >0. Обозначим

:=~д, V А0(р,):=^Д(р). Тогда ßt >0.

а(-Р*)А0(Ра) dp

Пусть S(xД) - решение задачи Коши

-у"+р(х)у = Ху, р2 ,х>0, Х0) = 0,У(0) = 1, где р{х) = q(T-х) при 0<х <Т и р(х) = 0 при х>Т. Рассмотрим два волновых сопротивления R{x) и R(x) из Bq . Условимся, что если некоторый символ а обозначает объект, относящийся к R(x), то а обозначает аналогичный объект для R(x), а а := а - а.

ТЕОРЕМА 2. Пусть R(x) е В„ . Выберем R(x)eB¿". Тогда

S(x,X) = S(x,X) + +

о

m m

+ PkS(x,Xk),XeA, (2)

к=1 к=1 V

p(x) = p(x)-2s'(x), (3)

где Хк=р\, Л := {X: X > 0}U{M*=I^>U$*}*=üs>

D(xX\y) ■■= ]s(t,X)S{t^)dt, V(X) :=-2-5-,

о л1д(Р)|

144

О k=I k=1

При каждом x, (2) - линейное уравнение относительно X е Л,

которое называется основным уравнением обратной задачи.

Пусть 12() множество функций Д(р), удовлетворяющих (/) - (н) из теоремы 1.

ТЕОРЕМА 3. Для того чтобы Д(р) была характеристической функцией для R(x) е Bq , необходимо и достаточно, чтобы Д(р) е i20.

Задание функции Д(р) однозначно определяет R{x).

Функция R(x) может быть построена по следующему алгоритму.

Алгоритм 1. Дана А(р).

• Вычисляем рк, ßÄ, У(к).

•Выбираем К(х)еВ$ и строим p(x),S(x,X),D(x,'k,ix),V(X),pk,ßk.

•Находим S(x,X),Xe А из уравнения (2), которое однозначно разрешимо при каждом х е [О,Г].

• Вычисляем р(х) по (3) и строим R(x) = (у(Т - х))~2, где у(х) - решение задачи Коши} у"= р(х)у, у(Т) = 1, у'(Т) = 0.

3. Так как Д(р) = /i(p) + /г(р), т0 для того чтобы решить обратную задачу 1, нужно восстановить коэффициенты передачи по их модулям и свести обратную задачу 1 к изученной выше обратной задаче восстановления R(x) по характеристической функции. Для определенности мы ограничимся случаем h := h(T) ф 0.

ТЕОРЕМА 4. Пусть fx (ст) = с^(a)e'iSi(0° и пусть pk = пк, тк > 0, k = \,m* - нули fi(p) в П+. Тогда

6l(p) = oT + - f + 2 £ arctg - А

Я"-оо 1

В частности, если R(x) е В0, то

71-00 5-О

ТЕОРЕМА 5. Пусть /2(ст) = а2(с)е~/б2(ст) и пусть /2(р) не имеет нулей в П+. Тогда

2 \h) 7t 4

Таким образом, задание а Дст) однозначно определяет коэффициенты передачи, только когда они не имеют нулей в П+.

Используя полученные результаты, можно конструировать различные алгоритмы синтеза R(x) по спектральным данным. Приведем для примера один из возможных алгоритмов. Для определенности ограничимся случаем

R(x) = 1, R(x) е В0.

Алгоритм 2. Дана aj(а) такая,что

И2 1

oci(ct)>1, а1(-а) = а1(ст), <xf(cr) = l + —- + о(—),ст н>±°о.

4ст ст

•Вычисляем 8j(а) по формуле (4).

•Строим 52{сг) по (5), где а2 (а) = af (а) -1.

• Находим а(<т) =| А(ст) | по формуле

а2 (а) = а,2 (а) + а2 (о) + 2ах(ст)а2 (c^cos^ (ст) - 82 (ст)).

• Вычисляем V(X) = —j—, X = о2 > 0.

тга (ст)

•Сгроим S(x,X), D(x,X,ц), V(X), pk,ßk для R(x) = 1

• Находим S(x,X), Х>0 из уравнения (2) с т = т = 0.

• Вычисляем р(х) по формуле (3).

• Строим R(х) := (у(Т - х))~г, где у(х) - решение задачи Коши У = Р(х)у>У(Т) = 1,У (Г) = 0.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Мещанов В. П., Фелъдштейн A.JI. Автоматизированное проектирование направленных ответвителей СВЧ. М: Связь, 1980.

2. Литвиненко О. Н., Сошников В. И. Теория неоднородных линий и их применение в радиотехнике. М.: Радио, 1964.

3. Тихонравов А. В., О принципиально достижимой точности решения задачи синтеза//ЖВМ и МФ. 1982. Т. 22. № 6. С. 1421 - 1433.

4. Freiling G. und Yurko V. A. On constructing differential equations with singularities from incomplete spectral information//Inverse Problems. 1998. Vol. 14. P. 1131-1150.