Единственность решения обратной задачи рассеяния для дифференциального уравнения переменного порядка на простейшем некомпактном графе с циклом Текст научной статьи по специальности «Математика»

13. Demyanov V. F., Rubinov A. M. Constructive non-smooth analysis. Frankfurt a/M, Verl. Peter Lang, 1995, 416 p.

14. Demyanov V. F., Vasiliev L. V. Nondifferentiable optimization. New York, Springer-Optimization Software, 1985, 452 p.

15. Ioffe A. D. Metric regularity and subdifferential calculus. Russ. Math. Surv., 2000, vol. 55, no. 3, pp. 501-558, DOI: 10.1070/RM2000v055n03ABEH000292.

16. Demyanov V. F., Malozemov V. N. Introduction to minimax. New York, Dover, 1990, 307 p.

17. Borwein J. M., Zhu Q. J. A survey on subdifferential calculus with applications. Nonlinear Analysis: Theory,

Y^K 517.984

Methods and Applications, 1999, vol. 38, no. 6, pp. 687773. DOI: 10.1016/S0362-546X(98)00142-4.

18. Demyanov V. F., Dolgopolik M. V. Codifferentiable functions in Banach spaces: methods and applications to problems of variation calculus. Vestnik St.-Petersburg. Univ. Ser. 10. Prikl. Mat. Inform. Prots. Upr, 2013, iss. 3, pp. 48-67.

19. Demyanov V. F. Conditions for an extremum in metric spaces. J. Global Optim., 2000, vol. 17, no. 1-4, pp. 5563. DOI: 10.1023/A:1026599021286.

20. Gantmacher F. R. The Theory of Matrices. Reprinted by Amer. Math. Soc., AMS Chelsea Publ., 2000, 660 p.

21. Kantorovich L. V., Akilov G. P. Functional analysis. Oxford; New York, Pergamon Press, 1982, 589 p.

ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЯ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ РАССЕЯНИЯ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ПЕРЕМЕННОГО ПОРЯДКА НА ПРОСТЕЙШЕМ НЕКОМПАКТНОМ ГРАФЕ С ЦИКЛОМ

М. Ю. Игнатьев

Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математической физики и вычислительной математики, Саратовский государственный университет им. Н. Г. Чернышевского, IgnatievMU@info.sgu.ru

Исследуется обратная задача рассеяния для дифференциальных операторов переменных порядков на простейшем некомпактном графе с циклом. Приведена теорема единственности восстановления коэффициентов операторов по данным рассеяния.

Ключевые слова: квантовые графы, дифференциальные операторы переменных порядков, обратные спектральные задачи, обратные задачи рассеяния.

ВВЕДЕНИЕ

Изучение многих процессов и явлений в различных областях естествознания и техники связано с исследованием прямых и обратных спектральных задач для дифференциальных уравнений на геометрических графах (пространственных сетях)[1-4]. Наиболее изучены такие задачи для часто встречающегося в приложениях оператора Штурма-Лиувилля. В то же время ряд практически важных задач приводит к уравнениям высших порядков, причем порядки уравнений на разных ребрах графа могут быть различными [4]. Такие задачи лишь недавно стали предметом систематического изучения, и на данный момент исследованы недостаточно. В работе [5] впервые рассматривалась обратная спектральная задача для оператора переменного порядка на графе, точнее, на графе-звезде. Более трудный для изучения случай графа с (одним) циклом исследован в работе [6]. В настоящей работе, в отличие от работ [5,6], изучается обратная спектральная задача (задача рассеяния) на некомпактном графе. Исследуемый граф состоит из цикла и луча, соединенных в общей вершине. На луче рассматривается уравнение произвольного высшего порядка, порядок уравнения на цикле равен 3 (в отличие от работы [6], где порядок уравнения на цикле равен 2).

Работа построена следующим образом. В части 1 мы вводим и исследуем так называемые решения типа Вейля, определяемые как функции, удовлетворяющие заданным дифференциальным уравнениям на ребрах графа и некоторым условиям склейки в вершине, а также имеющие заданные асимптотики на бесконечности вдоль луча. Исходя из свойств решений типа Вейля мы определяем данные рассеяния, ассоциированные с лучом, аналогично тому, как это было сделано для операторов высшего порядка на оси в [7]. В части 2 показано, что данные рассеяния, ассоциированные с лучом, однозначно определяют коэффициенты дифференциального уравнения на луче (соответствующую обратную задачу мы называем частичной обратной задачей рассеяния). В части 3 рассматривается задача восстановления оператора на всем графе (полная обратная задача рассеяния) и устанавливается соответствующая теорема единственности.

1. РЕШЕНИЯ ТИПА ВЕЙЛЯ

Пусть Г — геометрический граф, состоящий из замкнутой кривой ro длины T и луча гь исходящего из некоторой точки v1 е r0. Функцию y на графе Г будем трактовать как пару функций (yo(x),x е [0,T],yi(x),x е [0, го)). На цикле r0 рассмотрим уравнение

loyo = D3 yo + poi (x)Dyo + poo (x)yo = p3 yo, (1)

где p — спектральный параметр, D = —id/dx и коэффициенты poo(x), poi(x) таковы, что IQ = lo• На луче ri рассмотрим уравнение

N— 2

Iiyi = Dnyi + ^ pis(x)Dsyi = pNyi, (2)

s=o

где N > 3 и для некоторого т > 0 выполнено условие:

сю

J |pis(x)| ехр(тх) dx < го. (3)

o

Введем в рассмотрение следующие линейные формы:

V —2

Uv(y) := avy(v—i}(0) + £ avsy(s) (0),u5v(y) = (—1)Xivy(v—i} (0,

s=o

где С е {0, T}, Xov = 0, XTv = X, v = 1, 2, хтз = X + 1, X е {0,1}. Для функции y = (yo, yi) на Г и v е 1,N определим условие склейки C(v) как равенство uov(yo) = uTv(yo) = Uv(yi), а условие K(v) равенством uov(yo) + «Tv(yo) + Uv(yi) = 0 при v < 3 и Uv(yi) = 0 при v > 3.

Пусть Si := {arg(ip) е ((l — 1)n/N, In/N)}. Для фиксированного l через Rk, k = 1,N обозначим корни N-й степени из 1, занумерованные таким образом, что Re(ipRi) < Re(ipR2) < ... < Re(ipRN) для всех p е Si.

Зафиксируем x е {0,1}. Для каждого k = 1,N в каждом из секторов Si определим решение типа Вейля порядка k как решение системы (1), (2) фк(p) = (^ko(x, p), ф^(x,p)) со следующими свойствами:

1) ^ki(x, p) = exp (ipRkx) (1 + o(1)), x ^ го;

2) для фк(p) выполнены условия склейки C(v), v = 1, vk — 1, vk = min{k, 3}, K(v), v = vk,k. Используя разложения ф^(x,p), ф^(x, p) по фундаментальным системам решений уравнений (1)

и (2) соответственно, можно показать, что фк(p) существует и единственна при всех p е Si за исключением некоторого, не более чем счетного множества, не имеющего конечных предельных точек, кроме, возможно, точки 0. В дальнейшем мы будем считать, что эта последняя возможность исключена, более точно мы предполагаем выполненным следующее условие.

Условие Go. При каждом k ^ki(x,p) голоморфна в Si n{|p| < 5} при некоторой 5 > 0, непрерывна в Si П {|p| < 5} \{0} и i)(x, p) = O (p—M), k, v = T,N при p ^ 0, где M < го.

Обозначим через Ykci(x,p), k = 1,N, функции, образующие фундаментальную систему решений (свою для каждого сектора Si) уравнения (2), построенную аналогично ФСР B^ [8, §3.1]. Напомним следующие свойства функций УЩ (x, p):

1) при каждом x > 0 УЦ (x, p) голоморфны по p в Si П {|p| > pa}, причем pa ^ 0 при а ^ го;

2) lim уа (x, p) ехр(—ipRkx) = 1;

3) Dvуа (x, p) = (pRk)v exp(ipRkx)[1], [1] := (1 + O(p—i)), x > а, p ^ го.

Зафиксируем а такое, что У^ (x, p) голоморфны в Si П {|p| > 5/2} и непрерывны в Si П {|p| > 5/2}. Тогда при p е Si П {|p| > 5/2} с учетом условия 1 определения решений типа Вейля имеют место представления:

ф^ (x, p) = yki (x, p) + £ j (p)yci (x, p). (4)

j<k

Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2014. Т. 14, вып. 4, ч. 2 Для фко (х, р) воспользуемся представлениями вида

3

фко(х,р) = 3(р)С,-(х, Л), (5)

3 = 1

где Л = р3 и С3- (х, Л) суть решения уравнения 10у = Лу при условиях С^-1)(0, Л) = .

Подставляя (4), (5) в условия склейки из условия 2 определения решений типа Вейля, получим некоторую систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных 7ак (р), взк (р)-Обозначим через Дк(р) определители этих СЛАУ и через Zkl множества их нулей, лежащих в £I \ {0} при к £ 2, N ив § при к = 1. Ясно, что фк (р) непрерывны на § \ ({0} и Zk1) и голоморфны в § \ Zk1. Заметим, что при выполнении условия (3) функции Ука (х, р) допускают аналитическое продолжение в некоторую область вида \{|р| < ра}, где := 5I + геехр(г (1 — 1/2)п/^. Следовательно, для любого р0 £ Zk1 фкз- (х, р) допускают голоморфное продолжение в некоторую проколотую окрестность р0. Всюду далее предполагаем выполненным следующее условие.

Условие Множества Zk1 при различных к не пересекаются. Каждое р0 £ Zk1 есть простой нуль Дк(р) и простой полюс фкз-(х,р) (хотя бы при одном з £ {0,1}). Последнее означает, что существуют функции фкз-,<-:1)(х,р0), з = 0,1, хотя бы одна из которых не является тождественным 0, такие, что функции

фкз (х,р) — (р — ро )-1 Фкз,(-1) (х,ро)

голоморфны в окрестности р0.

Замечание. Поскольку У^^р) не зависит от а и при выполнении (3) допускает аналитическое продолжение в окрестность 0, определитель Д1 (р) также допускает аналитическое продолжение в окрестность 0. Поэтому мы допускаем возможность 0 £ Z11, условие в этом случае требует, чтобы 0 был простым нулем Д1(р) и простым полюсом ф1 (р) (фактически, ф10(х,р)). Из представления (4) вытекает, что для р0 £ Zk1

фк1,<-1) (х,ро) = ^ т3Тк,<-1) (ро )У3 (х,ро).

3<к

В силу условия все фз1(х, р), з < к, голоморфны в окрестности р0, а представления (4) можно обратить следующим образом:

Уз°1 (х, ро) = фз1 (х, ро) + ^ (ро)фв1 (х, ро),

в<3

что приводит к следующему утверждению.

Лемма 1. Для любого р0 £ Zk1 существуют (единственные) числа (р0), з < к, такие, что функции

Б-1 фк1 (х, р) — (р — ро )-1 ^ ^ (ро)Б-1 фз1 (х, ро), V =

3<к

голоморфны в окрестности ро.

Для исследования поведения решений типа Вейля при больших р запишем их в виде

фк1 (х, р) = Ук1(х,р) + ^ 7зк(р)Уз1 (х, р), (6)

3<к

3

фко (х,р) = ^ 3 (р)Узо(х,р). (7)

3 = 1

Через Ук1(х,р) в (6) обозначены Ук°[(х,р) при а = 0. Через Уко(х, р) в (7) обозначены решения Бирхгофа уравнения (1) [8, § 3.1]. Напомним, что для решений Уко(х,р) справедливы асимптотики следующего вида:

(2пг —

при р ^ го по любому замкнутому сектору в р-плоскости такому, что выражения Ке(гр(^ — ^)) для любых 5 сохраняют знак в этом секторе.

Подставляя (6), (7) в условия склейки из условия 2 определения решений типа Вейля, получим некоторую систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных к(р), в,?к (р)-Строку этой системы, содержащую и (или) У^о'-1^, поделим на (гр)^—1 (нетрудно заметить, что выражения такого вида в пределах одной строки соответствуют одному и тому же V). Решая полученную таким образом СЛАУ по правилу Крамера, получим представления

( \ ^ (р)

7'к (р) =— • (8)

где Тк(р) — определитель системы, а (р) могут быть получены из Тк(р) формальной заменой У81 на Ук1.

Рассмотрим следующую СЛАУ (она получается из описанной выше заменой Ук^ главными частями их асимптотик):

3 3 /к—1

= (—V вks11) ехр(гр^Т) = сть ' ^ - 1

3 3 /к —1 \ _

Е 1) = (—1)ХТ^ вк^1) ехр(гр^Т) = ^ Е 7к^ЯГ1 + ^ГМ , V = 1, Vk — 1

5=1 8 = 1 \в=1 /

3 3 /к—1 \ _

Е ^ + (—1)ХТ^ Е вк8—1) ехр(гр^Т) + ^ Е Тк*ЯГ11 + ^Г1 =0, V = Vk, 3

5=1 8=1 \в = 1 /

1) + (—1)^ £ вк8—1) ехр(гр^Т) + ^ ( Е Тк^Г1 + ^Г1 8=1 8=1 \в = 1 к —1

Е Тк*Д—1 + К—1 = 0, V = 4, к. 8=1

Обозначим ее определитель через (р). Нетрудно показать, что для (р) имеют место представления следующего вида:

3

£0(р) = Ако + £ (А+т ехр (¿р^тТ) + А—т ехр (—¿р^тТ)),

т=1

где числа Ако, А±т зависят только от коэффициентов ст^ форм и сектора 51. Для определителей Тк(р), (р) аналогично получаются следующие асимптотические представления:

3

Т(р) = [Ако] + ^ ([А+т] ехр (¿р^тТ) + [А—т] ехр (—¿р^тТ)),

т=1 3

^к(р) = [А^ко] + Е ([А+кт] ехр (¿р^тТ) + [А—кт] ехр (—¿р^тТ)),

т=1

где числа Авко, А±кт также зависят только от коэффициентов ст^ форм и сектора 5. Пусть выполнено следующее условие регулярности. Условие Д. А±т = 0 для всех к,т, I.

Тогда из [9, теорема 5.8] вытекают (в частности) следующие утверждения.

Лемма 2. Число элементов множества в кольце {Ь < |р| < Ь + 1} ограничено некоторым числом, не зависящим от Ь.

Лемма 3. При р ^ го, р е 5, dist(р, Z ы) > е (где е > 0 произвольно) справедливы асимптотики:

Т(р) = Т(р)[1], |Твк(р)| < С|£0(р)|, (р) — £0к(р)| < С|р|—1|£0(р)|,

3 ( )

где £2к (р):= Аз к о + Е (А+к т ехр(гр^тТ) + А"т ехр(—гр^т Т)) .

т=1

Из леммы 3 и представлений (6), (8) вытекает, в свою очередь, следующее утверждение. Лемма 4. При р ^ го, р е 5, dist(р, г) > е справедливы асимптотики:

1 ^ 1(х,р) = (рДкГ ехр(грДх)[1] — ^ (тЩ) + ° (1)) (р^ ехр^х).

2. ЧАСТИЧНАЯ ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА РАССЕЯНИЯ

Пусть х £ {0,1} фиксировано и фк(р), к = , — решения типа Вейля, построенные, как описано в предыдущем параграфе, с выбранным значением х в условиях склейки С(V), К(V). Исходя из свойств решений типа Вейля мы определим данные рассеяния, ассоциированные с лучом г1 и покажем, что эти данные однозначно определяют коэффициенты уравнения (2).

Определим матрицу Ф = (Ф^к)к,^=х^ (V — номер строки): Ф^к(х, р) := Б^-1фк1 (х,р). Для ро £ \ (^ и ) (где Ег := § П §+1, ^ := и Zkг) определим: Ф-(х1 ,ро) := Иш Ф(х,р),

к Р *Ро,p£Sl

Ф+ (х, ро) := Иш Ф(х,р) и матрицу г>(ро) := Ф-1 (х, ро)Ф+ (х, ро). Далее, для ро £ Zk1 опре-

Р *Ро 1

делим матрицы V(ро) := (г3к(ро)) _ (з — номер строки), где 3(ро) — числа из утверждения

V 3 / з',к=1,^ 3

леммы 1.

Определение. Данными рассеяния, ассоциированными с лучом г1, назовем набор Лх = {"(р), р £ \ (^ и ^+1), Zkг, V(р), р £ Zkг, к = Т^, 1 = } .

Наряду с уравнениями (1), (2) рассмотрим уравнения того же вида, но с другими коэффициентами рз. Через фк (р) обозначим соответствующие решения типа Вейля (построенные при тех же условиях склейки). Предположим, что условия ^о, также выполнены, тогда можно определить данные рассеяния ^7*.

Теорема 1. При выполнении условий , и условия регулярности склейки Я из 7 = следует = р1в, 5 = 0, N — 2. Кроме того, Ф = Ф.

Доказательство. Рассмотрим следующую матрицу спектральных отображений [7,8]: Р(х, р) := Ф(х,р)Ф-1 (х, р). В силу равенств ¿^г = Zkг и 7(р) = "(р), р £ £г \ (^ и ^+1) матрица Р(х, р) голоморфна по р в С \ и Zkг \ {0}.

к,г

Из леммы 1 следует, что для любого ро £ Zkг матрица

Ф(х, р) (I — (р — ро)-1 V(ро)) ,

где I — единичная матрица, голоморфна в окрестности ро, и аналогичное утверждение справедливо для Ф. В силу 7г(ро) = V (ро) отсюда следует, что Р(х, р) ограничена в окрестности ро, т.е. ро является устранимой особенностью Р(х, р). Таким образом, в условиях теоремы Р(х, р) голоморфна

в С \{0}.

Далее, из асимптотик леммы 4 вытекают оценки:

Pjk(x, р) = O (р3-к), р ^ го, dist ^р, |J ZkiJ > е, (9)

а из условия G0 — оценка

Рзк(x, р) = O (p-Ml) , Mi < го, р ^ 0. (10)

С учетом леммы 2 из (9), (10) следует, что P(x, р) представима в виде

N-1

P (Х,р)= £ р" P(v >(x). (11)

v=-M1

Из условия 1 определения решений типа Вейля следует:

lim P(v> (x) =0, v = 0, lim P(0> (x) = I.

Повторяя рассуждения из доказательства леммы 3.54 [7] выводим отсюда, что P(v> (x) = 0 при v = 0, а рассуждая, как при доказательстве леммы 3.59 [7], заключаем, что при j < k P(0>jk(x) = 53)k. С учетом (11) это означает, в частности, что P1k^,р) = 51)k, т.е. первые строки матриц Ф и Ф тождественно равны. А поскольку остальные строки в этих матрицах получаются дифференцированием первой строки, матрицы Ф и Ф совпадают. □

3. ПОЛНАЯ ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА РАССЕЯНИЯ

Для восстановления коэффициентов уравнения (1) нам понадобятся два набора данных рассеяния, ассоциированных с лучом п J0, J1 и, возможно, некоторый конечный набор чисел, связанных с (1) непосредственно.

Обозначим через Л3 спектры краевых задач для уравнения loy = Ау с условиями y(v 1) (0) ± ± y(v-1)(T) = 0, v = 1,3, через Л±, s = 1, 2 — спектры задач для этого же уравнения с условиями y(s-1) (0) = y(s-1)(T) = y(2-s)(0) ± y(2-s) (T) = 0 (все собственные значения берутся с учетом их алгебраической кратности). Характеристические функции указанных задач обозначим через Д±0(A) и Д±,(А) соответственно. Определим Л±, := Л3 П Л±.

Определение. Глобальными данными рассеяния назовем набор J = {J0, J1, Л+1, Л-15 Л+2, Л-2}.

Теорема 2. При выполнении условий G0, G1 и условия регулярности склейки R из J = J следует ps = , s = 0, N - 2, pos = Pos, s = 0,1.

Доказательство. В силу теоремы 1 из совпадения данных рассеяния следует совпадение коэффициентов уравнения (2) и решений типа Вейля на луче r1. Теперь единственность восстановления коэффициентов уравнения (1) следует из единственности решения классической обратной задачи на конечном отрезке по матрице Вейля [8, гл. 3]. Покажем это.

Пусть Фк(x, А), k = 1, 2 суть решения Вейля для уравнения l0y = Ay, удовлетворяющие краевым условиям:

Ф1(0,А) = 1, Ф1 (T, А) = Ф1(Т, А) = 0, Ф2 (0, А) = 0, Ф2 (0, А) = 1, Ф2(Т,А) = 0.

Определим функции Вейля Mkv(А) := Ф^-1)(0, А). Имеют место представления [1, § 3.1]:

М12(А) = -

¿12 (А)

d1(А) ,

M13 (А) = -

¿13(А) ¿1(А) ,

где

d1 =

C2 C3 , ¿12 = C1 Сз , ¿13 = С2 С1

C2 с' C1 С' С2 С1

Здесь для краткости в выражениях вида С^(Т, Л) аргументы (Т, Л) опущены. Отметим, кроме того, что в силу самосопряженности дифференциального выражения 10 имеет место связь М2з(Л) = М12(Л).

Вернемся к доказательству теоремы. Условия склейки для решения (р) приводят к следующим соотношениям (где различные знаки соответствуют разным х £ {0,1}):

з

Ев*з ± С(Т, Л)) = 0, 8 = 1

Е в*з (5в>2 ± С (т, л)) = о, 8 = 1

Е в-з (5в>з ± С' (Т, Л)) = -из

8 = 1

в1з = ^1(^1),

1в2з = ),

Применяя к (12) теорему Кронекера - Капелли (как к СЛАУ относительно в«з, з = 1, 2,3), получим соотношения:

(12)

С ± 1 С2 Сз 0

С1 С2 ± 1 С' 0

С1' 1 С2' 0 С'' ± 1 0 TU^3) U1(^1)

С ± 1 С2 Сз 0

С1 С2 ± 1 С' 0

С1' 0 С2' 1 С'' ± 1 0 ^^3(^1) ^2(^1)

= 0,

= 0.

(13)

(14)

Соотношения (13), (14) могут быть переписаны в терминах характеристических функций Д±в(Л), введенных в начале параграфа. С учетом представлений:

Д±о = ±

С1 ± 1

с

с3

С1 С2 ± 1 С3

С1'

С''

Сз ± 1

Д±1 =

С2 С3

С' ± 1 С3

Д±2 =

С1 ± 1 С3

С1

С3

эти соотношения принимают вид

^(ф* )Д3о т и3(ф31)Д?1 = ^(фЦ )Д3о ± ^(фЦ )Д?2 = 0,

-,±и±

±и±

'±и±

что приводит к соотношениям:

Д

±

_31 = ± Ц1(фз1) Д3о

Дз2 = т и (ф31)

Дзо + и3 (ф3±1)

^^),

В условиях теоремы, как уже было замечено, ф31 = ф31 и, следовательно,

Д4 д±

Д3 Д =

Д3о Д3о

У31 ±

Д7 ± Д±

Д32 = Д32

дД 3о

Д

3о

(15)

Фигурирующие в (15) характеристические функции Д3в(Л) однозначно определяются заданием своих нулей, а в силу (15) и условия Л3в = Л3в эти множества совпадают (с учетом кратностей). Таким образом, в условиях теоремы имеем:

д± =д£, 5 = 0,2.

(16)

Учитывая, что

¿1 = 2 (Д+1 + Д-0 ,

¿12 = Т, (Д32 +Д-2)

из (16) следует, что с?1 = , ¿12 = ¿12. Это влечет, в свою очередь, М12 = М12, М23 = М23.

Осталось показать, что функция Вейля М13 также однозначно восстанавливается по глобальным данным рассеяния. Рассмотрим решение типа Вейля ф1 (р). Для него условия склейки приводят к системе вида

3

Е вв1 (¿м ± Св(Т, Л)) + и (Уц) = 0,

3=1

Е вв1 (¿3,2 ± С (т, Л)) + и2 (У11) = 0,

3=1

Е в-1 (¿3,3 т С'(Т, Л)) + и(У11) = 0.

3=1

(17)

Определитель системы (17) представляет собой целую функцию Д±о(Л) вида

Д±о = ±

С1 ± 1 С2 С1 С2 ± 1

С3 С3'

С1' С2' С3' т 1

В силу условия Д±о(Л) имеет только простые нули, совпадающие с 3 степенями элементов множества у Zlг и, таким образом, в условиях теоремы Д±о(Л) = Д±о(Л). Заметим теперь, что

-(д±о — Д±о) = ¿13 т (С1 + С2).

(18)

С учетом установленных ранее равенств Д±о(Л) = Д±о(Л), Д±о(Л) = Д±о(Л) (18) влечет б/13 = ¿13 и, следовательно, М13 = М13. □

Результаты получены в рамках выполнения государственного задания Минобрнауки России (проект № 1.1436.2014К).

Библиографический список

1. Langese J., Leugering GSchmidt J. Modeling, analysis and control of dynamic elastic multi-link structures. Boston : Birkhauser, 1994.

2. Kuchment P. Quantum graphs. Some basic structures // Waves Random Media. 2004. Vol. 14. P. S107-S128.

3. Pokornyi Yu., Borovskikh A. Differential equations on networks (geometric graphs) // J. Math. Sci. (N.Y.). 2004. Vol. 119, № 6. P. 691-718.

4. Покорный Ю. В., Белоглазова Т. В., Дикарева Е. В., Перловская Т. В. О функции Грина для локально взаимодействующей системы обыкновенных уравнений разного порядка // Матем. заметки. 2003. Т. 74, № 1. С. 146-148.

5. Юрко В. А. Восстановление дифференциальных опе-

раторов на звездообразном графе с разными порядками на разных ребрах // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2013. Т. 13, вып. 1, ч. 2. С. 112-116.

6. Bondarenko N. An inverse problem for the differential operator on the graph with a cycle with different orders on different edges. Preprint arXiv:1309.5360v3.

7. Beals R. The inverse problem for ordinary differential operators on the line // Amer. J. Math. 1985. Vol. 107. P. 281-366.

8. Юрко В. А. Введение в теорию обратных спектральных задач. М. : Физматлит, 2007. 384 с.

9. Леонтьев А. Ф. Целые функции. Ряды экспонент. М. : Физматлит, 1983. 176 с.

Uniqueness of Solution of the Inverse Scattering Problem for Various Order Differential Equation

on the Simplest Noncompact Graph with Cycle

M. Yu. Ignatyev

Saratov State University, 83, Astrakhanskaya str., Saratov, 410012, Russia, IgnatievMU@info.sgu.ru

An inverse scattering problem is studied for variable orders differential operators on simplest noncompact graph with cycle. A uniqueness theorem of recovering coefficients of operators from the scattering data is provided.

Keywords: quantum graphs, variable orders differential operators, inverse spectral problems, inverse scattering problems.

The results obtained in the framework of the national tasks of the Ministry of education and science of the Russian Federation (project no. 1.1436.2014K).

References

1. Langese J., Leugering G., Schmidt J. Modeling, analysis and control of dynamic elastic multi-link structures. Boston, Birkhauser, 1994.

2. Kuchment P. Quantum graphs. Some basic structures. Waves Random Media, 2004, vol. 14, pp. S107-S128.

3. Pokornyi Yu., Borovskikh A. Differential equations on networks (geometric graphs). J. Math. Sci. (N.Y.), 2004, vol. 119, no. 6, pp. 691-718.

4. Pokornyi Yu. V., Beloglazova T. V., Dikareva E. V., Perlovskaya T. V. Green function for a locally interacting system of ordinary equations of different orders. Math. Notes, 2003, vol. 74, no. 1, pp. 141-143.

5. Yurko V. A. Recovering Differential Operators on StarType Graphs with Different Orders on Different Edges. Izv. Saratov Univ. (N. S.), Ser. Math. Mech. Inform.,

2013, vol. 13, iss. 1, pt. 2, pp. 112-116 (in Russian).

6. Bondarenko N. An inverse problem for the differential operator on the graph with a cycle with different orders on different edges. Preprint arXiv:1309.5360v3.

7. Beals R. The inverse problem for ordinary differential operators on the line. Amer. J. Math., 1985, vol. 107, pp. 281-366.

8. Yurko V. A. Vvedenie v teoriyu obratnyh spectralnyh zadach [Introduction to the Theory of the Inverse Spectral Problems]. Moscow, Fizmatlit, 2007, 384 p. (in Russian).

9. Leont'ev A. F. Tselye functsii. Rjady eksponent [Entire Functions. Series of Exponentials]. Moscow, Fizmatlit, 1983, 176 p. (in Russian).