Выбор параметра регуляризации в методе Тихонова Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 518:517.948

Г. В. Хромова

ВЫБОР ПАРАМЕТРА РЕГУЛЯРИЗАЦИИ В МЕТОДЕ ТИХОНОВА*

В данной статье получены условия согласования параметра регуляризации с погрешностью исходных данных, необходимые и достаточные для сходимости приближенных решений к точному в методе регуляризации А. Н. Тихонова для трёх классов уравнений первого рода. Пусть мы имеем уравнение первого рода

Au = f, (1)

где А g {C('\a,b] -> L2[a,b]), А'1 существует, но неограничен, а правая часть задана её 5-приближением fs(x) в L2[a,b\-

Рассмотрим метод регуляризации Тихонова / -го порядка гладкости [1]. Обозначим через Ra р, р = 0,1,...,/ регуляризирующие семейства операторов, обеспечивающих равномерную сходимость к и^р\х), и рассмотрим величины

Далее рассмотрим три типа уравнения (1):

а) с оператором вложения из л] в L2[-k, п] при дополнительном условии: и(-к) = и(п) [2];

б) с интегральным оператором, ядро которого есть функция Грина обыкновенного линейного дифференциального оператора порядка т общего вида [3];

в) с интегральным оператором, ядро которого терпит разрыв на линии t = х при дополнительных условиях, приведенных в [4].

В последнем случае считаем 1 = 0; в случаях б) и в) считаем [а,6] = [е,1-е], е>0.

ТЕОРЕМА. Для того чтобы Д(5,Ra р,и) -> 0 при 8 —» 0, необходимо

и достаточно так согласовать а с

5, чтобы 5(а(5)) Ур ->0 при 5 —> 0, где ур = (2р +1)[4(/ + I)]"1 в случае а); ур = [2(т + р) + 1][4(т + / + I)]-1 в слу-3

чае б); у р = - в случае в); р = 0,1,..., / в случаях а) и б) и р = 0 в случае в). 8

Приведём схему доказательства.

♦Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, проект № 00-01-00237 и программы "Ведущие научные школы", проект №00-15-96123.

Известно [5], что необходимым и достаточным условием сходимости А(5,Ла р,и) —> 0 при 8—>0 является такое согласование а с 5, при котором а(5)—>0 и ша „II 5-»0 при 5-»0. Для метода регуляризации Тихонова справедливы следующие представления [3]:

|КР||, зир аж/г,

"¿2"»1- а<х<Ъ адху дхр

где Ка(х,£) -ядро оператора Яа0А, g(x,t„а) определенав [3].

На основании этого представления для указанных типов уравнений получены двусторонние оценки, асимптотические при а —> 0:

Схау> <\яа<р\^с<С2 а"\

у — приведены в теореме.

Из указанных оценок вытекает утверждение теоремы.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Тихонов А. Н. О регуляризации некорректно поставленных задач // ДАН СССР. 1963. Т. 153. № 1.С. 49-52.

2. Хромова Г. В. О скорости сходимости приближений функций на некоторых компактных классах и задаче восстановления функций // Вестн. МГУ. Сер. 15. 1993. № 1.С. 13-18.

3. Хромова Г. В. Об оценке погрешности метода регуляризации Тихонова для интегральных уравнений с ядром Грина// Вестн. МГУ. Сер. 15. 1992. № 4. С. 22 - 27.

4. Хромова Г. В. О методе регуляризации Тихонова для интегрального уравнения с разрывным ядром // Обратные и некорректно поставленные задачи: Тезисы докл. конф. Москва. 1998. М: Изд-во МГУ. С. 87.

5. Иванов В. К., Васин В. В., Танана В. П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. М.: Наука, 1978.

УДК 517.5

В. И. Шевцов

ОБ ОДНОМ СВОЙСТВЕ НЕПОЛНОЙ СИСТЕМЫ ЭКСПОНЕНТ

Системы экспонент изучались многими математиками. Фундаментальные исследования последовательностей полиномов из экспонент проведены А. Ф. Леонтьевым [1, 2].

00

Пусть Ь{Х) = ^скХк - целая функция порядка р, 0 < р < 1. Обозна-

к=О

чим через Ср класс бесконечно дифференцируемых на отрезке [-1;1] функций таких, что