Об одном методе регуляризации Текст научной статьи по специальности «Математика»

ql(al) = ql(a2), ...,qj-l(al) = qj-1(0,2),^ (а1) > qj М,... В этом случае, учитывая изотонность функции Н7 получаем

'^(Я1(01)) = %1(а2)),

<

Н^-1(а1)) = %^(а2)), (а1)) > h(qj(а2)).

Складывая эти неравенства, приходим к неравенству И3(а1) > > И3(а2), где S - мажорантно стабильное подмножество множества первых ^ критериев {1, 2,3,...,]}. Это противоречит формуле (4). Показали включение с С с1ех.

Обратное включение неверно. В самом деле, рассмотрим следующий пример.

Пример 1. Возьмем множество альтернатив А = {а1,а2,а3,а4} и два критерия я1 и я2, где 1 2. Пусть ранжирование альтернатив по критириям я1 и я2 заданы диаграммой:

a2 a3

ai . al

a3 . a4

a4 . a2

qi q2

Здесь а1 <lex a2. С другой стороны, находим h(ql(al)) + h(q2(al)) = = 2 + 2 > 3 + 0 = h(ql(a2)) + h(q2(a2)). Таким образом, al <ш a2 не выполнено.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Скорняков Л. А. Элементы теории структур. М, : Наука, 1970.

2. Розен В. В. Принятие решений по качественным критериям. Математические модели. Saarbrucken : Palmarium Academic Publishing, 2013. 284 с.

УДК 571.968

С. Ю. Советникова, Г. В. Хромова

ОБ ОДНОМ МЕТОДЕ РЕГУЛЯРИЗАЦИИ

В задаче нахождения равномерных приближений к решению интегральных уравнений 1 рода с оператором двойного интегрирования дается конкретизация и уточнение общих положений о применении метода регуляризации Тихонова нулевого порядка гладкости.

Рассмотрим уравнение

Аи = J(х - г)п(г) (И = ](х), (1)

0

в котором х Е [0,1], п(х) Е С[0,1], п(1) = 0 /(х) задана ее приближением /6(х) : ||/г - ]\\Ь2 < 6.

Известно [1], что в данном случае для нахождения равномерных при-п(х)

Та = (аЕ + А*А)-1 А* (а > 0 - параметр). В соответствии с [1] при а ^ 0 имеет место сходимость:

||Та/ - и\\с = ||ТаАп - и\\с ^ 0.

Теорема 1. Каждый из операторов ТаА, аппроксимирующих точное решение уравнения (1), является интегральным оператором с ядром Ка(х,Ь) = а-1/4Ф(х, Ь, р), где р = а-1/47

-У2

Ф(х, Ь, р) = ^ (2В1(х, Ь, р) - В2(х, Ь, р) + Вз(х, Ь, р)), (2)

В1 = в"^(х+*)р (2 сов (- 2 81п (+ 008 ( В2 = в-^ (2-х-^)р (в 008 () + 008 ( ^(2-2Х-^) + 81п (^Х-)^) ,

в л22(х *)р Г008 ГУ^Х-)^ + 81^Л,/2(Х2 *)р)) при Ь < х7 | в-^-х)р (со8 (у^^х-^Цр\ - 81^ПрМ Ь > х.

-1

-1 1 -

I 1 ¿V 1 Т0

Доказательство. Поскольку ТаА = - ((А* А) 1 + -Е

Ка(х,Ь) = - Г (х,Ь, - -а) , где Г (х,Ь, - а) есть ядро резольвенты дифференциального оператора Ь : у(4), и{(у) = 0, г = 1,4, ГДе и1 (у) = у/;/(0), и2(у) = у//(0) и3(у) = у/(1) и4(у) = у(1), при Л = - - (Л - спектральный параметр).

Обозначим через шк, к = 1,4, - корпи 4-й степени из -1, занумерован-е следующим образом: ^ = ^ (1 + г) ^ = ^з = ^4 = Тогда фундаментальная система решений уравнения у(4) + - у будет

иметь вид у к (х) = врШк х, к = 1,4.

Введем в рассмотрение функцию

g(x,t,p) = (gi(x,¿,p) + g2(x,t,p)),

где

, л I 2Rew1e-pwi(x-t) при t < x,

д1(М,р) = <п

I U при t > x;

I 0 при t < x,

g2(x, t, p) = < _ ( s

I 2Rew1e pwi(í x) при t > x.

Пользуемся представлением функции r(x,t, — 1/а) из [2]:

r(x, t, —1/а) = —Y(x, p)M—1(p)U(g) + g(x, t, p), (3)

где Y(x, p) = (y1(x, p), y2(x, p), y3(x, p), y4(x, p)), M(p) - матрица, элементами которой являются Ujk = Uj(yk),k = 1,4 U(g) - столбец, элементами которого являются линейные формы Uj (g), j = 1,4, составленные по x

Далее проводим доказательство по схеме:

1) получаем конкретные выражения для всех составляющих правой части формулы (3), соответствующие нашей задаче. В частности, если обозначить через A(p) определитель матрицы M (p), то элементами матрицы M—1(p) будут чиела Xj (p) = jpy, где Aj¡ - алгебраическое дополнение элемента, стоящего в j-й строке и /-м столбце определителя A(p);

2) проводим преобразования числителя и знаменателя полученного выражения, аналогичные приведенным в [2];

3) разбиваем выражение, полученное после указанных преобразований, на сумму попарно сопряженных комплекснозначных функций и приходим к формуле (2).

Теперь найдем асимптотическое выражение для норм регуляризую-щих операторов.

Теорема 2. Справедлива формула, асимптотическая по а щи а ^ ^ 0 :

l|T«|L2 = 31/22—5/4а—5/8 + о(а—5/8). (4)

Доказательство. Пользуемся представлением нормы с в ви~

де [3

1

1/2

i

0< x< 1

Pall^c = а 2 sup | Ka(x, x) — I K2a(x,t) dt

(выражение в скобках является функцией, принимающей вещественные значения).

Подставляя в эту формулу выражение Ка(х,Ь) через Г(х,Ь, - -), получим формулу

1/2

T||L C = а 1 sup ( r(x,t, — 1) — — I Г2(ж,ж, — 1) dt о<х<м а а j а

Подставляем сюда выражение (2) и приходим к равенству

IlTalL^c = а-5/8o<ai (F(x,p))1/2 ,

где

Зл/2

F (x,P) = +

F1(x,p) - функция, представляющая собой сумму слагаемых, каждое из которых содержит либо б-либо e—pwi(1—либо произведение этих экспонент, либо экспоненты, сопряженные с указанными.

Очевидно, что во внутренних точках отрезка [0, 1] F1(x,p) = Ф(р), где Ф(р) ^ 0 при р ^ то быстрее любой степени р.

Тогда

3^2

max F1(x,p) = max {F1(0, р), F1(1, р)} = F1 (0,р) = + Ф(р).

0<x<1 16

Отсюда приходим к формуле (4).

Из теоремы 3 (см. [1]), как известно, вытекает согласование а с 5, обеспечивающее сходимость приближения Tq^/j к u(x) при 5 ^ 0, а наличие точной константы при главной части асимптотической формулы (4) дает возможность выбирать указанное согласование при решении прикладных задач.

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта РФФИ (проект № 13-01-00238).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Хромова Г. В. О регуляризации интегральных уравнений первого рода е ядром Грина // Изв. вузов. Сер. Математика. 1972. № 8(123). С. 94-104.

2. Гуревич А. П., Хромов А. П. Суммируемость по Риееу разложений по собственным функциям интегральных операторов// Изв. вузов. Сер. Математика. 2003. № 2(489). С."24-35.

3. Хромова Г. В. О нахождении равномерных приближений к решению интегральных уравнений первого рода// Дифференциальные уравнения и вычислительная математика : сб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 1974. Вып. 4. С. 3-10.

1