Оценка погрешности приближенного решения уравнения Абеля на некотором компактном классе Текст научной статьи по специальности «Математика»

Свойство 3) следует из (2-4), если к интегралам, входящим в выражения (2), применить неравенство Буняковского.

Например, имеем

рх ра рх

\ (х - г)1 /(гЩ < ( тйт)1 ( ?№)1 < —||/||ь.

ох—а о 0 о х-а \ 2

Аналогичную оценку имеют и другие интергралы.

В результате для нормы

1№а11Ь2^Ьгх = таХ(||Ла2 ||Ь2[0,1]^С[0,1 ], Н^а1 ^[ОД^С[1,1]), получаем оценку

^К-а^ъ^Ьж < Са 1.

Отсюда вытекает

Следствие. Для, того чтобы метод решения уравнения (1) с помощью семейства Яа был регулярирующим, достаточно согласовать а = а(6), чтобы а(6) ^ 0 и 6(а(6))-1 ^ 0 при 6 ^ 0.

Работа выполнена при финансовой поддержке Минобрнауки РФ (проект 1.Ц36.20ЦК)

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Хромова Г. В. Об одном способе построения методов регуляризации уравнений первого рода // ЖВМ и МФ 2000. Т. 40, № 7. С. 997-1002.

2. Иванов В. К., Васин В. В., Та,на,на В. П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения // М, : Наука, 1978, 206 с.

3. Хромова Г. В. Регуляризация уравнения Абеля с помощью разрывного оператора Стеклова // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2014. Т. 14, вып. 4, ч. 2. С. 599-603.

УДК 517.968

Г. В. Хромова, А. О. Савенкова

ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТИ ПРИБЛИЖЕННОГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ АБЕЛЯ НА НЕКОТОРОМ КОМПАКТНОМ КЛАССЕ

В данной работе для одного метода регуляризации получена неулуч-шаемая по порядку оценка погрешности приближенного решения. Рассматривается уравнение Абеля:

гх (х _ г)а-1

Аи = ( —( )) п(г)йг = /(х), (1)

Л Г(а)

где Г(а) - гамма-функция, 0 < а < и(х) Е С[0,1], /(х) задана ее ^-приближением в среднеквадратичной метрике ^[0,1] : — /\\ь2 < 5.

В [1] предложен метод регуляризации уравнения (1), базирующийся па семействе интегральных операторов Я^ с ядрам и К^ (х,£) вида

Kh(x,t) = [2hr(1 - а)]-1Кh(x,t),

где

(x + h - t)-a - (x - h - t)-a, 0 < t < x - h, Kh(x, t) = <J (x + h - t)-a, x - h < t < x + h, (2)

0, x + h < t < 1

при x E [h, 1 - h]. При x E [0, h] Kh(x,t) имеет вид (2) с заменой x - h на h - x. При x E [1 - h, 1]

2(1 - t)-a - (x - h - t)-a - (2 - x - h - t)-a, 0 < t < x - h, Кh(x, t) = <J 2(1 - t)-a - (2 - x - h - t)-a, x - h < t < 2 - x - h, 0, 2 - x - h < t < 1,

и получена оценка погрешности приближенного решения уравнения (1) на классе 1-

Здесь мы рассматриваем класс

M = {u(x) E C[0,1] : HuHw < 1},

где W2, = W21[0,1] - пространство Соболева, и величины

A(J, Rh, M) = sup\\RhJs - u\\c : u E M, \\f - f ||La < J,

Ai(RhA, M) = sup |\RhAu - u\\c : u e M. Пользуемся известной двусторонней оценкой:

1 p(J, Rh, M) < A(J, Rh, M) < p(J, Rh, M), (3)

p(J, Rh, M) = Ai(RhA, M) + \\Rh\\L2^c.

Теорема 1. Справедливо равенство, асимптотическое по h при h ^ ^ 0:

h 1 3

Ai(RhA,M ) = ( 3) 2 + O(h 2). 82

Доказательство. Доказательство базируется на формулах из [2]:

Д1 (ЯНА, М) = вир [ / КН(х, £)д(х, £, — д(х, х, Л)]2,

где

д(х,£,Л) = [ КН(х,£)С(£,<^— С(£,х),

сЬ х сЬ(1— х < £

С(£,х) = < сЬ4СЬ(1—х) , ^

КН(х, £) - ядро оператора ЯНА

По конструкции (см. [1]) операторов Ян имеем: Д1(Л^А,М) = = Д1(6>'/г,М), где £>н - так называемый расширенный оператор Стек-лова, полученный из оператора

1 пх+Н

^ = 2Л

«/ х—Н

путем продолжения функции ^ за границы отрезка [0,1] четным образом.

Далее проводим вычисления по следующей схеме. Разбиваем отрезок [0,1] на 5 частей:

Л Л Л Л

[0,1] = [0, 2] + [2, Л] + [Л, 1 — Л] + [1 — Л, 1 — 2] + [1 — 2, 1]

и на каждом из отрезков находим функцию д(х, £, Л) (достаточно сделать это на первых трех, для последних двух выкладки можно свести к первым двум отрезкам). На каждом из отрезков рассматриваем случаи £ < х и х < При этом еще дополнительно рассматриваем случаи £ < Л — х и £ > Л — х: на отрез ке [0, | ] для х < £, на отрез ке [ |, Л] - для £ < х.

В полученных на каждом из отрезков выражениях для функции д(х,£,Л) заменяем гиперболические функции малого аргумента их разложением в ряды, в которых выделяем главные части асимптотик по Л. Затем вычисляем функцию ¡Знд — д, убеждаемся, что максимальное значение эта функция принимает на отрезках, прилегающих к концам основного отрезка, и получаем утверждение теоремы 1.

Теорема доказана.

о

о

Теорема 2. Справедлива двусторонняя оценка: С16та < А(Ят,И) < С26та,

Ь(6) < С61+а,

константы С, С1,С2 - вычислены.

Доказательство вытекает из формулы (3), теоремы 2 из [1] и проводится по схеме из [2].

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 1301-00238).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1, Хромова Г. В. О приближенных решениях уравнения Абеля // Веетн, Моек, ун-та. Сер. 15. 2001. № 3. С. 5-9.

2. Хромова Г. В. Об оценках погрешности приближенных решений уравнений первого рода // Докл. А.II. 2001. Т. 378, № 5. С. 605-609.

УДК 517.51

Г. В. Хромова, Е. О. Янина

ОБ ОДНОМ СЕМЕЙСТВЕ ОПЕРАТОРОВ С ПОЛИНОМИАЛЬНЫМИ ЯДРАМИ

В данной работе построено семейство операторов, с помощью которых решаются задачи приближения и восстановления непрерывной функции на отрезке. Это семейство является модификацией семейства операторов ТН

х+Н

Щ = -А / ((г - х)2 - Ь2) f(г)(г, х е [а,Ь].

x

Н

С помощью операторов Тн указанные задачи решаются лишь во внутренних точках отрезка [а, 6], при этом границы внутреннего отрезка зависят от параметра Ь (см. [1] случай к = 1/1 = 0). 1. Построим операторы

х+Н

С1(х,Ь) / ((г - х)2 - ьА f (г) (1г, х е [а, а + Ь],

а

^ =4 Тн, х е [а + Ь, Ь - Ь], (1)

ь , )

С2(х,ь) / [(г - х)2 - ь2) f (г)(1г, х е [Ь - ь,ь],

х-Н