CC BY
19
Теорема 2. Справедлива двусторонняя оценка: 01дта < А(Ят,И) < С26та,
ад < С 6 т+а,
константы С, С\,С2 - вычислены.
Доказательство вытекает из формулы (3), теоремы 2 из [1] и проводится по схеме из [2].
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 1301-00238).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1, Хромова Г. В. О приближенных решениях уравнения Абеля // Веетн, Моек, ун-та. Сер. 15. 2001. № 3. С. 5-9.
2. Хромова Г. В. Об оценках погрешности приближенных решений уравнений первого рода // Докл. А.II. 2001. Т. 378, № 5. С. 605-609.
УДК 517.51
Г. В. Хромова, Е. О. Янина
ОБ ОДНОМ СЕМЕЙСТВЕ ОПЕРАТОРОВ С ПОЛИНОМИАЛЬНЫМИ ЯДРАМИ
В данной работе построено семейство операторов, с помощью которых решаются задачи приближения и восстановления непрерывной функции на отрезке. Это семейство является модификацией семейства операторов Тн:
х+Н
Щ = -[ ((г - х)2 - Ь2) /(г)лг, X е [а,Ь].
X
Н
ТН
ренних точках отрезка [а, 6], при этом границы внутреннего отрезка зависят от параметра Ь (см. [1] случай к = 1, г = 0). 1. Построим операторы
х+Н
С\(х, Ь) / ((г - х)2 - ьА и (г) Лг, X е [а, а + Ь],
а
ти ={ Тн, X е [а + Ь, Ь - Ь], (1)
ь , )
С2(х,Ь) / [(г - х)2 - ь2) и (г) лг, х е [Ь - ь,ь],
х-Н
где С^(х, Л), г = 1, 2, определим из условия Т* 1 = 1 (а для операторов Т, это условие выполняется). Справедлива следующая лемма.
Лемма 1. Если Т*1 = 17 то
3
С1(х,Л) =-^-т-, х Е [а, а + Л], (2)
(х - а) ((х - а)2 - 3й2) - 2Л3 3
С2(х,Л) =-7---т-, х Е [Ь - Л,Ь]. (3)
(Ь - х) ЦЬ - х)2 - 3Л2] - 2Л3
Теорема 1. Длл любой непрерывной на отрезке [а,Ь] функции /(х) выполняется сходимость: ||Т/ - /||с[а,ь] ^ 0 прм Л ^ 0.
Доказательство вытекает из непрерывности функций Т/ па [а, Ь] и оценки
||Т/ - /||см< ш (Л), (4)
где ш (Л) - модуль непрерывности функции /(х). Теорема доказана.
2. Пусть теперь / (х) задана ее прибли жением / (х):
||/5 - /||Ь2[а,Ь] < ^
Лемма 2. Справедлива двусторонняя оценка:
3210-2Л-1 < КЦЫаМ^с{аМ < 2 • 315-1 Л-1 + О . (5) Доказательство. Имеем
= max
а<х<Ъ
\
Ъ
' K2(x,t)dt,
h а
где Kh(x, t) - ядро оператора T^, которое легко определяется из (1)-(3). Тогда
= max{ max Ai(x,h), max A2(x,h), max A3(x,h)},
а<х<а+h а+h<х<Ъ—h Ъ—h<x<b
где
d
/ Kf(x,t)di,
t) —
\
c — a, d — x + h, x E [a, a + h] для i — 1; c — x — h,d — x + h,x E [a + h, b — h] для i — 2; c — x — h, d — b, x E [b — h, b] для i — 3.
1 ~ 1
Известно [1], что A2(x, h) = 315—2h-2.
Рассмотрим A1(x,h). Вычислив соответствующий интеграл и сделав замену X = x — a, придем к формуле
MxM = АЩ,
An(x,h)
где
3
An(X,h) = —=\/8h5 + 15h4 X — 10h2X3 + 3X5, y/15
A12(X,h) = |X (X2 — 3k2) — 2h3|.
Отсюда получаем оценку (5) с заменой \\T^\\L2^c на A1(x, h). Точно такая же оценка справедлива и для A3(x, h). Отсюда получаем утверждение леммы. Лемма доказана.
Теорема 2. Для того чтобы \\Tfs — f \\C[a,b] ^ 0 при h ^ 0 5 ^ 0 достаточно согласовать h с 5 так, чтобы:
а) h(5) ^ 0 при 5 ^ 0;
б) (h(5))—2 5 ^ 0 при 5 ^ 0. Доказательство вытекает из оценки:
Т|* Г ГII ^ 11т1* II £ I ||ф* £ £\\
,, hJS — f \\c < \\T h\\L2^C5 + \\1 hf — f \\C
и оценок (4), (5). Теорема доказана.
Замечание. Если, мы рассматриваем вместо нормы \\T^ fs — f \\c[а,Ъ] величину A (5,Tl, f) = sup{\\Tf — f \\c[а,ъ] : \\fs — f \\ь2[а,ъ] < 5}, то как известно из теории некорректно поставленных задач, условия а), б), сформулированные в теореме 2, будут не только достаточными для сходимости A (5, T£,f) ^ 07 но и необходимыми.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 1301-00238).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Хромова Г. В. О дифференцировании функций, заданных е погрешностью // Дифференциальные уравнения и теория функций : Межвуз, еб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 1984. Вып. 6. С. 53-58.
